清单03轴对称（16个考点梳理典型例题核心素养提升中考热点聚焦）

清单03轴对称（16个考点梳理+典型例题+核心素养提升+中考热点聚焦）【知识导图】【知识清单】考点一．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．1．（2022秋•遵义期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若BC＝9，AC＝5，则△ACD的周长为．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，再根据等量代换和三角形周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴△ACD的周长为AD+AC+CD＝BD+AC+CD＝BC+AC＝14．故答案为：14．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．2．（2022秋•东台市期末）如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，垂足为G．（1）求证：AB＝2CD；（2）若∠AEC＝69°，求∠BCE的度数．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质解答即可；（2）根据等腰三角形的性质等边对等角解答即可．【解答】（1）证明：∵G是CE的中点，DG⊥CE，∴DG是CE的垂直平分线，∴DE＝DC，∵AD是高，CE是中线，∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，∴，∴，∴AB＝2CD；（2）解：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠BCE，∴∠EDB＝∠DEC+∠BCE＝2∠BCE，∵DE＝BE，∴∠B＝∠EDB，∴∠B＝2∠BCE，∴∠AEC＝3∠BCE＝69°，∴∠BCE＝23°．【点评】此题考查了直角三角形的性质等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意根据线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质解答是解此题的关键．考点二．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．3．（2022秋•平泉市期末）等腰三角形的周长为16，其中腰为x，则x不可能为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据等腰三角形的周长和三角形的三边关系逐项求解即可．【解答】解：A、当x＝4时，三边分别为4，4，8，∵4+4＝8，∴不能围成三角形，∴腰不能为4，故选项符合题意；B、当x＝5时，三边分别为5，5，6，∵5+5＞6，∴能围成三角形，∴腰能为5，故选项不符合题意；C、当x＝6时，三边分别为6，6，4，∵4+6＞6，∴能围成三角形，∴腰能为6，故选项不符合题意；D、当x＝7时，三边分别为7，7，2，∵7+2＞7，∴能围成三角形，∴腰能为7，故选项不符合题意；故选：A．【点评】考查等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．4．（2023春•江北区期末）等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为（）A．70° B．40° C．70°或40° D．70°或55°【分析】题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40°．故选：D．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．考点三．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．5．（2022秋•双辽市期末）如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）【分析】过点D作DG∥AC交BC于点G，根据平行线的性质可得出∠GDF＝∠E、∠DGB＝∠ACB，结合DF＝EF以及∠DFG＝∠EFC可证出△GDF≌△CEF（ASA），根据全等三角形的性质可得出GD＝CE，结合BD＝CE可得出BD＝GD，进而可得出∠B＝∠DGB＝∠ACB，由此即可证出△ABC是等腰三角形．【解答】证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示．∵DG∥AC，∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB．在△GDF和△CEF中，，∴△GDF≌△CEF（ASA），∴GD＝CE．∵BD＝CE，∴BD＝GD，∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，根据△GDF≌△CEF找出GD＝CE＝BD是解题的关键．6．（2022秋•江北区校级期末）已知在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D．（1）如图1．若AE⊥BC于E，∠C＝75°，求∠DAE的度数；（2）如图2，若DF⊥AD交AB于F，求证：BF＝DF．【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直的定义解答即可；（2）根据角平分线的定义和等腰三角形的判定解答即可．【解答】（1）解：∵∠C＝3∠B，∠C＝75°，∴∠B＝25°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝40°，∴∠ADE＝∠BAD+∠B＝65°，∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣65°＝25°，（2）证明：设∠B＝α，则∠C＝3α，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣4α，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，∵DF⊥AD，∴∠ADF＝90°，∴∠AFD＝90°﹣∠BAD＝2α，∵∠AFD＝∠B+∠BDF，∴∠BDF＝α＝∠B，∴BF＝DF．【点评】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据角平分线的定义和垂直的定义解答．考点四．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．7．（2022秋•九台区期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝AD，DE⊥AB．求证：CE＝DE．【分析】根据垂直定义求出∠ADE＝∠ACB，根据等腰三角形的性质得出∠ACD＝∠ADC，根据角的和差求出∠ECD＝∠EDC，根据等腰三角形的判定即可得解．【解答】证明：∵DE⊥AB，∴∠ADE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ADE＝∠ACB，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠ECD＝∠EDC，∴CE＝DE．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记等腰三角形的判定与性质是解题的关键．8．（2022秋•河北区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，F是BE的中点，连接CF并延长交AD于点G．