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文档简介
第08讲6.3.5平面向量数量积的坐标表示课程标准学习目标①掌握平面向量数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的坐标运算。②能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题。1通过阅读课本,和前面平面向量坐标表示的基础上,掌握平面向量数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的坐标运算;2.截止当前,我们已经学习了两个数量积的公式,在学习过程中能根据实际情况,能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题;知识点01:平面向量数量积的坐标表示在平面直角坐标系中,设,分别是轴,轴上的单位向量.向量分别等价于,,根据向量数量积的运算,有:由于,为正交单位向量,故,,,,从而.即,其含义是:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.知识点02:两个向量平行、垂直的坐标表示已知非零向量,(1).(2)【即学即练1】(2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知向量,若,则.【答案】【详解】因为,所以,故.故答案为:-5知识点03:向量模的坐标表示(1)向量模的坐标表示若向量,由于,所以.其含义是:向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根.【即学即练2】(2023·全国·模拟预测)平面向量,若,则(
)A. B.2 C. D.【答案】C【详解】因为,所以,解得,所以,所以.故选:C.(2)两点间的距离公式已知原点,点,则,于是.其含义是:向量的模等于A,B两点之间的距离.(3)向量的单位向量的坐标表示设,表示方向上的单位向量知识点04:两向量夹角余弦的坐标表示已知非零向量,是与的夹角,则.【即学即练3】(2023上·上海黄浦·高三统考期中)已知向量,则向量与夹角的余弦值为.【答案】/0.5【详解】向量,所以向量与夹角的余弦值.故答案为:题型01平面向量数量积的坐标表示【典例1】(2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中)在边长为2的正六边形中,(
)A.6 B.-6 C.3 D.-3【答案】B【详解】正六边形中,每个内角都是,,有,以为原点,为轴,为轴,,建立平面直角坐标系,如图所示:因为,,,则有,所以,,,,,由平面向量数量积的运算可得.故选:B.【典例2】(2023上·上海松江·高三统考期末)已知向量,,则【答案】0【详解】∵,,∴,∴.故答案为:0.【变式1】(2024上·北京房山·高三统考开学考试)已知向量,满足,,则(
)A. B. C. D.【答案】D【详解】设,则由题意可得,解得,所以,故选:D【变式2】(2023上·天津·高三统考期中)在直角梯形中,,且,若,则.【答案】【详解】如图,以所在直线为轴,建立平面直角坐标系,设(),则,,,所以(负值舍去),即有,故答案为:.题型02向量垂直的坐标表示【典例1】(2023下·广东韶关·高二校考期中)已知向量,且,则实数(
)A. B. C. D.【答案】A【详解】由.因为,所以.故选:A.【典例2】(2023上·河南·高三校联考期中)已知向量,,,若,则.【答案】9【详解】,,则,,,则,解得.故答案为:【变式1】(2023上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习)已知,若实数满足,则.【答案】【详解】,则,由,所以,解得.故答案为:【变式2】(2023·全国·模拟预测)已知向量,,,则实数的值为(
)A. B. C.3 D.4【答案】A【详解】,,,解得.故选:A.题型03利用向量的数量积求参数【典例1】(2023下·四川巴中·高一统考期中)已知向量,,,则实数的值为(
)A. B. C. D.【答案】D【详解】,,即,解得,,解得.故选:D【典例2】(2023下·广西河池·高二校联考阶段练习)已知平面向量,则实数.【答案】0【详解】由题意可得,故,即,故答案为:0【变式1】(2023下·福建福州·高一校联考期中)已知向量,,若,则.【答案】【详解】因为,则,即,整理可得,又因为向量,,则,解得.故答案为:.【变式2】(2020上·江苏连云港·高三期中)在菱形中,,,,,若,则(
)A. B. C. D.【答案】D【详解】作出图形,建立如图所示的平面直角坐标系,设,因为因为,所以,即是的中点,所以所以,由题知.故故选:D题型04向量的投影【典例1】(2023·全国·模拟预测)向量,,那么向量在上的投影向量为(
