新高考版2024年高考数学必刷压轴题专题03一元函数的导数及其应用利用导函数研究切线单调性问题选填压轴题教师版

专题03一元函数的导数及其应用（利用导函数探讨切线，单调性问题）（选填压轴题）一、切线问题①已知切线几条求参数②公切线问题③和切线有关的其它综合问题二、单调性问题①已知单调区间求参数②由函数存在单调区间求参数③已知函数在某区间上不单调求参数④利用函数的单调性比大小一、切线问题①已知切线几条求参数1．（2024·全国·高三专题练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B． C． D．【答案】D设切点坐标为，由于，因此切线方程为，又切线过点，则，，设，函数定义域是，则直线与曲线有两个不同的交点，，当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，结合图像知，即.故选：D.2．（2024·山东泰安·高二期中）过曲线外一点作的切线恰有两条，则（

）A． B． C． D．【答案】A，过点作曲线C的切线，设切点，则切线方程为：，将代入得：即（*）

由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．令，，明显有两个极值点与，于是或当时，；当时，，此时经过与条件不符，所以，故选：A.3．（2024·河南洛阳·三模（理））若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C由已知，曲线，即令，则，设切点为，切线方程的斜率为，所以切线方程为：，将点代入方程得：，整理得，设函数，过点可作出曲线的三条切线，可知两个函数图像与有三个不同的交点，又因为，由，可得或，所以函数在，上单调递减，在上单调递增，所以函数的极大值为，函数的微小值为，如图所示，当时，两个函数图像有三个不同的交点.故选：C.4．（2024·四川南充·三模（理））已知函数，过点作函数图象的两条切线，切点分别为M，N．则下列说法正确的是（

）A． B．直线MN的方程为C． D．的面积为【答案】C因为，所以没有在函数的图象上，，设切点坐标为，当时，，不与相切，所以，，又因为，解得，即，，所以，故A错误；，所以直线MN的方程为，即，故B错误；，故C正确；到直线MN的距离为，所以的面积为，故D错误.故选：C.5．（2024·河北·高三阶段练习）若过点可以作三条直线与曲线相切，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D由，则，设切点为，则切线斜率则在点的切线方程为，代入点P坐标得整理为，即这个方程有三个不等式实根，令，则，令则函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故得，即，故选：D．6．（2024·内蒙古呼和浩特·二模（理））若过点可以作三条直线与曲线C：相切，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D设切点为,过点P的切线方程为,代入点P坐标，化简为，即这个方程有三个不等根即可.令,求导得：.令，解得：，所以在上递增；令，解得：或，所以在和上递增.要使方程有三个不等根即可.只需,即.故选：D7．（2024·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知，假如过点可作曲线的三条切线.则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D设切点为，，∴切线斜率为，∴切线方程为，将代入得方程，即，由题设该方程有3个不等实根.令，，当时,,当时,,当时,,所以在上递增,在上递减,在上递增,所以在时取得极大值,在时取得微小值,由三次函数图象知,解得,因为可以推出,，所以也正确.故选：D8．（2024·河南·高三阶段练习（文））过点有三条直线和曲线相切，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B设直线过点且与曲线相切，切点为．由得，∴切线的斜率为，∴切线方程为，∴，∴．设，由题意，函数有三个零点．，由得，或．当时，函数只有一个零点，舍去；当时，，由，得或，由，得所以是函数的极大值点，由于，函数没有三个零点，舍去．∴，同理可得是函数F（x）的极大值点，由条件结合三次函数的性质得，，解得．故选：B9．（2024·全国·高三专题练习）若过点可以作曲线且的两条切线，则（