（1）求证：BC＝EC．（2）若∠ADE＝110°，∠ABC＝52°，求∠CGD的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABF＝∠CB．根据平行线的性质得到∠ABF＝∠E，推出△BCE是等腰三角形，即可得到结论．（2）根据平行线的性质待定的∠ABC+∠BCD＝180°．根据角平分线的定义即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF＝∠ABC．∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠E，∴∠CBF＝∠E，∴BC＝CE；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°．∵∠ABC＝52°，∴∠BCD＝128°．∵F是BE的中点，BC＝CE，∴CG平分∠BCD，∴∠GCD＝∠BCD＝64°，∵∠ADE＝110°，∠ADE＝∠CGD+∠GCD，∴∠CGD＝110°﹣64°＝46°．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，判断出△BCE是等腰三角形是解题的关键．9．（2022秋•韩城市期末）如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．【分析】（1）根据角平分线定义得到∠DAF＝∠CAF，根据平行线的性质得到∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，于是得到结论；（2）根据三角形的内角和得到∠BAC＝100°，由三角形的外角的性质得到∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，根据角平分线定义得到ACE＝70°，根据平行线的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∵AF∥BC，∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠ACB＝∠B＝40°，∴∠BAC＝100°，∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，∵CG平分∠ACE，∴ACE＝70°，∵AF∥BC，∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝180°﹣40°﹣70°＝70°．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．考点五．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．10．（2022秋•芝罘区期末）如图，点P、Q是边长为9cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A出发沿线段AB运动，点Q从顶点B出发沿线段BC运动，它们的速度都为1cm/s，其中一点到达终点后停止运动．在P、Q运动的过程中，设运动时间为t秒，若△PBQ为直角三角形，则t的值为（）A．3 B．2或3 C．2或4 D．3或6【分析】假设运动时间为t秒，则AP＝BQ＝tcm，AP＝BQ＝tcm，分当∠PQB＝90°和∠QPB＝90°时，两种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质列出方程，解方程即可得出结论．【解答】解：假设运动时间为t秒，则AP＝BQ＝tcm，AP＝BQ＝tcm，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，当∠PQB＝90°时，则∠BPQ＝30°，∴PB＝2BQ，即9﹣t＝2t，解得t＝3；当∠QPB＝90°时，则∠BQP＝30°，∴BQ＝2BP，得t＝2（9﹣t），解得t＝6，∴当t＝6秒或3秒时，△PBQ为直角三角形．故选：D．【点评】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟知直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．11．（2022秋•河西区期末）如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上一点，以AD为边作等腰三角形ADE，使AD＝AE，∠DAE＝80°，DE交AC于点F，∠BAD＝15°．（Ⅰ）求∠CAE的度数；（Ⅱ）求∠FDC的度数．【分析】（Ⅰ）根据等边三角形的性质可得∠BAE＝60°，由于∠BAD＝15°，求得∠DAC的度数，进而求出∠CAE的度数；（Ⅱ）∠CAE即∠BAE与∠BAC之差，∠FDC可用∠ADC减去∠ADE得到．【解答】解：（Ⅰ）∵三角形ABC为等边三角形，∴∠BAE＝60°，∵∠BAD＝15°，∴∠DAC＝60°﹣15°＝45°，∵∠DAE＝80°，∴∠CAE＝80°﹣45°＝35°；（Ⅱ）∵∠DAE＝80°，AD＝AE，∴∠ADE＝（180°﹣80°）＝50°，∠ADC＝∠BAD+∠B＝15°+60°＝75°，又∵∠ADE＝50°∴∠FDC＝∠ADC﹣∠ADE＝75°﹣50°＝25°．【点评】本题考查了等边三角形的性质及三角形内角和定理；利用三角形内角和求角度是解题的关键．12．（2022秋•海门市期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F．（1）求证：CE＝2CF；（2）若CF＝2，求△ABC的周长．【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠ACB＝60°，再由DF⊥BE可知∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）由CF＝2可得出CD＝4，故可得出AC的长，进而可得出结论．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵DF⊥BE，∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，∴DC＝2CF．∵CE＝CD∴CE＝2CF；（2）解：∵CF＝2，由（1）知CE＝2CF，∴DC＝2CF＝4．∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴AB＝BC＝AC＝2DC＝8，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+8+8＝24．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知边三角形的三个内角都相等，且都等于60°是解题的关键．13．（2022秋•建昌县期末）如图，△ABC是等边三角形，在直线BC的下方有一点D，且DB＝DC，连接AD交BC于点E．（1）判断AD与BC的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF∥AB，AC＝5，FC＝3，求DF的长．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB＝AC，由DB＝DC得点A，D在线段BC的垂直平分线上，即AD⊥BC且AD平分BC；（2）△ABC是等边三角形，又由（1）知AD垂直平分BC，可得∠CAD的度数，由平行得，∠CFD＝∠BAC＝60°，从而可得∠ADF的度数，推出AF＝DF，即可得出答案．【解答】解：（1）AD⊥BC且AD平分BC，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC．∵DB＝DC，∴点A，D在线段BC的垂直平分线上，即AD⊥BC且AD平分BC．