)A. B.C. D.【答案】A【详解】因为,,所以,则在上的投影向量的模为,则在上的投影向量为.故选:A.【典例2】(2023上·上海静安·高三校考阶段练习)已知向量,且,则向量在向量方向上的投影向量为.【答案】【详解】因为,,则,,又,所以,即,解得,所以,则向量在向量方向上的投影向量为.故答案为:【变式1】(2023·上海杨浦·统考一模)已知向量,,则在方向上的投影为.【答案】【详解】向量,,则在方向上的投影为.故答案为:【变式2】(2024上·云南·高三云南省下关第一中学校联考阶段练习)已知向量,,则向量在向量上的投影向量的坐标为.【答案】【详解】因为向量,,所以,,所以向量在向量上的投影向量的坐标为:.故答案为:.题型05向量的模【典例1】(2023上·青海西宁·高三统考期中)已知平面向量,,且,则(
)A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【详解】由平面向量,可得,由,可得,即,则,所以.故选:C.【典例2】(2023上·北京·高三北京八中校考阶段练习)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点,,且.设,则(
)A. B. C. D.2【答案】B【详解】由题意,可得,则,又由,可得,则,解得,即,所以.故选:B.【变式1】(2023上·河北唐山·高三统考期中)已知向量,满足,,,则等于.【答案】【详解】因为向量,满足,,,所以,解得,所以,故答案为:.【变式2】(2023上·广东肇庆·高三统考阶段练习)已知向量,,若,则.【答案】【详解】因为,,则,,又,即,解得,则故答案为:题型06向量的夹角【典例1】(2023上·安徽·高三校联考阶段练习)已知向量,若向量的夹角为钝角,则实数的范围是(
)A. B.C. D.【答案】C【详解】由题意得:且与不共线,即,解得:且,所以实数的范围是,故选:C.【典例2】(2023下·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习)已知向量,.(1)若向量与垂直,求k的值(2)若向量与的夹角为锐角,求k的取值范围【答案】(1)(2).【详解】(1)依题意得:,,∵向量与垂直,∴,解得.(2)由(1),,∵向量与的夹角为锐角,∴且.解得且.∴k的取值范围是.【变式1】(2023下·河南焦作·高一统考期中)若向量的夹角为锐角,则实数的范围是(
)A. B.(,4)C. D.(,1)【答案】A【详解】因向量的夹角为锐角,则,且不共线,即.综上可知,或.故选:A【变式2】(2023下·江西萍乡·高一统考期末)已知向量,.(1)若,试判断向量与是否垂直;(2)若向量与的夹角为钝角,求实数的取值范围.【答案】(1)向量与不垂直;(2)【详解】(1)若,则,,故,∴,所以当时,向量与不垂直;(2)由题意知,,向量与的夹角为钝角,∴,解得,当与反向时,有,解得,所以向量与的夹角为钝角时,实数的取值范围是.题型07向量数量积的最值(范围)问题【典例1】(2023下·四川成都·高一四川省成都市第四十九中学校校考期中)已知是边长为1的正的边上的动点,为的中点,则的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】A【详解】解:取AC的中点O,以O为原点,直线AC为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则:,设,,,且,时,取最小值;时,取最大值,∴的取值范围是,故选:A.【典例2】(2023上·辽宁本溪·高二校考期中)如图,在边长为4的正方形中,点是正方形外接圆上任意一点,则的取值范围是.
【答案】【详解】以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系如图所示,则点,,,设以轴非负半轴为始边,为终边的角为,易知外接圆的半径为,所以点,则,所以,因为,所以.即的取值范围为.故答案为:
【变式1】(2023上·上海普陀·高三上海市晋元高级中学校考期中)已知点是边长为2的正内一点,且,若,则的最小值为(
).A. B. C. D.【答案】C【详解】取的中点,以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系,则点、、,设点,,,,且,则,可得,由于点在正内,则,可得,则,可得,,,所以当时,取最小值.故选:C.【变式2】(2023·全国·模拟预测)如图,等腰梯形ABCD中,,,点E是线段BD上的动点,则的最小值为(
)
A. B. C. D.【答案】A【详解】如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,过A且与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系,则,,,,所以.
