高考数学微专题集不动点与蛛网图(原卷版+解析)

不动点与蛛网图不动点与蛛网图第一讲实数数列的“不动点”一、相关的概念1、数列的“生成函数”：也叫数列的“特征函数”.得到的函数如：，把当作y，把当做；2、数列的迭代：根据初始值及递推关系逐一计算数列各项的过程.前一次计算时的y，是后一次计算的x.3、数列的不动点：满足的的数值.例1.己知.若是常数数列，求的值.解：∵，∴或，∴或1（1）数列的“不动点”其实不是点，而是数值；（2）若不动点，则数列是常数数列，不动点.二、进一步分析：满足，的的数值，叫数列的“不动点”；任何实数数列都有不动点吗？无实数解例2.已知数列满足.若数列有不动点，则实数b的取值范围是___________.（1）数列角度（2）函数角度：有解（3）函数图象的角度：①数列有不动点生成函数的图象与直线有交点；②生成函数图象与直线的交点的横（纵）坐标=不动点.例3、已知数列满足，则（）A.当时，恒成立B.当时，恒成立C.当时，恒成立D.当时，恒成立解：（1）当时，数列有不动点，即有实数解；（2）图象角度：当时，抛物线与直线有交点；（3）不动点的数值：①B中，由得：②C中，由得：或2③D中，由得：选项B中，取，则不成立；C，D同理可排除.实际不用算，看图判断出：不动点即可.问题：当，即时，无论取何值，为什么恒成立？1、观察抛物线和直线的位置关系：（1）函数角度：恒成立；（2）数列角度：恒成立；严格单调递增2、如何保证呢？∵∴∴∴∴∴，∴∴三、不动点的分类例4.已知.讨论的单调性.解：（1）当时，为常数数列；（2）当时，用归纳法或同号法，可证明：∴∴递增如时，…与不动点的差，随n增大而增大.（3）当时，同理可证，且递减如时，与不动点的差，也随n增大而增大.总之，当时，随着n增大，逐渐“远离”不动点.这种不动点，叫“排斥不动点例5.己知.讨论的单调性.解：（1）当时，为常数数列；（2）当时，如时，数列递减，随n增大，向不动点逐渐“靠拢”；（3）当时，如时，数列递增，随n增大，向不动点逐渐“靠拢”；这种不动点，叫“吸引不动点”，总之，不动点可分为“排斥不动点”、“吸引不动点”等，具体的判定方法和应用，我们下节课会结合“蛛网图”讨论.本讲小结1、数列的迭代运算：逐个代入，计算各项的过程.如：前一次计算时的y，是后一次计算的x.蛛网图的原理！2、数列的“生成函数”：得到的函数的生成函数是：3、数列的不动点：满足的的数值，叫数列的“不动点”；（1）数列本身的角度：①当不动点时，为常数数列.②不动点分成：吸引不动点，排斥不等点等.（2）生成函数图象的角度：①数列有不动点生成函数的图象与直线有交点；②不动点=生成函数图象与直线的交点的横（纵）坐标.第二讲“蛛网图”的来历和本质一、“蛛网图”的来历和本质上节课例4.已知.讨论的单调性.当时，前一步的y，是后一步的x迭代计算是一个代数运算的过程；“蛛网图”是把迭代过程→几何（图象）化处理.已知.讨论的单调性.时，…时，，…刚才是在x轴、y轴上转换的.我们也可以通过辅助线进行转换.蛛网图：利用数列的生成函数图象，以及辅助线，对迭代过程进行图象化处理.（1）画出生成函数图象和直线；（2）当x，当y，在生成函数图象上画出点；（3）向直线作水平线，得交点；（4）向生成函数图象作铅垂线线，得交点，…二、不动点的类型和性质上一课中，我们提到有“排斥不动点”和“吸引不动点”等.现在用“蛛网图”来验证不动点的以下性质：对于型的数列，若该数列有不动点，记某个不动点为，（1）若，则该不动点为“吸引不动点”；（其中不恒等于0）（2）若，则该不动点为“排斥不动点”；（3）若，则该不动点对一侧吸引，对另一侧排斥.1、，吸引不动点定理：当时，若，则数列递增；若，则数列递减.定理：当时，与单调性相反.每次都“吸引过头”.2、，排斥不动点定理：当时，若，则数列递增；若，则数列递减.3、时数列单调递增：；数列严格单调递增：.