人教A版高中数学（必修第一册）同步讲义第38讲 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（原卷版）

第06讲5.4.2正弦函数、余弦函数的性质课程标准学习目标①结合正弦函数、余弦函数的图象掌握正、余弦函数的性质。②会求正、余弦函数的周期，单调区间、对称点、对称轴及最值，及结合函数的图象会求函数的解析式，并能求出相关的基本量。会求正、余弦函数的最小正周期，单调区间，对称点，对称区间，会求两类函数的最值.知识点01：函数的周期性1.周期函数的定义一般地,设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,如果存在一个非零常数SKIPIF1<0,使得对每一个SKIPIF1<0,都有SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,那么函数SKIPIF1<0就叫做周期函数.非零常数SKIPIF1<0叫做这个函数的周期.2.最小正周期的定义如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做SKIPIF1<0的最小正周期.

【即学即练1】（2023春·天津红桥·高一统考期末）函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0的最小正周期SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.知识点02：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数奇偶性SKIPIF1<0奇函数SKIPIF1<0偶函数SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为奇函数；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为偶函数；SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为奇函数；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为偶函数；【即学即练2】（2023秋·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】12【详解】由于SKIPIF1<0，依题意可知SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0知识点03：正弦、余弦型函数的常用周期函数最小正周期SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0SKIPIF1<0无周期SKIPIF1<0SKIPIF1<0【即学即练3】（2023秋·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）函数SKIPIF1<0的最小正周期为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】由诱导公式可知，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不恒相等，故SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0知识点04：正弦函数、余弦函数的图象和性质函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0图象定义域定义域SKIPIF1<0SKIPIF1<0值域SKIPIF1<0SKIPIF1<0周期性SKIPIF1<0SKIPIF1<0奇偶性奇函数偶函数单调性在每一个闭区间SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)上都单调递增;在每一个闭区间SKIPIF1<0(SKIPIF1<0上都单调递减在每一个闭区间SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)上都单调递增;在每一个闭区间SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)上都单调递减最值当SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)时，SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)时，SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)时，SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)时，SKIPIF1<0;图象的对称性对称中心为SKIPIF1<0(SKIPIF1<0),对称轴为直线SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)对称中心为SKIPIF1<0(SKIPIF1<0),对称轴为直线SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)【即学即练4】（2023·全国·高三专题练习）y＝cosSKIPIF1<0的单调递减区间为.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即所求单调递减区间为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型01三角函数的周期问题及简单应用【典例1】（2023秋·高一课时练习）下列函数，最小正周期为SKIPIF1<0的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（多选）（2023秋·河北秦皇岛·高二校考开学考试）下列函数中是奇函数，且最小正周期是SKIPIF1<0的函数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023秋·高一课时练习）求下列函数的最小正周期．(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，最小正周期为π的函数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（多选）（2023·全国·高一假期作业）下列函数中，是周期函数的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）求下列函数的最小正周期．(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．题型02三角函数的奇偶性及其应用【典例1】（2023春·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0为奇函数的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【典例2】（多选）（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0的取值可以为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是奇函数，则SKIPIF1<0的值为．【典例4】（2023·贵州·校联考模拟预测）若函数SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0的最小正值为.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）使函数SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0的一个值可以是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（多选）（2023秋·江西抚州·高二江西省乐安县第二中学校考开学考试）若函数SKIPIF1<0是偶函数，则SKIPIF1<0的值不可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式3】（2023秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）设函数SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【变式4】（2023·河北沧州·校考模拟预测）若函数SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0的最小值为.题型03函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题【典例1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函数，且SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是单调函数，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的最小正周期为2.若存在SKIPIF1<0，使得对于任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023秋·山西·高三统考期末）写出一个同时满足下列三个条件的函数SKIPIF1<0的解析式.①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.【变式1】（2023·高一课时练习）已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函数，若SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，且SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内是单调函数，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．3 B．3或7 C．5 D．7【变式3】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0的值可以为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式4】（2023·全国·高三专题练习）某函数SKIPIF1<0满足以下三个条件：①SKIPIF1<0是偶函数；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0的最大值为4．请写出一个满足上述条件的函数SKIPIF1<0的解析式．题型04求三角函数的单调区间【典例1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的单调递增区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【典例2】（2023·高一单元测试）函数SKIPIF1<0单调减区间为【典例3】（2023·全国·高一课堂例题）用“五点法”作出函数SKIPIF1<0的图象，并指出它的最小正周期、最值及单调区间.【变式1】（2023秋·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调递增区间为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023·全国·高三专题练习）y＝cosSKIPIF1<0的单调递减区间为.【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）求函数SKIPIF1<0的单调递增区间．题型05利用单调性比较三角函数值的大小【典例1】（2023春·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·江西南昌·高一南昌市第三中学校考阶段练习）下列各式中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023秋·高一课时练习）比较下列各组数的大小.(1)SKIPIF1<0与SKIPIF1<0；(2)cos1与sin2.【典例4】（2023·全国·高一随堂练习）不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）SKIPIF1<0与SKIPIF1<0；

