2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题45空间向量及其应用学生版

专题45空间向量及其应用一、【学问梳理】【考纲要求】1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，驾驭空间向量的正交分解及其坐标表示.2.驾驭空间向量的线性运算及其坐标表示.3.驾驭空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积推断向量的共线和垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简洁定理.【考点预料】1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合的向量共面对量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对随意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面对量定理：假如两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：假如三个向量a，b，c不共面，那么对随意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则称a与b相互垂直，记作a⊥b.(2)两向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(3)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③支配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4.空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)))5.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：假如表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.6.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2l1∥l2u1∥u2⇔u1＝λu2l1⊥l2u1⊥u2⇔u1·u2＝0直线l的方向向量为u，平面α的法向量为nl∥αu⊥n⇔u·n＝0l⊥αu∥n⇔u＝λn平面α，β的法向量分别为n1，n2α∥βn1∥n2⇔n1＝λn2α⊥βn1⊥n2⇔n1·n2＝0【常用结论】1．在平面中，A，B，C三点共线的充要条件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内随意一点．2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中随意一点．【方法技巧】1.用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量视察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．2.证明空间四点P，M，A，B共面的方法(1)eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(MB,\s\up6(→))或eq\o(PB,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→)))．3.由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，确定要依据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算精确．4.利用向量法证明平行问题①线线平行：方向向量平行．②线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直．③面面平行：两平面的法向量平行．5.利用向量法证明垂直问题的类型及常用方法线线垂直问题证明两直线所在的方向向量相互垂直，即证它们的数量积为零线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直二、【题型归类】【题型一】空间向量的线性运算【典例1】在空间四边形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，5，2)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则eq\o(EF,\s\up6(→))的坐标为()A．(2，3，3) B．(－2，－3，－3)C．(5，－2，1) D．(－5，2，－1)【典例2】正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心．若向量eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，则实数x，y的值分别为()A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2) D．x＝eq\f(1,2)，y＝1【典例3】在三棱锥O­ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))表示(1)eq\o(MG,\s\up6(→))；(2)eq\o(OG,\s\up6(→)).【题型二】共线、共面对量定理的应用【典例1】已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．(1)推断eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；(2)推断点M是否在平面ABC内．【典例2】如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．推断向量eq\o(MN,\s\up6(→))是否与向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面．【典例3】已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．(1)推断eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；(2)推断点M是否在平面ABC内．【题型三】空间向量数量积的运算【典例1】如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→)).(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．【典例2】已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，4))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，4))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，2))【典例3】如图所示，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1⊥BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值．【题型四】利用向量证明平行与垂直【典例1】如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2eq\r(5)，AA1＝eq\r(7)，BB1＝2eq\r(7)，点E和F分别为BC和A1C的中点.(1)求证：EF∥平面A1B1BA；(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1.【典例2】如图，正方形ABCD的边长为2eq\r(2)，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝eq\r(3)，且FO⊥平面ABCD.(1)求证：AE∥平面BCF；(2)求证：CF⊥平面AEF.【典例3】在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.求证：(1)EF∥平面PAB；(2)平面PAD⊥平面PDC.三、【培优训练】【训练一】(多选)如图，一个结晶体的形态为平行六面体ABCD­A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是()A．(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))2＝2(eq\o(AC,\s\up6(→)))2B.eq\o(AC1,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝0C．向量eq\o(B1C,\s\up6(→))与eq\o(AA1,\s\up6(→))的夹角是60°D．BD1与AC所成角的余弦值为eq\f(\r(6),3)【训练二】如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(GA1,\s\up6(→))，AC1与平面EFG交于点M，则eq\f(AM,AC1)＝________.【训练三】已知O点为空间直角坐标系的原点，向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,2,3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2,1,2)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取得最小值时，eq\o(OQ,\s\up6(→))的坐标是______．【训练四】如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为________．【训练五】如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的全部棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.【训练六】如图，在底面为直角梯形的四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝eq\r(3)，BC＝4.(1)求证：BD⊥PC；(2)设点E在棱PC上，eq\o(PE,\s\up6(→))＝λeq\o(PC,\s\up6(→))，若DE∥平面PAB，求λ的值．四、【强化测试】【单选题】1.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b相互垂直，则k的值是()A.eq\f(7,5)B．2C.eq\f(5,3)D．12.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM＝2MC′，则下列向量中与eq\o(OM,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(7,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))B．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))3.在空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A．－1B．0C．1D．不确定4.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.eq\r(3)B.eq\r(2)C．1D.eq\r(3－\r(2))5.已知空间随意一点O和不共线的三点A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.已知空间向量a＝(1,0,1)，b＝(1,1，n)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)7.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.eq\r(3) B.eq\r(2)C.1 D.eq\r(3－\r(2))8.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面相互垂直，AB＝eq\r(2)，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为()A.(1，1，1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，\f(\r(2),3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，1))【多选题】9.已知空间三点A(1,0,3)，B(－1,1,4)，C(2，－1,3)，若eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，且|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝eq\r(14)，则点P的坐标为()A．(4，－2,2) B．(－2,2,4)C．(－4,2，－2) D．(2，－2,4)10.已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(－1,3,1)，则下列结论正确的有()A.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))是共线向量B．与eq\o(AB,\s\up6(→))共线的单位向量是(1,1,0)C.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))夹角的余弦值是－eq\f(\r(55),11)D．平面ABC的一个法向量是(1，－2,5)11.下面四个结论正确的是()A．向量a，b(a≠0，b≠0)，若a⊥b，则a·b＝0B．若空间四个点P，A，B，C，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(PB,\s\up6(→))，则A，B，C三点共线C．已知向量a＝(1,1，x)，b＝(－3，x，9)，若x<eq\f(3,10)，则〈a，b〉为钝角D．随意向量a，b，c满足(a·b)·c＝a·(b·c)12.给出下列命题，其中为假命题的是()A．已知n为平面α的一个法向量，m为直线l的一个方向向量，若n⊥m，则l∥αB．已知n为平面α的一个法向量，m为直线l的一个方向向量，若〈n，m〉＝eq\f(2π,3)，则l与α所成角为eq\f(π,6)C．若两个不同的平面α，β的法向量分别为u，v，且u＝(1,2，－2)，v＝(－2，－4,4)，则α∥βD．已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的随意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc【填空题】13.如图所示，在四面体OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq\o(OE,\s\up6(→))＝________________(用a，b，c表示)．14.若a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，则与a＋b同方向的单位向量是____________．15.已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(x，y,15)三点共线，则xy＝________.16.如图，已知四棱柱ABCD－A1