人教A版高中数学（必修第二册）同步讲义第08讲 6.3.5平面向量数量积的坐标表示（教师版）

第08讲6.3.5平面向量数量积的坐标表示课程标准学习目标①掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算。②能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题。1通过阅读课本，和前面平面向量坐标表示的基础上，掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算；2.截止当前，我们已经学习了两个数量积的公式，在学习过程中能根据实际情况，能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题；知识点01：平面向量数量积的坐标表示在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．知识点02：两个向量平行、垂直的坐标表示已知非零向量，（1）．（2）【即学即练1】（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知向量，若，则.【答案】【详解】因为，所以，故.故答案为：-5知识点03：向量模的坐标表示（1）向量模的坐标表示若向量，由于，所以．其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．【即学即练2】（2023·全国·模拟预测）平面向量，若，则（

）A． B．2 C． D．【答案】C【详解】因为，所以，解得，所以，所以．故选：C．（2）两点间的距离公式已知原点，点，则，于是．其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离．（3）向量的单位向量的坐标表示设，表示方向上的单位向量知识点04：两向量夹角余弦的坐标表示已知非零向量，是与的夹角，则．【即学即练3】（2023上·上海黄浦·高三统考期中）已知向量，则向量与夹角的余弦值为．【答案】/0.5【详解】向量，所以向量与夹角的余弦值.故答案为：题型01平面向量数量积的坐标表示【典例1】（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）在边长为2的正六边形中，（

）A．6 B．-6 C．3 D．-3【答案】B【详解】正六边形中，每个内角都是，，有，以为原点，为轴，为轴，，建立平面直角坐标系，如图所示：因为，，，则有，所以，，，，，由平面向量数量积的运算可得.故选：B．【典例2】（2023上·上海松江·高三统考期末）已知向量，，则【答案】0【详解】∵，，∴，∴.故答案为：0.【变式1】（2024上·北京房山·高三统考开学考试）已知向量，满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，则由题意可得，解得，所以，故选：D【变式2】（2023上·天津·高三统考期中）在直角梯形中，，且，若，则.【答案】【详解】如图，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设（），则，，，所以（负值舍去），即有，故答案为：.题型02向量垂直的坐标表示【典例1】（2023下·广东韶关·高二校考期中）已知向量，且，则实数（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由.因为，所以．故选:A.【典例2】（2023上·河南·高三校联考期中）已知向量，，，若，则．【答案】9【详解】，，则，，，则，解得.故答案为：【变式1】（2023上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）已知，若实数满足，则．【答案】【详解】，则，由，所以，解得．故答案为：【变式2】（2023·全国·模拟预测）已知向量，，，则实数的值为（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【详解】，，，解得.故选：A.题型03利用向量的数量积求参数【典例1】（2023下·四川巴中·高一统考期中）已知向量，，，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，，即，解得，，解得．故选：D【典例2】（2023下·广西河池·高二校联考阶段练习）已知平面向量，则实数．【答案】0【详解】由题意可得，故，即，故答案为：0【变式1】（2023下·福建福州·高一校联考期中）已知向量，，若，则．【答案】【详解】因为，则，即，整理可得，又因为向量，，则，解得.故答案为：.【变式2】（2020上·江苏连云港·高三期中）在菱形中，，，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设，因为因为，所以,即是的中点，所以所以，由题知.故故选：D题型04向量的投影【典例1】（2023·全国·模拟预测）向量，，那么向量在上的投影向量为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，，所以，则在上的投影向量的模为，则在上的投影向量为.故选：A．【典例2】（2023上·上海静安·高三校考阶段练习）已知向量，且，则向量在向量方向上的投影向量为.【答案】【详解】因为，，则，，又，所以，即，解得，所以，则向量在向量方向上的投影向量为.故答案为：【变式1】（2023·上海杨浦·统考一模）已知向量，，则在方向上的投影为.【答案】【详解】向量，，则在方向上的投影为.故答案为：【变式2】（2024上·云南·高三云南省下关第一中学校联考阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为.【答案】【详解】因为向量，，所以，，所以向量在向量上的投影向量的坐标为：.故答案为：.题型05向量的模【典例1】（2023上·青海西宁·高三统考期中）已知平面向量，，且，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】由平面向量，可得，由，可得，即，则，所以.故选：C．【典例2】（2023上·北京·高三北京八中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，，且.设，则（