数列是否严格单调递增或严格单调递减，与生成函数单调性以及初始值有关！本讲小结1.不动点的分类相交型不动点：2.蛛网图的原理借助于直线，把递推数列的迭代过程，用图象表示出来.优点：代数问题几何化，形象、直观；缺点：不能替代大题目的代数证明.第三讲“不动点”和“蛛网图”的应用（一）应用1、判定数列的单调性和极限例1.已知数列满足.分别判断和时数列的单调性；均单调递减单调递增例2已知.（1）判定数列单调性；（2）判断是否恒成立.选项（1）：数列递增；选项（2）：极限为1（4）不恒成立，存在，使得时，.应用2、已知数列的生成函数和单调性，求的取值范围由例1，例2可知：生成函数确定的情况下，数列的单调性有时还与迭代初始值有关.例4首项为正数的数列满足.若对一切，都有，求的取值范围.解：∴或例5已知数列满足，且对任意，有，则的取值范围是____________.解：由得：，不动点画出函数及直线的图象（1）时，是吸引不动点，数列递增；（2）时，吸引、1排斥数列递减；（3）时，1排斥递增到“高台跳水”；（4）时，∴例6已知常数，数列满足，首项为，前n项和为.若对任意成立，则的取值范围为_________.解：（1）生成函数为在上方，数列递增（2）恒成立是什么意思？；∴（3），∵∴∴法2：∵，∴，∴递增法3：设，则，∴作图或者作差数列递增，记数列的前n项和为，则，∴且后面同理本讲小结1、不动点和蛛网图的应用应用1、判定数列的单调性和极限；应用2、已知数列的生成函数及单调性，求的取值范围2、注意事项（1）灵活选用不动点的性质、蛛网图法或代数方法；（2）生成函数不连续时，要注意间断点两侧的不同情况.（3）碰到复杂而陌生的问题，要注意“退”的思想和“换元法”的应用.第四讲“不动点”和“蛛网图”的应用应用3、已知数列单调性，求生成函数中的参数范围例1.数列满足.若单调递增，则实数c的取值范围是______________.分析：生成函数，抛物线随着c的变化而上下平移.（1）当时，从不动点角度：令相切从数列角度：时，（2）当时，抛物线在直线的下方递减（3）当时，假如，蛛网图判断：（4）怎样才能避免后面递减？迭代过程落在递增区域内！前一个y，是后一个x.对称轴，即：顶点不得高于直线例2若数列满足，若对任意正整数n都有，则实数m的最大值为（）A.0.5B.1C.2D.4解：生成函数，图象是抛物线，开口向上（1）若，则数列递增，∴的必要条件是：方程有解有解，∴（2）当时，抛物线与直线相切∵，∴在直线上方迭代，数列递增，不动点为2，∴答案：C例3数列满足，若对一切，则m的取值范围是（）A.B.C.D.解：生成函数为左加右减：，向右平移m个单位（1）当时，图象在直线上方，没有不动点，无限递增，不合题意；（2）当时，相切型不动点2生成函数递增，，符合题意；（3）当时，吸引不动点∵，，符合题意.答案：A例4.已知数列满足.若，则的最小值是_______；若，且存在常数，使得任意，则实数k的取值范围是__________.解：（1）∵，可知：，∴∴例4-2.己知数列满足.若，且存在常数，使得任意，则实数k的取值范围是___________.分析：生成函数含参考虑参数对图象的影响坐标变换通过怎样的坐标变换，才会得到？x不变，y变k倍（1）时，，符合题意；（2）时，k的取值对图象的影响：动图解：（1）时，，∴时，左侧的排斥不动点法一、法二、算临界状态点在直线上，此时法三、不低于点∴，∴∴时，抛物线开口向上在直线的上方时，数列发散；∴，∴综合以上分析可知：（1）时，2，0，0，0…，成立；（2）时，左侧的排斥不动点即不低于点∴，∴（3）时，右侧的排斥不动点即不高于点∴，∴综上所述，第五讲“不动点”和“蛛网图”的应用应用4、判定与的大小关系判定单调性是比较与的大小，实际上可以推广到与或其它形式.