2025届山东省武城县实验中学数学九上期末统考试题含解析

2025届山东省武城县实验中学数学九上期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(-2.2，y1)，B(-3.2，y2)是图象上的两点，则y1与y2的大小关系是()．A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定2．关于的一元二次方程，则的条件是()A． B． C． D．3．已知M（a，b）是平面直角坐标系xOy中的点，其中a是从l，2，3，4三个数中任取的一个数，b是从l，2，3，4，5五个数中任取的一个数．定义“点M（a，b）在直线x+y=n上”为事件Qn（2≤n≤9，n为整数），则当Qn的概率最大时，n的所有可能的值为（）A．5 B．4或5 C．5或6 D．6或74．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原来的2倍，得到△A´B´C´,以下说法错误的是（）A． B．△ABC∽△A´B´C´C．∥A´B´ D．点,点,点三点共线5．一元二次方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定6．函数与函数在同一坐标系中的大致图象是（）A． B． C． D．7．在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆()A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离8．三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤两次，得到三个数字a、b、c，则以a、b、c为边长能构成等腰三角形的概率是()A． B． C． D．9．关于x的一元二次方程x2+bx﹣10＝0的一个根为2，则b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．710．已知圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径r=6，若d是方程x2–x–6=0的一个根，则直线l与圆O的位置关系为（）A．相切 B．相交C．相离 D．不能确定二、填空题(每小题3分,共24分)11．一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个．现在往袋中放入m个白球和4个黑球，使得摸到白球的概率为，则m＝__．12．若关于x的方程x2-x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为___．13．已知是关于的方程的一个根，则______.14．观察下列各式：；；；则_______________________.15．如图，在等边三角形ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上的一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是________．16．已知一个圆锥底面圆的半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为_____cm1．（结果保留π）17．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=1．将扇形OAB沿过点B的直线折叠．点O恰好落在延长线上点D处，折痕交OA于点C，整个阴影部分的面积_____．18．如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在矩形内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为___________.三、解答题(共66分)19．（10分）已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1＝1．（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；（2）当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值及方程的根．20．（6分）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+2nx+c的图象过坐标原点.(1)若a=-1.①当函数自变量的取值范围是-1≤x≤2，且n≥2时，该函数的最大值是8，求n的值;②当函数自变量的取值范围是时，设函数图象在变化过程中最高点的纵坐标为m，求m与n的函数关系式，并写出n的取值范围;（2）若二次函数的图象还过点A（-2，0），横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点，二次函数图象与直线AB围城的区域（不含边界）为T，若区域T内恰有两个整点，直接写出a的取值范围.21．（6分）如图1，在矩形中，，点从点出发向点移动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点移动，速度为每秒2个单位长度.两点同时出发，且其中的任何一点到达终点后，另一点的移动同时停止.（1）若两点的运动时间为，当为何值时，？（2）在（1）的情况下，猜想与的位置关系并证明你的结论.（3）①如图2，当时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则_________.②当，时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则_________（用含的代数式表示）.22．（8分）如图，已知抛物线经过、两点，与轴相交于点.（1）求抛物线的解析式；（2）点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，直接写出点的坐标和周长最小值;（3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标.23．（8分）为了创建文明城市，增弘环保意识，某班随机抽取了8名学生（分别为A，B，C，D，E，F，G，H），进行垃圾分类投放检测，检测结果如下表，其中“√”表示投放正确，“×”表示投放错误，学生垃圾类别ABCDEFGH可回收物√××√√×√√其他垃圾×√√√√×√√餐厨垃圾√√√√√√√√有害垃圾×√×××√×√（1）检测结果中，有几名学生正确投放了至少三类垃圾？请列举出这几名学生．（2）为进一步了解学生垃圾分类的投放情况，从检测结果是“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取2名进行访谈，求抽到学生A的概率．24．（8分）若，且2a－b＋3c＝21.试求a∶b∶c.25．（10分）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）在y轴上找一点P，使PD+PH的值最小，则PD+PH的最小值为26．（10分）解方程:（1）；（2）.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】根据抛物线的对称性质进行解答．【详解】因为抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝−3，点A(-2.2，y1)，B(-3.2，y2)，所以点B与对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，所以y1＜y2故选：A．【点睛】考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．解题时，利用了二次函数图象的对称性．2、C【解析】根据一元二次方程的定义即可得．【详解】由一元二次方程的定义得解得故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题关键．3、C【解析】试题分析：列树状图为：∵a是从l，2，3，4四个数中任取的一个数，b是从l，2，3，4，5五个数中任取的一个数．又∵点M（a，b）在直线x+y=n上，2≤n≤9，n为整数，∴n=5或6的概率是，n=4的概率是，∴当Qn的概率最大时是n=5或6的概率是最大．故选C．考点：1、列表法与树状图法；2、一次函数图象上点的坐标特征4、A【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．【详解】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，

∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，OB´：BO＝2：1，故选项A错误，符合题意．

故选：A．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．5、A【解析】先求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案．【详解】解：一元二次方程中，△，则原方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根6、B【分析】根据函数与函数分别确定图象即可得出答案．【详解】∵，-2＜0，∴图象经过二、四象限，∵函数中系数小于0，∴图象在一、三象限．故选：B．【点睛】此题主要考查了从图象上把握有用的条件，准确确定图象位置，正确记忆一次函数与反比例函数的区别是解决问题的关键．7、C【解析】分析：首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X轴的距离是4，到Y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案．解答：解：圆心到X轴的距离是4，到y轴的距离是3，4=4，3＜4，∴圆与x轴相切，与y轴相交，故选C．8、C【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与构成等腰三角形的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】画树状图得：

∵共有27种等可能的结果，构成等腰三角形的有15种情况，

∴以a、b、c为边长正好构成等腰三角形的概率是：．

故选：C．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9、C【解析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得到关于b的一次方程，然后解一次方程即可．【详解】解：把x=2代入程x2+bx﹣10=0得4+2b﹣10=0解得b=1．故选C．点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．10、B【分析】先解方程求得d，根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系即可解题．【详解】解方程：x2–x–6=0，即：,解得，或(不合题意，舍去)，

