广东省广州市学2024-2025学年高三数学上学期9月月考

本试卷共8页，满分150分，考试用时120分钟一､单选题1.若集合，集合，则集合（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依据集合中元素确定集合，再依据并集的运算即可.【详解】因为，当，时，可取0，，；当，时，可取1，0，；当，时，可取2，1，0，所以，所以.故选：D.2.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意首先计算复数值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得，则.故选：B.3.如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算【详解】.故选：B4.已知，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】依据必要条件、充分条件的概念推断即可.【详解】解：由题意，由可得，反之，，即，故，所以“”是“”的充要条件.故选：B5.设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为，则甲厂生产该芯片的次品率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先设分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，甲厂生产该芯片的次品率为，得到则，，，，再利用全概率公式求解即可.【详解】设分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，甲厂生产该芯片的次品率为，则，，，，则由全概率公式得：，解得，故选：B．6.直线l经过椭圆的两个顶点，若椭圆中心到l的距离为其长轴长的，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据椭圆的性质求得直线l为，利用点线距离公式列方程求离心率即可.【详解】不妨设椭圆为且，，由椭圆对称性，令过，则，即，所以，则，即，故.故选：D7.已知数列满意，且，数列满意，，则的最小值为（）．A. B.5 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等差数列通项公式可求得公差和，接受累加法可求得，再推断单调性即可计算作答.【详解】由数列满意，，依据等差数列的定义知，数列是首项为，公差为2的等差数列，所以，，当时，，又满意，，所以.设，依据对勾函数的性质可知，当时，单调递减；当时，单调递增.又，，所以，当时，有最小值为.故选：D.8.十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个闻名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中，所求点称为费马点.已知在中，已知，，且点M在AB线段上，且满意,若点P为的费马点，则（）A.﹣1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由余弦定理可得，再由正弦定理可得sinB，进而求得cosB，设，由余弦定理可得CM，进而求出的面积，依据定义可得P为三角形的正等角中心，再由等面积法可得，再由平面对量的数量积公式得解．【详解】因为在中，，，所以由余弦定理可得，由正弦定理可得，即，又B为锐角，所以，设，则，即，解得，即，所以，则，又，则为锐角，由于，故，所以的三个内角均小于，则P为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；所以，所以，所以，故选：C．【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的运用，考查平面对量的综合运用，考查运算求解实力，解答的关键在于确定的费马点位置，进而利用面积关系求出，即可解决问题.二､多选题9.下面四个命题中的真命题为（）A.若复数满意，则B.若复数满意，则C.若复数，满意，则D.若复数，则【答案】AD【解析】【分析】A选项，设，，依据得到，从而；BC选项，可举出反例；D选项，由，得到，D正确.【详解】A选项，设，，则，故，则，故A为真命题；B选项，复数满意，但，故命题B假命题；C选项，若复数，满意，但，故命题C为假命题；D选项，若复数，则，故D为真命题.故选：AD10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.C.在上单调递增D.的图象关于直线对称【答案】ABD【解析】【分析】由图可知，求得，可推断A；由结合求得，可推断B；利用三角函数的单调性求解可推断C；求出的解析式，进而求出对称轴，可推断D.【详解】由图可知，则，故A正确.因为，所以，即.因为，所以，则B正确.令，解得，此时单调递增；令，解得，此时单调递减.由，得在上单调递减，在上单调递增，则C错误.因为，所以.令，，得，.当时，，则的图象关于直线对称，故D正确.故选：ABD.11.下列计算中正确的是（）A.B.若，则C.D.都是锐角，，，则或【答案】AB【解析】【分析】利用帮助角和二倍角公式化简可得A正确；将写成的形式，利用诱导公式及二倍角公式可得B正确；由角的范围将根号下式子化简即可得，可知C错误；利用都是锐角可分别求出其正弦、余弦值，再由代入即可得，即D错误.【详解】对于A，由二倍角和帮助角公式可得，所以A正确；对于B，依题意知，所以，即B正确；对于C，由可得，因此；所以，即C错误；对于D，因为都是锐角，，所以可得，易知，又，所以，因此，即D错误；故选：AB12.已知直线与曲线相交于两点，与相交于两点，的横坐标分别为，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】依据题意，利用导数分别求得函数和的单调性和最大值，作出两个函数的图象，利用图象结合对数的运算性质，逐项判定，即可求解.【详解】由函数，可得，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，又由函数，可得，令，可得，当当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，作出两个函数和的图象，如图所示，由，可得，所以A正确；因为且在上单调递增，又因为，所以，所以，所以B错误；因为且在上单调递减，又因为，，所以，所以C正确；由，所以D正确.故选：ACD.【点睛】方法技巧已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、干脆法，干脆依据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分别参数法，先分别参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型①，构造函数（或，构造函数）；②，构造函数（或，构造函数）；③，构造函数（或，构造函数）.