2024年高中数学新高二暑期培优讲义第04讲 空间向量基本定理 （教师版）

第第页第04讲空间向量基本定理【题型归纳目录】题型一：基底的判断题型二：基底的运用题型三：正交分解题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题【知识点梳理】知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解空间向量基本定理：如果空间中的三个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共面，那么对空间中的任意一个向量SKIPIF1<0，存在唯一的有序实数组SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.其中，空间中不共面的三个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0组成的集合{SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0}，常称为空间向量的一组基底.此时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都称为基向量；如果SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0在基底{SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0}下的分解式.知识点2：空间向量的正交分解单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用SKIPIF1<0表示.正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立【典例例题】题型一：基底的判断例1．已知SKIPIF1<0是空间的一组基底，则可以与向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0构成基底的向量是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共面，故A，B错误；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共面，故C错误；∵SKIPIF1<0是基底，∴不存在SKIPIF1<0使SKIPIF1<0成立，∴SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共面，故SKIPIF1<0可以与SKIPIF1<0构成空间的一组基底，故D正确.故选：D.例2．已知SKIPIF1<0是空间的一个基底，则可以与向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0构成空间另一个基底的向量是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均与向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面．故选：C题型二：基底的运用例3．在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为Q是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，因为M为PQ的中点，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：A.例4．如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且SKIPIF1<0，用向量SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0为(

)

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D题型三：正交分解例5．设SKIPIF1<0为空间的一个标准正交基底，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于(

)A．7 B．SKIPIF1<0 C．23 D．11【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0为空间的一个标准正交基底，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：B.例6．已知SKIPIF1<0是空间的一个单位正交基底，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是空间的另一个基底，向量SKIPIF1<0在基底SKIPIF1<0下的坐标为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0在基底SKIPIF1<0下的坐标为SKIPIF1<0.故选：A.题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题例7．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求证EG⊥AB；(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．【解析】(1)证明：连接DE，因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，且E，G分别是AB，CD的中点，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)由题意得：SKIPIF1<0均为等边三角形且边长为1，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设异面直线AG和CE所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0例8．已知平行六面体SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是边长为1的正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0．【解析】(1)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【过关测试】一、单选题1．在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，Q是SKIPIF1<0的中点，且M为PQ的中点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为Q是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，因为M为PQ的中点，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：D2．在平行六面体SKIPIF1<0中，M为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列向量中与SKIPIF1<0相等的向量是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】在平行六面体SKIPIF1<0中，M为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点，SKIPIF1<0.故选：B3．如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长度为(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由图形易得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0.故选：A4．已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由题设，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.故选：A二、填空题5．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则SKIPIF1<0的值为____________．【答案】SKIPIF1<0.【解析】根据题意ABCD为正四面体，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两两成SKIPIF1<0角，SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<06．如图，已知空间四边形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则SKIPIF1<0＝________.(用向量SKIPIF1<0表示)【答案】SKIPIF1<0【解析】设G为BC的中点，连接EG，FG，则SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<07．在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的余弦值是________.【答案】SKIPIF1<0.【解析】由题设，可得如下示意图，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0.三、解答题8．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是边长为1的正方形，侧棱SKIPIF1<0的长为2，且SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，设SKIPIF1<0.(1)将空间向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0用SKIPIF1<0表示出来；(2)求线段BM的长.【解析】1)SKIPIF1<0SKIPI