当时，，则直线与圆的位置关系是相交；故选：B【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离和半径的大小关系．没有交点，则；一个交点，则；两个交点，则．二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【分析】根据概率公式列出方程，即可求出答案．【详解】解：由题意得，解得m＝1，经检验m＝1是原分式方程的根，故答案为1．【点睛】本题主要考查了概率公式，根据概率公式列出方程是解题的关键．12、30°【解析】试题解析：∵关于x的方程有两个相等的实数根，∴解得：∴锐角α的度数为30°；故答案为30°．13、9【分析】根据一元二次方程根的定义得，整体代入计算即可.【详解】∵是关于的方程的一个根，∴，即，∴故答案为：．【点睛】考查了一元二次方程的解的定义以及整体思想的运用．14、【分析】由所给式子可知，（）（）=，根据此规律解答即可.【详解】由题意知（）（）=，∴.故答案为.【点睛】本题考查了规律型---数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．15、6【解析】由题意得，∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60°，∴∠APO=∠COD，在△AOP与△CDO中，，∴△AOP≌△CDO（AAS），∴AP=CO=AC﹣AO=9﹣3=6.故答案为6.16、60π【解析】试题分析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可.由题意得圆锥的母线长∴圆锥的侧面积．考点：勾股定理，圆锥的侧面积点评：解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积底面半径×母线.17、9π﹣12．【详解】解：连接OD交BC于点E，∠AOB=90°，∴扇形的面积==9π，由翻折的性质可知：OE=DE=3，在Rt△OBE中，根据特殊锐角三角函数值可知∠OBC=30°，在Rt△COB中，CO=2，∴△COB的面积=1，∴阴影部分的面积为=9π﹣12．故答案为9π﹣12．【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）及扇形面积的计算，掌握图形之间的面积关系是本题的解题关键．18、【分析】分别求出矩形ABCD的面积和阴影部分的面积即可确定概率.【详解】设每相邻两个点之间的距离为a则矩形ABCD的面积为而利用梯形的面积公式和图形的对称性可知阴影部分的面积为∴小球停留在阴影区域的概率为故答案为【点睛】本题主要考查随机事件的概率，能够求出阴影部分的面积是解题的关键.三、解答题(共66分)19、（3）a=，方程的另一根为；（2）答案见解析.【解析】（3）把x=2代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，进一步解方程即可；（2）分两种情况探讨：①当a=3时，为一元一次方程；②当a≠3时，利用b2－4ac＝3求出a的值，再代入解方程即可．【详解】（3）将x＝2代入方程，得，解得：a＝．将a＝代入原方程得，解得：x3＝，x2＝2．∴a＝，方程的另一根为；（2）①当a＝3时，方程为2x＝3，解得：x＝3.②当a≠3时，由b2－4ac＝3得4－4(a－3)2＝3，解得：a＝2或3．当a＝2时，原方程为：x2＋2x＋3＝3，解得：x3＝x2＝－3；当a＝3时，原方程为：－x2＋2x－3＝3，解得：x3＝x2＝3．综上所述，当a＝3，3，2时，方程仅有一个根，分别为3，3，－3.考点：3.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.20、(1)①n=1;②（2）【分析】（1）①根据已知条件可确定抛物线图象的基本特征，从而列出关于的方程，即可得解；②根据二次函数图象的性质分三种情况进行分类讨论，从而得到与的分段函数关系；（2）由得正负进行分类讨论，结合已知条件求得的取值范围．【详解】解：(1)∵抛物线过坐标原点∴c=0，a=-1∴y=-x2+2nx∴抛物线的对称轴为直线x=n，且n≥2，抛物线开口向下∴当-1≤x≤2时，y随x的增大而增大∴当x=2时，函数的最大值为8∴-4+4n=8∴n=1．②若则∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小∴当时，函数值最大，；若则∴此时，抛物线的顶点为最高点∴；若则∴抛物线开口向下，在对称轴左侧，随的增大而增大∴当时，函数值最大，∴综上所述：（2）结论：或证明：∵过∴∴①∵若，直线的解析式为，抛物线的对称轴为直线∴顶点为，对称轴与直线交点坐标为∴两个整点为，∵不含边界∴∴②∵若，区域内已经确定有两个整点，∴在第三项象限和第一象限的区域内都要确保没有整点∴∴∵当时，直线上的点的纵坐标为，抛物线上的点的纵坐标为∴∴∴故答案为：（1）①；②（2）或【点睛】本题属于二次函数的综合创新题目，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，注意分类讨论思想方法的应用．21、（1）；（2），证明见解析；（3）①；②【分析】（1）根据相似三角形的性质，可得，进而列出方程，求出t的值.（2）根据相似三角形的性质，可得，进而根据等量关系以及矩形的性质，得出，进而得出结论.（3）①根据全等三角形的判定，可得出△AMB≌△DNA，再根据全等三角形的性质，即可得出AM=DN，得出方程，求解即可得出答案.【详解】解：（1）∵，∴，∴，解得.（2）.证明：∵，∴.∵，∴，∴，即.（3）①∵∴∠ABE＋∠BAE=90°∵∴∵AD=AB，∠BAD=∠ADC=90°∴△AMB≌△DNA∴AM=DN∴t=2-2t∴t=②∵由①知，∠BAD=∠ADC=90°∴∵∴=n∴∴t=【点睛】本题主要考察了相似三角形和全等三角形，熟练掌握相似三角形的性质和正确找出线段之间的关系是解题的关键.22、（1）；（2），；（3），，【分析】(1)把、代入抛物线即可求出b,c即可求解;(2)根据A,B关于对称轴对称,连接BC交对称轴于P点,即为所求,再求出坐标及的周长;(3)根据△QAB的底边为4,故三角形的高为4,令=4，求出对应的x即可求解.【详解】(1)把、代入抛物线得解得∴抛物线的解析式为：;(2)如图，连接BC交对称轴于P点,即为所求,∵∴C(0,-3),对称轴x=1设直线BC为y=kx+b,把,C(0,-3)代入y=kx+b求得k=1,b=-3,∴直线BC为y=x-3令x=1，得y=-2，∴P（1，-2），∴的周长=AC+AP+CP=AC+BC=+=;(3)∵△QAB的底边为AB=4,∴三角形的高为4,令=4，即解得x1=,x2=,x3=1故点的坐标为，，.【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法与一次函数的求解.23、（1）有5位同学正确投放了至少三类垃圾，他们分别是B、D、E、G、H同学；（2）．【分析】（1）从表格中，找出正确投放了至少三类垃圾的同学即可；（2））“有害垃圾”投放错误的学生有A、C、D、E、G同学，用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“有A同学”的结果数，进而求出概率．【详解】解：（1）有5位同学正确投放了至少三类垃圾，他们分别是B、D、E、G、H同学，（2）“有害垃圾”投放错误的学生有A、C、D、E、G同学，从中抽出2人所有可能出现的结果如下：共