设,,,(注意判断的取值范围,为后续计算做准备)则,所以,得,所以,所以,.所以,所以当时,取得最小值,为.故选:A题型08向量模的最值(范围)问题【典例1】(2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习)已知向量,,若非零向量满足,则取最小值时,的坐标为.【答案】【详解】设,则由,得,所以,所以,即,化得.又,所以.当时,取得最小值,此时,即.故答案为:.【典例2】(2023下·河南周口·高一统考期末)在平面直角坐标系中,已知点,,(1)求的值;(2)是坐标平面上的点,,,求的最小值.【答案】(1)4(2)【详解】(1)因为,,所以,故.因为,所以.(2),,,因为,所以当时,取得最小值为.【变式1】(2023·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中,若,,,则的最小值为.【答案】【详解】由题意得,,则,所以,又,所以,于是,由于,故当时,的最小值是.故答案为:【变式2】(2023·全国·高三专题练习)设,向量,,且,则;当时,的取值范围为.【答案】【详解】因为,所以,即,得,所以.由题知,又,所以当时,取得最小值,最小值为5,当时,取得最大值,最大值为25,故的取值范围为.故答案为:;题型09向量夹角最值(范围问题)【典例1】(2022上·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习)若平面向量,,满足,,,,则,夹角的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】C【详解】设,,,以O为原点,方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,,,,,,三者直接各自的夹角都为锐角,,,,,,即在上的投影为1,在上的投影为3,,,如图,即,且则,由基本不等式得,,与的夹角为锐角,,由余弦函数可得:与夹角的取值范围是,故选:C.【典例2】(2020上·上海徐汇·高二位育中学校考期中)已知为△边上的中线,点满足且,则的最小值为.【答案】【详解】由且,则,构建如下平面直角坐标系,G为原点,结合中线可令,,,则,,∴,由,当且仅当时等号成立,所以,仅当时等号成立,即的最小值为.故答案为:【变式1】(2021下·江苏·高一期中)设为单位向量,满足,设的夹角为,则的可能取值为(
)A. B. C. D.【答案】C【详解】因为为单位向量,不妨设,且,所以,又因为,所以,化简得,所以,,,当时,,故选:CA夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1.(2023上·海南海口·高二校考阶段练习)已知向量,,若,则(
)A. B.2 C. D.【答案】D【分析】利用向量垂直的坐标表示求解即得.【详解】向量,,由,得,所以.故选:D2.(2023上·河南·高三南阳中学校联考阶段练习)已知向量满足,且,则(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】由两边平方可得,带入即可得解,【详解】因为,等式两边平方得,又,所以,解得.故选:D.3.(2023上·湖北·高三襄阳五中校联考期中)已知平面向量,,则向量在向量上的投影向量是(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】根据投影向量的公式计算即可.【详解】在上的投影向量为.故选:B.4.(2023上·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校校考阶段练习)已知向量,,若,则()A. B. C. D.【答案】D【分析】利用平面向量共线的坐标表示以及数量积的坐标运算求解.【详解】因为,所以即,所以,所以,故选:D.5.(2023·全国·模拟预测)已知平面向量,满足,且,则(
)A.4 B.5 C. D.2【答案】B【分析】设,根据向量的模、向量垂直列方程,求得的坐标,进而求得.【详解】设,因为,,所以,即①.又因为,所以,即,即②.联立①②可得或,所以或,所以.故选:B6.(2023上·宁夏银川·高三校联考阶段练习)已知向量,,,若,(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】利用平面向量垂直的坐标表示及模长公式计算即可.【详解】由题意可知,,所以,则.故选:C7.(2023·四川内江·统考一模)已知向量,,其中.若,则当恒成立时实数的取值范围是(