）A． B． C． D．2【答案】B【详解】由题意，可得，则，又由，可得，则，解得，即，所以.故选：B.【变式1】（2023上·河北唐山·高三统考期中）已知向量，满足，，，则等于．【答案】【详解】因为向量，满足，，，所以，解得，所以，故答案为:.【变式2】（2023上·广东肇庆·高三统考阶段练习）已知向量，，若，则.【答案】【详解】因为，，则，，又，即，解得，则故答案为：题型06向量的夹角【典例1】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意得：且与不共线，即，解得：且，所以实数的范围是，故选：C.【典例2】（2023下·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习）已知向量，．(1)若向量与垂直，求k的值(2)若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围【答案】(1)(2)．【详解】（1）依题意得：，，∵向量与垂直，∴，解得．（2）由（1），，∵向量与的夹角为锐角，∴且．解得且.∴k的取值范围是．【变式1】（2023下·河南焦作·高一统考期中）若向量的夹角为锐角，则实数的范围是（

）A． B．(，4)C． D．(，1)【答案】A【详解】因向量的夹角为锐角，则，且不共线，即.综上可知，或.故选：A【变式2】（2023下·江西萍乡·高一统考期末）已知向量，．(1)若，试判断向量与是否垂直；(2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．【答案】(1)向量与不垂直；(2)【详解】（1）若，则，，故，∴，所以当时，向量与不垂直；（2）由题意知，，向量与的夹角为钝角，∴，解得，当与反向时，有，解得，所以向量与的夹角为钝角时，实数的取值范围是．题型07向量数量积的最值（范围）问题【典例1】（2023下·四川成都·高一四川省成都市第四十九中学校校考期中）已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，设，，，且，时，取最小值；时，取最大值，∴的取值范围是，故选：A.【典例2】（2023上·辽宁本溪·高二校考期中）如图，在边长为4的正方形中，点是正方形外接圆上任意一点，则的取值范围是.

【答案】【详解】以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系如图所示，则点，，，设以轴非负半轴为始边，为终边的角为，易知外接圆的半径为，所以点，则，所以，因为，所以.即的取值范围为.故答案为：

【变式1】（2023上·上海普陀·高三上海市晋元高级中学校考期中）已知点是边长为2的正内一点，且，若，则的最小值为（

）.A． B． C． D．【答案】C【详解】取的中点，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，则点、、，设点，，，，且，则，可得，由于点在正内，则，可得，则，可得，，，所以当时，取最小值.故选：C.【变式2】（2023·全国·模拟预测）如图，等腰梯形ABCD中，，，点E是线段BD上的动点，则的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，过A且与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则，，，，所以．

设，，，（注意判断的取值范围，为后续计算做准备）则，所以，得，所以，所以，．所以，所以当时，取得最小值，为．故选：A题型08向量模的最值（范围）问题【典例1】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知向量，，若非零向量满足，则取最小值时，的坐标为.【答案】【详解】设，则由，得，所以，所以，即，化得.又，所以.当时，取得最小值，此时，即.故答案为：.【典例2】（2023下·河南周口·高一统考期末）在平面直角坐标系中，已知点,，(1)求的值；(2)是坐标平面上的点，，，求的最小值.【答案】(1)4(2)【详解】（1）因为,，所以，故.因为，所以.（2），，，因为，所以当时，取得最小值为.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，若，，，则的最小值为.【答案】【详解】由题意得，，则，所以，又，所以，于是，由于，故当时，的最小值是.故答案为：【变式2】（2023·全国·高三专题练习）设，向量，，且，则；当时，的取值范围为．【答案】【详解】因为，所以，即，得，所以．由题知，又，所以当时，取得最小值，最小值为5，当时，取得最大值，最大值为25，故的取值范围为．故答案为：；题型09向量夹角最值（范围问题）【典例1】（2022上·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，，，，，，三者直接各自的夹角都为锐角，，，，，，即在上的投影为1，在上的投影为3，，，如图，即，且则，由基本不等式得，，与的夹角为锐角，，由余弦函数可得：与夹角的取值范围是，故选：C.【典例2】（2020上·上海徐汇·高二位育中学校考期中）已知为△边上的中线，点满足且，则的最小值为.【答案】【详解】由且，则，构建如下平面直角坐标系，G为原点，结合中线可令，，，则，，∴，由，当且仅当时等号成立，所以，仅当时等号成立，即的最小值为.故答案为：【变式1】（2021下·江苏·高一期中）设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为为单位向量，不妨设，且，所以，又因为，所以，化简得，所以，，，当时，，故选：CA夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023上·海南海口·高二校考阶段练习）已知向量，，若，则（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】利用向量垂直的坐标表示求解即得.【详解】向量，，由，得，所以.故选：D2．（2023上·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由两边平方可得，带入即可得解,【详解】因为，等式两边平方得，又，所以，解得.故选：D.3．（2023上·湖北·高三襄阳五中校联考期中）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据投影向量的公式计算即可.【详解】在上的投影向量为．故选：B.4．（2023上·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校校考阶段练习）已知向量，，若，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量共线的坐标表示以及数量积的坐标运算求解.【详解】因为，所以即，所以，所以，故选:D.5．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，且，则（