例1已知，.（2）判断是否恒成立；解：初始值开始迭代，直线迭代区域在直线上方∴恒成立例2已知.（4）判断是否恒成立.解：（1）当时，是否成立？（2）当时，是否恒成立？∴∴成立例3已知数列满足.下列说法错误的是（）A.B.C.D.解：与直线对照：切线不等式A.正确：B.，正确；C正确；D.，错误.与比大小与比高低（迭代范围内）【强化训练】1．数列满足：.若数列单调递减，则c的取值范围是________；若数列单调递增，则c的取值范围是__________.2．已知数列满足：，.则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．3．数列满足：，则（

）A． B． C． D．4．已知数列满足：，，若对任意的正整数均有，则实数的最大值是_____.5．已知数列，满足.若则的最小值是___________，若，且存在常数，使得任意，则的取值范围是______________.6．设数列满足.若存在常数，对于任意，恒有，则的取值范围是_________.7．设数列满足，若存在常数，使得对于任意的，恒有，则的取值范围是________.8．已知数列若（且），若对任意恒成立，则实数t的取值范围是_________.9．设，数列中，，,则A．当 B．当C．当 D．当10．数列满足：，则（

）A． B．C． D．11．已知数列满足0，且，则A． B．C． D．12．已知数列满足，则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．13．已知数列满足：，，，是数列的前100项和，且满足，则不可能是A． B．C． D．14．已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是A． B． C． D．不动点与蛛网图不动点与蛛网图第一讲实数数列的“不动点”一、相关的概念1、数列的“生成函数”：也叫数列的“特征函数”.得到的函数如：，把当作y，把当做；2、数列的迭代：根据初始值及递推关系逐一计算数列各项的过程.前一次计算时的y，是后一次计算的x.3、数列的不动点：满足的的数值.例1.己知.若是常数数列，求的值.解：∵，∴或，∴或1（1）数列的“不动点”其实不是点，而是数值；（2）若不动点，则数列是常数数列，不动点.二、进一步分析：满足，的的数值，叫数列的“不动点”；任何实数数列都有不动点吗？无实数解例2.已知数列满足.若数列有不动点，则实数b的取值范围是___________.（1）数列角度（2）函数角度：有解（3）函数图象的角度：①数列有不动点生成函数的图象与直线有交点；②生成函数图象与直线的交点的横（纵）坐标=不动点.例3、已知数列满足，则（）A.当时，恒成立B.当时，恒成立C.当时，恒成立D.当时，恒成立解：（1）当时，数列有不动点，即有实数解；（2）图象角度：当时，抛物线与直线有交点；（3）不动点的数值：①B中，由得：②C中，由得：或2③D中，由得：选项B中，取，则不成立；C，D同理可排除.实际不用算，看图判断出：不动点即可.问题：当，即时，无论取何值，为什么恒成立？1、观察抛物线和直线的位置关系：（1）函数角度：恒成立；（2）数列角度：恒成立；严格单调递增2、如何保证呢？∵∴∴∴∴∴，∴∴三、不动点的分类例4.已知.讨论的单调性.解：（1）当时，为常数数列；（2）当时，用归纳法或同号法，可证明：∴∴递增如时，…与不动点的差，随n增大而增大.（3）当时，同理可证，且递减如时，与不动点的差，也随n增大而增大.总之，当时，随着n增大，逐渐“远离”不动点.这种不动点，叫“排斥不动点例5.己知.讨论的单调性.