高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题8.7立体几何中的向量方法(真题测试)(原卷版+解析)

专题8.7立体几何中的向量方法（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）在空间直角坐标系中，平面的法向量为，已知，则P到平面的距离等于（）A． B． C． D．2．（陕西·高考真题（理））如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,且，则直线与直线夹角的余弦值为（）A． B． C． D．3．(2023·全国·高三专题练习）在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（

）A．1 B． C． D．5．(2023·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，E是侧面AA1B1B（含边界）上的动点，且有AB1⊥平面C1DE，则直线C1E与侧面AA1B1B所成角的正弦值的最小值为（）A． B． C． D．6．(2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B．C． D．7．(2023·河南省直辖县级单位·二模（理））如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且，，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．8．(2023·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））平行六面体中，，则与底面所成的线面角的正弦值是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为，为棱上的动点，平面过点且与平面平行，则（

）A．B．三棱锥的体积为定值C．与平面所成的角可以是D．平面与底面和侧面的交线长之和为10.(2023·江苏·高三专题练习）已知四棱锥的各顶点都在球上，底面为矩形，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接，则下列结论正确的是（

）A．平面B．球的表面积是C．与平面所成角的正弦值是D．平面截球的截面圆面积是11．(2023·全国·南京外国语学校模拟预测）在直三棱柱中，，，为的中点，点是线段上的点，则下列说法正确的是（

）A．B．存在点，使得直线与所成的角是C．当点是线段的中点时，三棱锥外接球的表面积是D．当点是线段的中点时，直线与平面所成角的正切值为．12．(2023·湖南·岳阳一中一模）如图，在三棱锥中，，，，为的中点，点是棱上一动点，则下列结论正确的是（

）A．三棱锥的表面积为B．若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为C．若与平面所成角的正弦值为，则二面角的正弦值为D．的取值范围为三、填空题13．(2023·福建漳州·三模）已知正方体ABCD—的棱长为4，M在棱上，且1，则直线BM与平面所成角的正弦值为___________．14.(2023·四川·高考真题（理））如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为.15．(2023·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）如图，在四棱锥中，，分别是，的中点，底面，，，，若平面平面，则二面角的正弦值是_________.16．(2023·天津市第四中学模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，，，，分别是，的中点.（1）直线与平面所成角的正切值为___________；（2）直线到平面的距离为___________；（3）已知点在棱上，平面与平面所成二面角为60°则线段的长为___________.四、解答题17．(2023·全国·高考真题（理））在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．18．（2023·北京·高考真题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．（1）求证：为的中点；（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．19．(2023·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．20．（2023·全国·高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．21．(2023·全国·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．(1)证明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．22.（2023·天津高考真题）如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．专题8.7立体几何中的向量方法（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）在空间直角坐标系中，平面的法向量为，已知，则P到平面的距离等于（）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：根据点面距的向量公式计算．【详解】所求距离为．故选：C．2．（陕西·高考真题（理））如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,且，则直线与直线夹角的余弦值为（）A． B． C． D．答案：A【解析】【详解】设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈，〉＝3．(2023·全国·高三专题练习）在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线PN和BM的方向向量代入公式即可得出答案.【详解】以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，，则，，设异面直线PN和BM所成角为，则.故选：B.4．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（