）A． B．C． D．与的大小关系与有关【答案】D设切点为：，则，所以切线方程为，因为点在切线上，所以，即，令，则，令，得，当时，，当时，，所以当时，取得微小值，若，当时，；若时，当时，；因为过点可以作曲线且的两条切线，所以且，即，所以与的大小关系与有关，故选：D10．（2024·山西长治·模拟预料（理））当时，过点均可以作曲线的两条切线，则b的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C设过点的切线与相切于，则有，消去n得：.因为过点均可以作曲线的两条切线，所以关于m的方程有两解.即有两解.令.只需与有两个交点.对于，则.令，解得：；令，解得：.所以在上单调递减，在单调递增.作出的草图如图所示：要使与有两个交点，只需.记，.令，解得；令，解得；所以在上单调递增，在单调递增.所以的最大值为，所以.故选：C11．（2024·江苏·高二单元测试）已知，若过一点可以作出该函数的两条切线，则下列选项确定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A设切点为，对函数求导得，则切线斜率为，所以，切线方程为，即，所以，，可得，令，其中，由题意可知，方程有两个不等的实根..①当时，对随意的，，此时函数在上单调递增，则方程至多只有一个根，不合乎题意；②当时，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增.由题意可得，可得.故选：A.12．（2024·全国·高三专题练习）若过点可以作曲线的三条切线，则（

）A． B． C． D．或【答案】B设切点，切线方程，切线过点，，整理得：，由于可以作三条切线，所以关于的方程有三个不同的实根，，，令，或.函数的增区间为，减区间为，所以函数极大值，微小值，关于的方程有三个不同的实根，所以，所以.故选：B13．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D设过点的直线为，，设切点为，则，得有三个解，令，，当，得或，，得，所以在，单调递增，单调递减，又，，有三个解，得，即.故选：D②公切线问题1．（2024·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线（）为曲线与曲线的公切线，则l的纵截距（

）A．0 B．1 C．e D．【答案】D设l与的切点为，则由，有.同理，设l与的切点为，由，有.故解得或则或.因，所以l为时不成立.故，故选：D.2．（2024·全国·高三专题练习）若函数与存在两条公切线，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D设切线与曲线相切于点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，联立可得，由题意可得且，可得，令，其中，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，.且当时，，当时，，如下图所示：由题意可知，直线与曲线有两个交点，则，解得.故选：D.3．（2024·全国·高三专题练习）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B设公切线与曲线和的交点分别为，，其中，对于有，则上的切线方程为，即，对于有，则上的切线方程为，即，所以，有，即，令，，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，故，即.故选：B.4．（2024·江苏·高二专题练习）已知函数，，若函数的图象与函数的图象在交点处存在公切线，则函数在点处的切线在y轴上的截距为（

）A． B． C． D．【答案】C设交点为，且的导数为，的导数为，由题意，且，消去a得：，令，，当时，递增；当时，递减.∴处取得微小值，也为最小值为0，则，解得，代入，可得，即有，∴，则在处的切线斜率为，切点为∴在处的切线方程为，令，可得.故选：C.5．（多选）（2024·河北保定·二模）若直线是曲线与曲线的公切线，则（