解：（1）当时，为常数数列；（2）当时，如时，数列递减，随n增大，向不动点逐渐“靠拢”；（3）当时，如时，数列递增，随n增大，向不动点逐渐“靠拢”；这种不动点，叫“吸引不动点”，总之，不动点可分为“排斥不动点”、“吸引不动点”等，具体的判定方法和应用，我们下节课会结合“蛛网图”讨论.本讲小结1、数列的迭代运算：逐个代入，计算各项的过程.如：前一次计算时的y，是后一次计算的x.蛛网图的原理！2、数列的“生成函数”：得到的函数的生成函数是：3、数列的不动点：满足的的数值，叫数列的“不动点”；（1）数列本身的角度：①当不动点时，为常数数列.②不动点分成：吸引不动点，排斥不等点等.（2）生成函数图象的角度：①数列有不动点生成函数的图象与直线有交点；②不动点=生成函数图象与直线的交点的横（纵）坐标.第二讲“蛛网图”的来历和本质一、“蛛网图”的来历和本质上节课例4.已知.讨论的单调性.当时，前一步的y，是后一步的x迭代计算是一个代数运算的过程；“蛛网图”是把迭代过程→几何（图象）化处理.已知.讨论的单调性.时，…时，，…刚才是在x轴、y轴上转换的.我们也可以通过辅助线进行转换.蛛网图：利用数列的生成函数图象，以及辅助线，对迭代过程进行图象化处理.（1）画出生成函数图象和直线；（2）当x，当y，在生成函数图象上画出点；（3）向直线作水平线，得交点；（4）向生成函数图象作铅垂线线，得交点，…二、不动点的类型和性质上一课中，我们提到有“排斥不动点”和“吸引不动点”等.现在用“蛛网图”来验证不动点的以下性质：对于型的数列，若该数列有不动点，记某个不动点为，（1）若，则该不动点为“吸引不动点”；（其中不恒等于0）（2）若，则该不动点为“排斥不动点”；（3）若，则该不动点对一侧吸引，对另一侧排斥.1、，吸引不动点定理：当时，若，则数列递增；若，则数列递减.定理：当时，与单调性相反.每次都“吸引过头”.2、，排斥不动点定理：当时，若，则数列递增；若，则数列递减.3、时数列单调递增：；数列严格单调递增：.数列是否严格单调递增或严格单调递减，与生成函数单调性以及初始值有关！本讲小结1.不动点的分类相交型不动点：2.蛛网图的原理借助于直线，把递推数列的迭代过程，用图象表示出来.优点：代数问题几何化，形象、直观；缺点：不能替代大题目的代数证明.第三讲“不动点”和“蛛网图”的应用（一）应用1、判定数列的单调性和极限例1.已知数列满足.分别判断和时数列的单调性；均单调递减单调递增例2已知.（1）判定数列单调性；（2）判断是否恒成立.选项（1）：数列递增；选项（2）：极限为1（4）不恒成立，存在，使得时，.应用2、已知数列的生成函数和单调性，求的取值范围由例1，例2可知：生成函数确定的情况下，数列的单调性有时还与迭代初始值有关.例4首项为正数的数列满足.若对一切，都有，求的取值范围.解：∴或例5已知数列满足，且对任意，有，则的取值范围是____________.解：由得：，不动点画出函数及直线的图象（1）时，是吸引不动点，数列递增；（2）时，吸引、1排斥数列递减；（3）时，1排斥递增到“高台跳水”；（4）时，∴例6已知常数，数列满足，首项为，前n项和为.若对任意成立，则的取值范围为_________.解：（1）生成函数为在上方，数列递增（2）恒成立是什么意思？；∴（3），∵∴∴法2：∵，∴，∴递增法3：设，则，∴作图或者作差数列递增，记数列的前n项和为，则，∴且后面同理本讲小结1、不动点和蛛网图的应用应用1、判定数列的单调性和极限；应用2、已知数列的生成函数及单调性，求的取值范围2、注意事项（1）灵活选用不动点的性质、蛛网图法或代数方法；（2）生成函数不连续时，要注意间断点两侧的不同情况.（3）碰到复杂而陌生的问题，要注意“退”的思想和“换元法”的应用.第四讲“不动点”和“蛛网图”的应用应用3、已知数列单调性，求生成函数中的参数范围例1.数列满足.若单调递增，则实数c的取值范围是______________.分析：生成函数，抛物线随着c的变化而上下平移.