)A.或 B.或C. D.【答案】B【分析】先求出向量的模,然后由数量积定义结合三角函数有界性可得的最大值,然后可解.【详解】由题知,,所以,当同向时等号成立,所以,要使恒成立,只需,解得或.故选:B8.(2023上·安徽·高二校联考期中)如图,在长方形中,,点P满足,其中,则的取值范围是(
)A.B.C.D.【答案】B【分析】建立平面直角坐标系,写出点的坐标,得到,,从而求出,求出最值.【详解】以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立平面直角坐标系,则,设,因为,所以,即,故,,则,则,因为,所以,,故.故选:B二、多选题9.(2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中)已知平面向量,,,则下列说法正确的是(
)A.若,则或B.若,则C.当时,向量在向量方向上的投影向量为D.若或,则与夹角为钝角【答案】AC【分析】根据向量的坐标运算逐个判断即可.【详解】对于A:若,则,解得或,A正确;对于B:,若,则,即,解得,所以B错误;对于C:当时,,所以向量在向量方向上的投影向量为,C正确;对于D:当时,,,此时与的方向相反,此时与夹角为,D错误,故选:AC10.(2023上·广东佛山·高二佛山市第四中学校考开学考试)若向量,,,则(
)A. B. C. D.【答案】BD【分析】根据向量垂直的坐标表示,数量积和向量的模的坐标,逐项判定,即可求解.【详解】由题向量,可得,可得,所以,所以AC错误,B正确;又由,,所以,所以D正确.故选:BD.三、填空题11.(2023·贵州黔东南·统考一模)向量在向量上的投影向量为,则.【答案】【分析】根据投影向量公式可得,然后由向量模的坐标表示可得.【详解】因为,所以向量在向量上的投影向量为,所以,所以,所以.故答案为:12.(2023上·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习)已知16个边长为1的小菱形的位置关系如图所示,且每个小菱形的最小内角为60°,图中的A,B,C,D四点均为菱形的顶点,则.【答案】【分析】以图形的对称轴为y轴,过点A作对称轴的垂线为x轴,建立平面直角坐标系.写出各点坐标进而求得向量的坐标,即可求得数量积.【详解】因为每个小菱形的最小内角为60°,所以每个小菱形都可以分为两个正三角形.以该图形的对称轴为y轴,过点A作对称轴的垂线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则,,,,所以,,所以.故答案为:四、解答题13.(2023上·广东惠州·高二惠州市惠阳区崇雅实验学校校考阶段练习)已知平面直角坐标系中,向量.(1)若,且,求向量的坐标;(2)若与的夹角为锐角,求实数的取值范围.【答案】(1)或(2)【详解】(1)设,由题意知,因为,所以,又因为,所以,所以或.(2)由题意,则,当与共线时,,因为与的夹角为锐角,所以,解得,且,所以与的夹角为锐角,实数的取值范围为.14.(2023上·辽宁沈阳·高二学业考试)给定三个平面向量.(1)求的大小;(2)若向量与向量共线,求实数的值.【答案】(1)(2)【详解】(1),则,所以,因为,所以;(2),,因为向量与向量共线,所以,解得.B能力提升1.(2023上·云南·高三校联考阶段练习)设,向量在向量上的投影向量为,则的最小值为(
)A. B. C. D.【答案】A【详解】向量在向量上的投影向量为,则,当且仅当时,等号成立,所以的最小值为.故选:A.2.(2023下·河北石家庄·高一校考期中)等腰梯形ABCD中,AB平行于CD,,,,P为腰AD所在直线上任意一点,则的最小值是(
)A. B.1 C. D.【答案】C【详解】等腰梯形ABCD中,作垂直于于点,作垂直于于点,又,,,则,,,,则建立如图所示平面直角坐标系,则,,,,又P为腰AD所在直线上任意一点,则设,,则点P的坐标为,所以,,又关于的二次函数的对称轴为,则在上单调递减,所以当,即点P和点
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