）A． B． C． D．【答案】AD解：设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，对于函数，，则，解得，所以，即.对于函数，，则，又，所以，又，所以，.故选：AD6．（2024·福建泉州·高二期中）函数与有公切线，则实数的值为__________．【答案】4依据题意，函数与有公切线，设切点分别为，，，，；所以且，所以公切线为，则有，设，则在上递增，又，故，，故答案为：47．（2024·广东·执信中学高三阶段练习）已知（e为自然对数的底数），，则与的公切线条数为_______．【答案】2依据题意，设直线与相切于点，与相切于点，对于，其导数为，则有，则直线的方程为，即，对于，其导数为，则有，则直线的方程为，即，直线是与的公切线，则，可得，则或，故直线的方程为或；则与的公切线条数是2条．故答案为：2．8．（2024·黑龙江·牡丹江一中高二阶段练习）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是_________.【答案】设公切线与曲线和的交点分别为，，其中，对于有，则上的切线方程为，即，对于有，则上的切线方程为，即，所以，有，即，令，，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，故，即.∴正实数的取值范围是.故答案为：.9．（2024·江苏·高二专题练习）曲线与有两条公切线，则a的取值范围为__________【答案】对求导得：；对求导得：，设与相切的切点为，与曲线相切的切点为，∴公共切线斜率为，又，，∴，整理得，设，则，又，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴处取得微小值，也为最小值为，由恰好存在两条公切线，即有两解，而当趋向于0时趋向于正无穷大，令，则且，故上，即递减；上，即递增，∴，即，故，∴，明显当时.∴只要，可得.故答案为：.③和切线有关的其它综合问题1．（2024·河南南阳·高二期中（理））若是的切线，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C解：设点（）是函数图象上随意一点，由，，所以过点的切线方程为，即，，，所以令，，所以，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即；故选：C2．（2024·湖北·武汉二中模拟预料）已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C设切点为，，曲线在切点处的切线方程为，整理得，所以．令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．故，则的取值范围是．故选：C.3．（2024·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D设切点为，，曲线在切点处的切线方程为，整理得，令，，令，，所以．令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．故，则的取值范围是．故选：D.4．（2024·安徽·高二期中）若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A由题意得，函数的定义域为，且，∵函数的图象上存在与直线x＋2y＝0垂直的切线，即有正数解，即在上有解，∵x>0，∴，∴．故选：A．5．（2024·广东·佛山市顺德区东逸湾试验学校高二期中）已知为R上的可导的偶函数，且满意，则在处的切线斜率为___________.【答案】0由题设，，则，即，所以的周期为4，又为R上的可导的偶函数，即，而，故，即，且，故.故答案为：06．（2024·海南·模拟预料）已知存在，使得函数与的图象存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为___.【答案】-3解:令，得，切点为，令，得，切点为.切线方程为代入，可得则令，则,当时，，当时，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴即b的最大值为-3.故答案为：-3.7．（2024·四川自贡·一模（理））已知函数，在曲线上总存在两点，，使得曲线在，两点处的切线平行，则的取值范围是________．【答案】解：，因为在曲线上总存在两点，，使得曲线在，相两点处的切线平行，所以，且，即，所以，所以，令，则，设，则，当时，，所以函数在上递增，所以所以，又，，又因为，所以，所以，所以，所以，所以的取值范围是.故答案为：.二、单调性问题①已知单调区间求参数1．（2024·四川省峨眉其次中学校高二阶段练习（理））若函数f(x)＝x2＋ax＋在[，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是（

）A．[－1，0] B．[－1，＋∞)C．[0，3] D．[3，＋∞)【答案】Df′(x)＝2x＋a－，由于函数f(x)在[，＋∞)上是增函数，故f′(x)≥0在[，＋∞)上恒成立.即a≥－2x在[，＋∞)上恒成立.设h(x)＝－2x，x∈[，＋∞)，易知h(x)在[，＋∞)上为减，∴h(x)max＝h()＝3，∴a≥3.故选：D2．（2024·河南·南阳中学高二阶段练习（理））若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A由，得，因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即恒成立，因为，所以，所以，所以实数的取值范围为，故选：A3．（2024·江苏省太湖高级中学高二阶段练习）已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“阶比增函数”．若函数为“阶比增函数"，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A解：因为函数为“阶比增函数”，所以函数在上为增函数，所以令，故在上恒成立，所以在上恒成立，由于，所以.故实数的取值范围是故选：A4．（2024·全国·高三专题练习）函数的一个单调递增区间为，，则减区间是（

）A． B． C． D．，【答案】B函数，则，当时，恒成立，函数在其定义域内是递增．当时，令，解得：，当时，，函数是递增．函数的一个单调递增区间为，故得：，解得：，在时，，函数是递减．故选：B．5．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A因为的定义域为，，由，得，解得，所以的递增区间为．由于在区间上单调递增，则，所以，解得.因此，实数的取值范围是．故选：A.6．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在区间上是单调减函数，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C由题意知：在上，恒成立，∴，即由不等式组可得如下可行域，∴为可行域内的点到原点的距离的平方，其最小值为O到距离的平方，故，故选：C7．（2024·全国·高三专题练习）若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D由题意得，函数恰好有三个不同的单调区间，有两个不同的零点，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.8．（2024·全国·高二课时练习）设函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】A由，则，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，又函数在区间上单调递减，所以，解得，故选A．②由函数存在单调区间求参数1．（2024·江西宜春·模拟预料（文））已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A因为，所以，因为在区间上存在单调递减区间，所以存在，使得，即，令，，则恒成立，所以在上单调递增，所以，所以.故选：A2．（2024·四川成都·高二期中（文））已知函数在区间上存在单调增区间，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D解：因为，所以，在区间上存在单调递增区间，存在，使得，即，令，，则恒成立，所以在上单调递增，所以，，故实数的取值范围为．故选：D3．（2024·北京铁路二中高二期中）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D∵，∴，若在区间内存在单调递增区间，则有解，故，令，则在单调递增，，故.故选：D.4．（2024·广东·深圳市其次高级中学高二期中）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是(