三､填空题13.已知，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】由同角三角函数的关系求值.【详解】已知，则.故答案为：.14.已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影向量的坐标为__________.【答案】【解析】【分析】干脆依据向量的投影公式求解即可【详解】因为，所以，则在方向上的投影为.故答案为：.15.陀螺是中国民间较早的消遣工具之一，也称陀罗，图l是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中A是圆锥的顶点，B，C分别是圆柱的上､下底面圆的圆心，且，，底面圆的半径为1，则该陀螺的表面积是______.【答案】【解析】【分析】依据题意，求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，从而求得该陀螺的表面积，得到答案.【详解】因为陀螺的底面圆的半径为，由，则，即圆柱的母线长为，所以圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，圆柱的底面积为，所以该陀螺的表面积为.故答案为：.16.某数学爱好小组在阅读了《选择性必修第一册》中数列的课后阅读之后，对斐波那契数列产生了深厚的爱好．书上说，斐波那契数列满意：，，的通项公式为.在自然界，兔子的数量，树木枝条的数量等都符合斐波那契数列．该学习爱好小组成员也提出了一些结论：①数列是严格增数列；②数列的前n项和满意；③；④.那么以上结论正确的是______（填序号）【答案】②③【解析】【分析】依据数列的特征以及递推公式，即可推断①；由已知可得，累加法即可得出②；，变形可得时，，然后累加，即可得出③；举例，验证，即可推断④.【详解】对于①，由题意可知，，，.由已知，则当时，单调递增.所以，时，由已知可知，单调递增，且.所以数列在时，为严格增数列.但是该数列的前三项不满意，故①错误；对于②，当时，有，，，，，，两边同时相加可得，，所以，，故②正确；对于③，由已知可得，，，，，两边同时相加可得，，故③正确；对于④，当时，左边为，右边为，明显不成立，故④错误.所以，结论正确的是②③.故答案为：②③.【点睛】关键点睛：由递推公式推得，，进而累加法，逐项相消即可得出.四､解答题17.已知数列为非零数列，且满意（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据递推公式，分当时和时，进行求解即可.(2)由（1）得到通项公式，再依据分组求和，即可求解.【小问1详解】当时，，解得，当时，由，得，两式相除得：，即，当时，也满意，所以．【小问2详解】由（1）可知，，所以，所以，.18.已知的内角的对边分别为，，平分交于点，且．（1）求；（2）求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求得结果，（2）由角平分线的性质结合已知可得，再由正弦定理和三角函数恒等变换公式可得，结合可求出，然后在中利用正弦定理可得，从而可求得，在中利用余弦定理得，解方程组可求出，进而可求出的面积.【小问1详解】因为，所以，所以由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，所以.【小问2详解】因平分交于点，且，所以，即，①所以，，所以，，所以，因为，所以，得，因为，所以，在中由正弦定理得，得，所以，所以,在中由余弦定理得，得，②由①②解得，所以的面积为.19.如图，在四棱锥中，，，，E为PC的中点.（1）求证：∥平面PAD；（2）若，平面平面ABCD，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取CD的中点O，连接EO，BO，依据题意可得∥，∥，结合面面垂直的判定定理可得平面∥平面PAD，进而可得结果；（2）依据面面垂直的性质定理可得平面ABCD，平面PCD，建系，利用空间向量求二面角.【小问1详解】取CD中点O，连接EO，BO，因为E为PC中点，则∥，且平面PAD，平面PAD，所以平面PAD，因为，，则，且，可得，则，可知为等边三角形，则，又因为，可得∥，而平面PAD，平面PAD，所以平面PAD，又因为，平面，可得平面∥平面PAD，而平面EOB，所以∥平面PAD.【小问2详解】因为，O为CD的中点，则，且平面平面ABCD，平面，平面平面，所以平面ABCD，又因为等边三角形，则，且平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面，所以平面PCD，在中，，，由余弦定理可得，，在中，由，可得，在等边中，由，可得，，以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，可得，，，设平面PCB的法向量为，则，令，则，可得，由上可知，平面PCD的一个法向量为，可得，由图象可得二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.20.已知（1）求的最值；（2）若有两个零点，求k的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，对函数求导，由导函数的正负确定函数的单调性，进而求出最值；（2）构造函数，求导确定函数的单调性，确定函数的最值，画出函数的图象，确定参数的取值范围.【小问1详解】的定义域为，.当时，恒成立，在上单调递增，此时函数无最值.当时，在上，，单调递增；在上，，单调递减.所以在处取得极大值，即最大值，.综上可知，时，在上无最值.时，的最大值为，无最小值.【小问2详解】有两个零点，可得有两个实根.令，.令，得；令，得，在上单调递增，在上单调递减..当时，，，所以，又，时，；时，.大致图象如图所示，若直线与的图象有两个交点，则，∴k的取值范围是.【点睛】常见的依据函数的零点个数求参数取值范围的方法：1.将函数的零点转化为对应方程的根的个数，进一步转化为函数与函数图像交点的个数；2.依据题意干脆转化为函数的图像与轴的交点的个数，探讨求出参数的取值范围.21.已知双曲线，渐近线方程为，点在上；（1）求双曲线的方程；（2）过点的两条直线，分别与双曲线交于，两点（不与点重合），且两条直线的斜率，满意，直线与直线，轴分别交于，两点，求证：的面积为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依据已知条件求得，从而求得双曲线的方程.（2）设出直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，依据列方程，推断出点的位置，从而求得的面积为定值.【小问1详解】，，依题意，，所以双曲线的方程为.【小问2详解】依题意可知斜率存在，设方程为，，，，，①，，整理得.1），，过舍去，2），，过点，此时，将代入①得，与交于点，故（定值）【点睛】关键点睛：求解双曲线的标准方程，关键点在于依据已知条件求得，是两个未知数，所以题目往往给定两个已知条件，如本题中的渐近线方程和点坐标，有时候