）A．1 B． C． D．答案：D【解析】分析：利用坐标法，设，可得动点P到直线的距离为，然后利用二次函数的性质即得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则，设，则，∴动点P到直线的距离为，当时取等号，即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.故选：D.5．(2023·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，E是侧面AA1B1B（含边界）上的动点，且有AB1⊥平面C1DE，则直线C1E与侧面AA1B1B所成角的正弦值的最小值为（）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：取上靠近的四等分点为F，由题设可得，利用空间向量证得，由线面垂直的判定可证平面，进而确定线面角正弦值最小时E的位置，即可求得答案.【详解】取上靠近的四等分点为F，连接，此时平面，证明如下：因为直三棱柱中侧棱长为，，，是的中点，所以面，面，则，以为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴建系；所以，即，此时，即，，所以平面，由面，易知：△上边的高为，综上，动点在线段上，且要使直线C1E与侧面AA1B1B所成角的正弦值的最小，只需E、F重合，则，故直线C1E与侧面AA1B1B所成角的正弦值的最小值为.故选：C6．(2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：解法一：可以通过几何法找到异面直线所成角的平面角，结合余弦定理可以求出；解法二：通过空间向量法，用坐标运算可以求出.【详解】解法一：设E为BC的中点，连接FE，如图，∵E是BC的中点，∴∥，,,;在中，由余弦定理可知∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为，解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，易知，，，所以，，则，∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为.故选：D7．(2023·河南省直辖县级单位·二模（理））如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且，，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：根据圆柱的特征，以为原点建立空间直角坐标系，根据题意可得，，，利用向量法即可求出答案.【详解】解：因为AB是圆柱底面圆的一条直径，所以，又OP是圆柱的一条母线，如图，以为原点建立空间直角坐标系，因为，所以，，又因，所以，所以，即，设，则，则，则，设平面PAB的法向量为，则有，可取，则，所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.故选：A.8．(2023·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））平行六面体中，，则与底面所成的线面角的正弦值是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：连接，相交于点，依题意可得平面，从而得到平面平面，则是与底面所成角，利用锐角三角函数求出，建立如图所示空间直角坐标系，求出点的坐标，即可得到点的坐标，利用空间向量法求出线面角的正弦值．【详解】解：如图所示，连接，相交于点，连接．平行六面体中，且，不妨令，，都是等边三角形．是等边三角形．，，，平面平面，平面，平面平面，是与底面所成角．因为，，所以．如图建立空间直角坐标系，则，，，，其中的坐标计算如下，过作交于点，因为，，所以，所以，，因为所以，所以，显然平面的法向量为，设与底面所成的角为，则故选：A二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为，为棱上的动点，平面过点且与平面平行，则（

）A．B．三棱锥的体积为定值C．与平面所成的角可以是D．平面与底面和侧面的交线长之和为答案：AB【解析】分析：由、可证得平面，由线面垂直的性质可证得A正确；由线面平行的判定可知平面，知点到平面的距离为，由棱锥体积公式可知B正确；以为坐标原点可建立空间直角坐标系，假设线面角为，利用线面角的向量求法可构造方程，由方程无解知C错误；将底面和侧面展开到同一平面，可得交线的轨迹，由平行关系可知，知D错误.【详解】对于A，四边形为正方形，；平面，平面，，又，平面，平面；平面，，A正确；对于B，，平面，平面，平面，又，点到平面的距离即为，，B正确；对于C，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，则，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；设，则，；若与平面所成的角为，则，方程无解，与平面所成的角不能为，C错误；对于D，设平面与底面和侧面的交线分别为，则，，将底面和侧面沿展开到同一平面，则三点共线且，，D错误.故选：AB.10.(2023·江苏·高三专题练习）已知四棱锥的各顶点都在球上，底面为矩形，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接，则下列结论正确的是（

）A．平面B．球的表面积是C．与平面所成角的正弦值是D．平面截球的截面圆面积是答案：AD【解析】分析：结合线面垂直、外接球、线面角、球的截面的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，，平面，平面，平面，，，是的中点，则，，，，平面，平面，平面，，依题意，，，平面．平面故A正确；因为，，三线两两垂直，所以以，，为棱的长方体的外接球即为四棱锥的外接球，且球心为的中点，，则球的半径为，表面积为，故B错误，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，则由A选项知平面，则平面的法向量为，设与平面所成角为，故，故C错误由A知：平面．因为，所以，，，则平面截球的截面圆半径为，则截面圆的面积为，故D正确．故选：AD11．(2023·全国·南京外国语学校模拟预测）在直三棱柱中，，，为的中点，点是线段上的点，则下列说法正确的是（

）A．B．存在点，使得直线与所成的角是C．当点是线段的中点时，三棱锥外接球的表面积是D．当点是线段的中点时，直线与平面所成角的正切值为．答案：AD【解析】分析：建立空间直角坐标系，使用向量法可判断ABD；利用的外心坐标设外接球球心坐标，根据可得.【详解】易知AB、BC、两两垂直，如图建立空间直角坐标系则所以，，，记因为，所以，A正确；因为记直线与所成的角为，则，因为，所以，故B错误；当点是线段的中点时，点P坐标为易知的外心坐标为，故设三棱锥外接球的球心为，则，即，解得，所以三棱锥外接球的半径，表面积，C错误；当点是线段的中点时，，易知为平面的一个法向量，记直线与平面所成角为，则，因为，所以，所以，D正确.故选：AD12．(2023·湖南·岳阳一中一模）如图，在三棱锥中，，，，为的中点，点是棱上一动点，则下列结论正确的是（