（2）SKIPIF1<0与SKIPIF1<0.【变式1】（2023春·四川眉山·高一校考期中）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，判断a与b的大小关系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．无法判断【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）比较下列各组数的大小：(1)SKIPIF1<0与SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0与SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0与SKIPIF1<0．题型06已知三角函数的单调情况求参数问题【典例1】（2023秋·云南大理·高二云南省下关第一中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时有最大值，且SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在区SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023春·安徽马鞍山·高一安徽省当涂第一中学校考期中）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则实数SKIPIF1<0的取值范围为.【变式1】（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0不单调，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递减，且最小值为负值，则SKIPIF1<0的值可以是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【变式3】（多选）（2023春·湖北省直辖县级单位·高一校考期中）已知SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则实数SKIPIF1<0的取值可以是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【变式4】（2023春·辽宁朝阳·高一朝阳市第一高级中学校考期中）已知函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，且SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内单调，则SKIPIF1<0的最大值为．题型07三角函数的对称性【典例1】（2023·全国·高一假期作业）设函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，则它的一条对称轴方程为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递减，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一条对称轴，且函数SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023·河南开封·统考三模）已知函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，其图象关于直线SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0.【典例4】（2023春·北京·高一校考期中）设函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0的值可以是．（写出一个满足条件的值即可）【变式1】（2023秋·江西·高二宁冈中学校考开学考试）函数SKIPIF1<0的一条对称轴为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）已知常数SKIPIF1<0，如果函数SKIPIF1<0的图像关于点SKIPIF1<0中心对称，那么SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式3】（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．3 B．3或7 C．5 D．7【变式4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，那么SKIPIF1<0的最小值为．题型08利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值【典例1】（2023春·山西朔州·高一校考阶段练习）函数SKIPIF1<0的值域为．【典例2】（2023秋·河南南阳·高三校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的单调区间；(2)求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域．【典例3】（2023春·江西南昌·高一南昌市第五中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的对称中心和单调递减区间；(2)若SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的值域.【变式1】（2023·全国·高一专题练习）函数y=2cos(2x+SKIPIF1<0)，xSKIPIF1<0[-SKIPIF1<0，SKIPIF1<0]的值域是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023秋·甘肃·高三校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的最小正周期；(2)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的最小值和最大值.【变式3】（2023春·新疆·高二校考期末）已知函数SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的最小正周期；(2)求函数SKIPIF1<0的单调递增区间.(3)求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值.题型09换元法求值域或最大(小)值(可化为一元二次函数型）【典例1】（2023春·四川泸州·高一校考阶段练习）函数SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高一课堂例题）求函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值．【典例3】（2023春·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的定义域为SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0的最大值为3，最小值为1，求a，b的值．【变式1】（2023秋·甘肃天水·高一校联考期末）函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值域为．【变式2】（2023·全国·高一专题练习）函数SKIPIF1<0的最小值是．【变式3】（2023·高一课时练习）已知SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的值域．题型10分式型求值域或最大(小)值【典例1】（2023·高一课时练习）函数SKIPIF1<0的定义域是，值域是．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）求函数SKIPIF1<0的值域．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的值域为.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的值域为．A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础1．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）函数SKIPIF1<0的一个单调减区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023春·四川眉山·高一统考期中）函数SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023秋·江西抚州·高二黎川县第二中学校考开学考试）函数SKIPIF1<0是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．以上都不对4．（2023春·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）函数SKIPIF1<0的最小正周期为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2023秋·广东珠海·高三珠海市第二中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，在区间SKIPIF1<0上没有零点，则SKIPIF1<0的取值共有（

）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个6．（2023·全国·高三专题练习）使函数SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0的一个值可以是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2023春·安徽阜阳·高一安徽省阜南实验中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值等于（

）A．2 B．-2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1二、多选题9．（2023秋·河北秦皇岛·高二校考开学考试）下列函数中是奇函数，且最小正周期是SKIPIF1<0的函数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）设函数SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0是奇函数B．SKIPIF1<0的周期是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称D．SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称三、填空题11．（2023秋·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的单调递减区间是．12．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）写出一个同时满足下列条件的函数SKIPIF1<0解析式.①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.四、解答题13．（2023秋·甘肃定西·高一统考期末）已知函数SKIPIF1<0图象相邻两对称轴之间的距离为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的解析式；(2)求函数SKIPIF1<0的单调区间.14．（2023春·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，(1)求不等式SKIPIF1<0的解集(2)若SKIPIF1<0求函数SKIPIF1<0的值域15．（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0(1)用“五点法”画出函数SKIPIF1<0在一个周期内的图象；(2)直接写出函数SKIPIF1<0的值域和最小正周期．列表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0作图：

B能力提升1．（2023秋·山东·高三校联考阶段练习）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0