）A．4 B．5 C． D．2【答案】B【分析】设，根据向量的模、向量垂直列方程，求得的坐标，进而求得.【详解】设，因为，，所以，即①．又因为，所以，即，即②．联立①②可得或，所以或，所以.故选：B6．（2023上·宁夏银川·高三校联考阶段练习）已知向量，，，若，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量垂直的坐标表示及模长公式计算即可.【详解】由题意可知，，所以，则.故选：C7．（2023·四川内江·统考一模）已知向量，，其中.若，则当恒成立时实数的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【答案】B【分析】先求出向量的模，然后由数量积定义结合三角函数有界性可得的最大值，然后可解.【详解】由题知，，所以，当同向时等号成立，所以，要使恒成立，只需，解得或.故选：B8．（2023上·安徽·高二校联考期中）如图，在长方形中，，点P满足，其中，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到，，从而求出，求出最值.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则，设，因为，所以，即，故，，则，则，因为，所以，，故.故选：B二、多选题9．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（

）A．若，则或B．若，则C．当时，向量在向量方向上的投影向量为D．若或，则与夹角为钝角【答案】AC【分析】根据向量的坐标运算逐个判断即可.【详解】对于A：若，则，解得或，A正确；对于B：，若，则，即，解得，所以B错误；对于C：当时，，所以向量在向量方向上的投影向量为，C正确；对于D：当时，，，此时与的方向相反，此时与夹角为，D错误，故选：AC10．（2023上·广东佛山·高二佛山市第四中学校考开学考试）若向量，，，则（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根据向量垂直的坐标表示，数量积和向量的模的坐标，逐项判定，即可求解.【详解】由题向量，可得，可得，所以，所以AC错误，B正确；又由，，所以，所以D正确.故选：BD.三、填空题11．（2023·贵州黔东南·统考一模）向量在向量上的投影向量为，则.【答案】【分析】根据投影向量公式可得，然后由向量模的坐标表示可得.【详解】因为，所以向量在向量上的投影向量为，所以，所以，所以.故答案为：12．（2023上·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）已知16个边长为1的小菱形的位置关系如图所示，且每个小菱形的最小内角为60°，图中的A，B，C，D四点均为菱形的顶点，则.【答案】【分析】以图形的对称轴为y轴，过点A作对称轴的垂线为x轴，建立平面直角坐标系.写出各点坐标进而求得向量的坐标，即可求得数量积.【详解】因为每个小菱形的最小内角为60°，所以每个小菱形都可以分为两个正三角形.以该图形的对称轴为y轴，过点A作对称轴的垂线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，，所以，，所以.故答案为：四、解答题13．（2023上·广东惠州·高二惠州市惠阳区崇雅实验学校校考阶段练习）已知平面直角坐标系中，向量.(1)若，且，求向量的坐标；(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】(1)或(2)【详解】（1）设，由题意知，因为，所以，又因为，所以，所以或.（2）由题意，则，当与共线时，，因为与的夹角为锐角，所以，解得，且，所以与的夹角为锐角，实数的取值范围为.14．（2023上·辽宁沈阳·高二学业考试）给定三个平面向量．(1)求的大小；(2)若向量与向量共线，求实数的值．【答案】(1)(2)【详解】（1），则，所以，因为，所以；（2），，因为向量与向量共线，所以，解得．B能力提升1．（2023上·云南·高三校联考阶段练习）设，向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】向量在向量上的投影向量为，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选：A.2．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是（

）A． B．1 C． D．【答案】C【详解】等腰梯形ABCD中，作垂直于于点，作垂直于于点，又，，，则，，，，则建立如图所示平面直角坐标系，则，，，，又P为腰AD所在直线上任意一点，则设，，则点P的坐标为，所以，，又关于的二次函数的对称轴为，则在上单调递减，所以当，即点P和点