（1）当时，从不动点角度：令相切从数列角度：时，（2）当时，抛物线在直线的下方递减（3）当时，假如，蛛网图判断：（4）怎样才能避免后面递减？迭代过程落在递增区域内！前一个y，是后一个x.对称轴，即：顶点不得高于直线例2若数列满足，若对任意正整数n都有，则实数m的最大值为（）A.0.5B.1C.2D.4解：生成函数，图象是抛物线，开口向上（1）若，则数列递增，∴的必要条件是：方程有解有解，∴（2）当时，抛物线与直线相切∵，∴在直线上方迭代，数列递增，不动点为2，∴答案：C例3数列满足，若对一切，则m的取值范围是（）A.B.C.D.解：生成函数为左加右减：，向右平移m个单位（1）当时，图象在直线上方，没有不动点，无限递增，不合题意；（2）当时，相切型不动点2生成函数递增，，符合题意；（3）当时，吸引不动点∵，，符合题意.答案：A例4.已知数列满足.若，则的最小值是_______；若，且存在常数，使得任意，则实数k的取值范围是__________.解：（1）∵，可知：，∴∴例4-2.己知数列满足.若，且存在常数，使得任意，则实数k的取值范围是___________.分析：生成函数含参考虑参数对图象的影响坐标变换通过怎样的坐标变换，才会得到？x不变，y变k倍（1）时，，符合题意；（2）时，k的取值对图象的影响：动图解：（1）时，，∴时，左侧的排斥不动点法一、法二、算临界状态点在直线上，此时法三、不低于点∴，∴∴时，抛物线开口向上在直线的上方时，数列发散；∴，∴综合以上分析可知：（1）时，2，0，0，0…，成立；（2）时，左侧的排斥不动点即不低于点∴，∴（3）时，右侧的排斥不动点即不高于点∴，∴综上所述，第五讲“不动点”和“蛛网图”的应用应用4、判定与的大小关系判定单调性是比较与的大小，实际上可以推广到与或其它形式.例1已知，.（2）判断是否恒成立；解：初始值开始迭代，直线迭代区域在直线上方∴恒成立例2已知.（4）判断是否恒成立.解：（1）当时，是否成立？（2）当时，是否恒成立？∴∴成立例3已知数列满足.下列说法错误的是（）A.B.C.D.解：与直线对照：切线不等式A.正确：B.，正确；C正确；D.，错误.与比大小与比高低（迭代范围内）【强化训练】1．数列满足：.若数列单调递减，则c的取值范围是________；若数列单调递增，则c的取值范围是__________.2．已知数列满足：，.则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．3．数列满足：，则（

）A． B． C． D．4．已知数列满足：，，若对任意的正整数均有，则实数的最大值是_____.5．已知数列，满足.若则的最小值是___________，若，且存在常数，使得任意，则的取值范围是______________.6．设数列满足.若存在常数，对于任意，恒有，则的取值范围是_________.7．设数列满足，若存在常数，使得对于任意的，恒有，则的取值范围是________.8．已知数列若（且），若对任意恒成立，则实数t的取值范围是_________.9．设，数列中，，,则A．当 B．当C．当 D．当10．数列满足：，则（

）A． B．C． D．11．已知数列满足0，且，则A． B．C． D．12．已知数列满足，则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．13．已知数列满足：，，，是数列的前100项和，且满足，则不可能是A． B．C． D．14．已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是A． B． C． D．参考答案：1．