)A． B．C． D．【答案】D∵函数在区间内存在单调递增区间，∴在区间上有解(成立)，即在区间上成立，又函数在上单调递增，∴函数在上单调递增，故当时，取最小值，即，即，得．故选：D﹒5．（2024·天津·汉沽一中高三阶段练习）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B因为在上存在单调递减区间，所以在上有解，所以当时有解，而当时，，（此时），所以，所以的取值范围是.故选：B.6．（2024·广西玉林·高二期中（文））函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B，，由题意可知，存在，使得，即存在，使得，二次函数，当且仅当时，等号成立，则.故选：B.7．（2024·全国·高三专题练习）若f（x）2ax在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0） C．[0，+∞） D．（0，+∞）【答案】Df(x)2ax在(1,+∞)上存在单调递增区间,只需>0在(1,+∞)上有解即可.由已知得,该函数开口向下,对称轴为,故在(1,+∞)上递减,所以=2a>0,解得a>0.故选:D.8．（2024·河南·温县第一高级中学高二阶段练习（理））已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B由题,,因为,则若函数在区间存在单调递减区间,即在上有解,即存在,使得成立,设,则,当时,,所以,即,故选:B③已知函数在某区间上不单调求参数1．（2024·天津市第四十二中学高二期中）已知函数在内不是单调函数，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A解：，令，由于函数在内不是单调函数，则在区间的函数值有正有负，而二次函数开口向上，对称轴为轴，所以在区间上递增，所以，解得.所以实数的取值范围是.故选：A.2．（2024·广东·南海中学高二期中）若函数在区间(0，1)上不单调，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B由题设，，又在(0,1)上不单调，所以在(0,1)上存在变号零点，而，则在(0,1)上递增，只需，即.故选：B3．（2024·全国·高三专题练习（理））若对于随意，函数在区间上总不为单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A解：，∵，又对于随意，函数在区间上总不为单调函数，∴，即，∴，解得，∴实数的取值范围是.故选：A.4．（2024·全国·高二课时练习）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】C，若在上不单调，令，对称轴方程为，则函数与轴在上有交点．当时，明显不成立；当时，有解得或．四个选项中的范围，只有为的真子集，∴在上不单调的一个充分不必要条件是.故选：C．5．（2024·山东省临沂第一中学高二阶段练习）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】D函数的定义域为，，令，若在上不单调，则函数与x轴在上有交点，又，则，解得，故在上不单调的一个充分不必要条件是．故选：D．6．（2024·全国·高三专题练习）已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C当时，，即函数在区间上单调递增，不符合题意当时，，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增要使得函数在区间上不是单调函数，则解得故选：C7．（2024·全国·高三专题练习）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C因为，所以，当函数在区间上不单调时，且在内有解，由解得或，在内有解，即在内有解，因为在内递减，在内递增，所以，即，综上所述：.故选：C.8．（2024·全国·高三专题练习）已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D，若在内不单调，则在内有实根，即和的图象在内有交点，明显在递增，故，故，故选：．④利用函数的单调性比大小1．（2024·全国·模拟预料）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】C解：令，，则，则在上单调递增，且，因此，即，则．令，当时，，则在上单调递减，即，即，取，得，则，即．综上，，故选：C．2．（2024·江苏苏州·模拟预料）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D解：由，得，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，又因，且，所以，即，所以.故选：D.3．