）A．三棱锥的表面积为B．若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为C．若与平面所成角的正弦值为，则二面角的正弦值为D．的取值范围为答案：ABD【解析】分析：连结OB.证明出面ABC.O为原点，以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.对于A：直接求出三棱锥的表面积，即可判断；对于B：用向量法求出异面直线与所成角的余弦值，即可判断；对于C：用向量法求出二面角的平面角的正弦值为，即可判断；对于D:把平面PBC展开，判断出当M与C重合时，最大；的最小值为AP，利用余弦定理可以求得.【详解】连结OB.在三棱锥中，，，.所以,,且,.所以，所以.又因为，所以面ABC.可以以O为原点，以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.则，，，，，所以,,,.对于A：在三棱锥中，，，，所以底面三角形为直角三角形，其面积为；为边长为2的等边三角形，所以面积为；和为腰长为2，底边为的等腰三角形，所以面积均为；所以三棱锥的表面积为.故A正确；对于B：为棱的中点，所以,所以,.所以异面直线与所成角的余弦值为.故B正确；对于C：点是棱上一动点，不妨设，（）.所以.设为面PAM的一个法向量，则，不妨设y=1，则.因为与平面所成角的正弦值为，所以，解得：取，则显然，面PAC的一个法向量为.设二面角的平面角为，所以，所以.故C错误；对于D:如图示，把平面PBC展开，使A、B、C、P四点共面.当M与B重合时，；当M与C重合时，最大；连结AP交BC于M1，由两点之间直线最短可知，当M位于M1时，最小.此时，，所以.由余弦定理得：.所以的取值范围为.故D正确.故选：ABD三、填空题13．(2023·福建漳州·三模）已知正方体ABCD—的棱长为4，M在棱上，且1，则直线BM与平面所成角的正弦值为___________．答案：【解析】分析：作出正方体，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，计算即可.【详解】如图所示，以为原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，所以有，，，，，，则，，，设平面的法向量，则由，令，得，设直线BM与平面所成角为，则，故答案为：.14.(2023·四川·高考真题（理））如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为.答案：【解析】【详解】建立坐标系如图所示.设，则.设，则，由于异面直线所成角的范围为，所以.，令，则，当时取等号.所以，当时，取得最大值.15．(2023·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）如图，在四棱锥中，，分别是，的中点，底面，，，，若平面平面，则二面角的正弦值是_________.答案：##【解析】分析：建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面的法向量，再由向量的夹角公式代入求解余弦值，从而可得正弦值.【详解】设，则平面平面，由重心的性质可得，因为底面，，设，，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，，，设平面，的法向量为，则，，所以，由图可知，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为，正弦值为.故答案为：16．(2023·天津市第四中学模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，，，，分别是，的中点.（1）直线与平面所成角的正切值为___________；（2）直线到平面的距离为___________；（3）已知点在棱上，平面与平面所成二面角为60°则线段的长为___________.答案：

【解析】分析：建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值，二面角的余弦值以及点到平面的距离；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，．，，，，．设平面的法向量为，则，即令，则．所以．设直线与平面所成角为，所以直线与平面所成角的正弦值为，即，所以，所以，所以直线与平面所成角的正切值．因为，平面平面，所以平面，所以到平面的距离，即点到平面的距离，所以，故直线到平面的距离为；假设在棱上存在一点，使得平面与平面所成二面角为，设，．则，设平面的法向量为，则，即，取，则，又平面的法向量为．所以，解得，故在棱上存在一点，使得平面与平面所成二面角为，点的坐标为，即．故答案为：；；；四、解答题17．(2023·全国·高考真题（理））在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．答案：(1)证明见解析；(2).【解析】分析：（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.(1)证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因为平面，所以；(2)解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，则，则，设平面的法向量，则有，可取，则，所以与平面所成角的正弦值为.18．（2023·北京·高考真题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．（1）求证：为的中点；（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．答案：（1）证明见解析；（2）．【解析】分析：(1)首先将平面进行扩展，然后结合所得的平面与直线的交点即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数的值.【详解】(1)如图所示，取的中点，连结，由于为正方体，为中点，故，从而四点共面，即平面CDE即平面，据此可得：直线交平面于点，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点与点重合，即点为中点.(2)以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，设，则：，从而：，设平面的法向量为：，则：，令可得：，设平面的法向量为：，则：，令可得：，从而：，则：，整理可得：，故（舍去）.19．(2023·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．答案：(1)证明见解析；(2)．【解析】分析：（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、，由平面知识易得，再根据二面角的定义可知，，由此可知，，，从而可证得平面，即得；（2）由（1）可知平面，过点做平行线，所以可以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，以及，即可利用线面角的向量公式解出．(1)过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点交于点、．∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且，∴平面是二面角的平面角，则，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．(2)因为平面，过点做平行线，所以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量为由，得，取，设直线与平面所成角为，∴．20．（2023·全国·高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值