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##分析：若数列单调递减，则恒成立，可得恒成立，由此可得c的范围.若数列单调递增，则，即，且母函数.数列有极限，其值为其不动点.又在上单调增加，故，所.于是只需要证明时满足条件，时不满足条件即可.【详解】①若数列单调递减，∵，∴，∴，∴恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，∴c＜0.②数列单调递增，则当时，.当时，，而在上单调递增，∴，即，假设当n＝k，k∈时，，则，即，故由数学归纳法可得，即数列单调递增；当时，∵，∴，即，∴，，∵，∴，∴，∴.∴，令，故当时，，此时，而在上单调递减，∴，即，与题意矛盾.综上，的取值范围是.2．B【解析】构造函数，求导判断函数的单调性，判断数列的单调性，结合单调性判断的取值范围.【详解】设，因为，当时，得；则在和单调递增，当时，，则函数在上单调递减，且，可得，所以，即数列为单调递增数列，又，，根据数列单调性可得：，所以.故选：B.【点睛】本题考查数列的单调性及判断，考查数列的函数特性，难度一般，根据函数的性质判断数列的单调性是关键.3．A分析：由，变形为开方求解判断.【详解】因为，所以，因为，所以，则，故，因为，所以，。故选：A4．2分析：根据递推公式可考虑分析,再累加求出关于关于参数的关系,根据表达式的取值分析出,再用数学归纳法证明满足条件即可.【详解】因为,累加可得.若,注意到当时,,不满足对任意的正整数均有.所以.当时,证明：对任意的正整数都有.当时,成立.假设当时结论成立,即,则,即结论对也成立.由数学归纳法可知,对任意的正整数都有.综上可知,所求实数的最大值是2.故答案为：2【点睛】本题主要考查了根据数列的递推公式求解参数最值的问题,需要根据递推公式累加求解,同时注意结合参数的范围问题进行分析.属于难题.5．

分析：第一空：令,将问题转化为函数问题,则表示点与原点连线的斜率，观察图象即可求解.第二空：将问题转化为当,则，结合二次函数的最值以及翻折后图象列式即可求解.【详解】（1）令，，表示点与原点连线的斜率，因为，所以，由于为最高点，所以最小，等于.（2）当时，显然存在；当时，由，则，由图象可知，使得任意成立，则需即

又,所以,故的取值范围是.【点睛】本题考查数列的综合应用.数列是一种特殊的函数，所以在求解数列最值问题可以借助函数的思想解决.6．分析：首先根据题意得到，当时，设，进而求出，然后判断是否满足题意，当时，得出数列和函数的单调性，进而判断是否满足题意.【详解】由题意，，所以.若，令，则，，此时，存在M=2，使得；若，，即数列是递增数列，而函数在上单调递增，且值域为，故此时数列不满足题意.综上：的取值范围是.故答案为：.7．分析：由已知条件可得，得，结合已知可得，从而可求出的取值范围【详解】因为，所以，即，即，等价于，故只需，解得，所以，故，即，所以的取值范围为故答案为：8．分析：方法一，根据必要条件求出的取值范围，再证明范围内的满足，即可确定的取值范围；方法二，利用蛛网法，分和两种情况，结合图象列式即可求出的取值范围.【详解】法1：必要先行；.，得证.法2：蛛网法记函数，过定点.当时，迭代收敛于点A，只需位于直线下方，即；当时，迭代收敛于点A，由蛛网图：单调递减，故只需即综上.9．A【解析】若数列为常数列，，则只需使，选项的结论就会不成立.将每个选项的的取值代入方程，看其是否有小于等于10的解.选项B、C、D均有小于10的解，故选项B、C、D错误.而选项A对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A选项正确.【详解】若数列为常数列，则，由，可设方程选项A：时，，，，故此时不为常数列，，且，，则，故选项A正确；选项B：时，，，则该方程的解为，即当时，数列为常数列，，则，故选项B错误；选项C：时，，该方程的解为或，即当或时，数