（2）∵△ABC是等边三角形，又由（1）知AD垂直平分BC，∴．∵DF∥AB，∴∠CFD＝∠BAC＝60°，∴∠ADF＝∠CFD﹣∠CAD＝60°﹣30°＝30°，∴∠ADF＝∠CAD＝30°，∴AF＝DF，∵AF＝AC﹣FC＝5﹣3＝2，∴DF＝2．【点评】本题考查了等边三角形的性质以及线段垂直平分线的判定、平行线的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相关知识的性质．考点六．等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．14．（2022秋•南平期末）如图，在△ABC中，BD是中线，延长BC到点E，使CE＝CD，若DB＝DE，∠E＝30°．求证：△ABC是等边三角形．【分析】根据等腰三角形的性质，得到∠DBC＝∠E＝30°，∠CDE＝∠E＝30°，可得∠BCD＝60°，求出∠BDC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BC，从而求出∠A＝∠ACB＝60°＝∠ABC，即可证明．【解答】证明：∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E＝30°，∴∠BCD＝∠CDE+∠E＝60°，∴∠BDC＝90°，∵BD是中线，∴AB＝BC，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形．也考查了等腰三角形的性质．15．（2022秋•丛台区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．点D，E在BC边上，且AD⊥AC，AE⊥AB．（1）求∠C的度数；（2）求证：△ADE是等边三角形．【分析】（1）根据等边对等角，以及三角形的内角和定理求解即可；（2）根据∠B＝∠C＝30°，再根据AD⊥AC，AE⊥AB，和三角形的内角和定理，证明∠ADE＝∠AED＝60°，得到∠DAE＝60°，即可证明△AED为等边三角形．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴，∴∠C＝30°；（2）证明：∵AD⊥AC，AE⊥AB，∠B＝∠C＝30°，∴∠BEA＝∠CDA＝60°，即∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△AED为等边三角形．【点评】本题考查等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边对等角，以及三角形的内角和是180°是解题的关键．考点七．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．16．（2023春•开江县校级期末）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？【分析】（1）先根据等边三角形的性质得：AB＝6cm，∠B＝60°，当t＝2时，计算BP和BQ的长，根据等边三角形的判定可得结论；（2）若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，根据直角三角形含30度角的性质列方程可解答．【解答】解：（1）如图，根据题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，当t＝2时，AP＝2cm，BQ＝4cm，∵△ABC是边长为6cm的等边三角形，∴AB＝6cm，∠B＝60°，∴BP＝4cm，∴BP＝BQ，∴△BPQ是等边三角形；（2）△PBQ中，BP＝6﹣t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，①当∠BQP＝90°时，∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴BQ＝BP，即t＝，解得：t＝2；②当∠BPQ＝90°时，同理得：BP＝BQ，即6﹣t＝t，解得：t＝4，答：当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形．【点评】本题主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含30度角的性质是关键．17．（2023春•揭东区期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．【分析】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED＝EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB＝EF，等量代换即可得证；（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，则AE＝DB；（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，∵AB＝1，AE＝2，∴BE＝1，∵DB＝FC＝FB+BC＝2，则CD＝BC+DB＝3．故答案为：（1）＝；（2）＝【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．18．（2023春•东港市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC，∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形．解：（2）△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，∴△AOD是直角三角形．（3）∵△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°．∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°．②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，∴α＝140°．③当∠ADO＝∠OAD时，α﹣60°＝50°，∴α＝110°．综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．【点评】综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况．考点八．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．19．（2022秋•靖西市期末）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．（1）求海岛B到灯塔C的距离；（2）若这条船继续向正北航行，问上午几时小船与灯塔C的距离最短？【分析】（1）根据三角形的外角的性质，得∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°，那么∠ACB＝∠NAC，故AB＝BC＝40（海里）．（2）如图，过点C作CP⊥AB于点P，根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离．欲确定什么时间小船与灯塔C的距离最短，求得AP．根据三角形内角和定理，得∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．根据含30度角的直角三角形的性质，在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，得PB＝BC＝20（海里），那么AP＝AB+BP＝40+20＝60（海里），从而解决此题．【解答】解：（1）由题意得：AB＝20×2＝40（海里）．∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°．∴∠ACB＝∠NAC．∴AB＝BC＝40（海里）．∴从海岛B到灯塔C的距离为40海里．（2）如图，过点C作CP⊥AB于点P．∴根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，∠BPC＝90°．又∵∠NBC＝60°，∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，∴PB＝BC＝20（海里），∴AP＝AB+BP＝40+20＝60（海里）．∴航行的时间为60÷20＝3（时）．∴若这条船继续向正北航行，上午11时小船与灯塔C的距离最短．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短是解决本题的关键．20．（2023春•青岛期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．（1）求证：AE＝2CE；（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．【分析】（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE＝2CE，则可证得结论；（2）由垂直平分线的性质可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角形．【解答】（1）证明：连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE；（2）解：△BCD是等边三角形，理由如下：连接CD．∵DE垂直平分AB，∴D为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD，∵∠ABC＝60°，∴△BCD是等边三角形．【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．考点九．生活中的轴对称现象（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．（2）轴对称包含两层含义：①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．21．（2022秋•东阿县期末）下列是四张益智器具图片，从对称的角度来看，哪一张与另三张不一样（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断，即可解答．【解答】解：A、是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、是轴对称图形；D、是轴对称图形；所以，上列是四张益智器具图片，从对称的角度来看，B图与另三张不一样，故选：B．【点评】本题考查了生活中的轴对称现象，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．22．（2022秋•高阳县校级期末）如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子，我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步，已知点A为乙方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为（）A．2步 B．3步 C．4步 D．5步【分析】根据题意，结合图形，由轴对称的性质判定正确选项．【解答】解：观察图形可知：先向右跳行，在向左，最后沿着对称的方法即可跳到对方那个区域，所以最少是3步．故选B．【点评】此题考查轴对称的基本性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线．通过对称的性质找到最短的路线是解题的关键．考点十．轴对称的性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．23．（2023春•兴庆区校级期末）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则AC＝（）A．A'B' B．B'C' C．BC D．A'C'【分析】先根据△ABC和△A′B′C′关于直线l对称得出△ABC≌△A′B′C′，故可得出AC＝A'C′．【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∴△ABC≌△A′B′C′，∴AC＝A'C′．故选：D．【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键．24．（2022秋•昆明期末）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．故选：A．【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．25．（2023春•永春县期末）如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【分析】根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答．【解答】解：①BC边上的中线AD：如图1，使点B、C重合，中点为点D，连接AD，此时AD即为BC边上的中线；②∠A的平分线AE：如图2，沿直线AE折叠，使AB与AC重叠，此时AE即为BC边上的角平分线；③BC边上的高AF：如图3，沿直线AF折叠，使BF与CF重合，此时AF即为BC边上的高．综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③．故选：A．【点评】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键．考点十一．轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．26．（2022秋•镇江期末）我市积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）A．防控疫情我们在一起 B．有症状早就医 C．打喷嚏捂口鼻 D．勤洗手勤通风【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．27．（2022秋•望城区期末）如图是2×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．则在网格中，能画出且与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案．【解答】解：如图所示：在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有4个，故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称的性质，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．考点十二．镜面对称1、镜面对称：有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）．2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果．28．（2022秋•汾阳市期末）如图，这是平面镜成像的示意图，若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，平面镜所在点的竖线为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，某时刻火焰顶部S的坐标是（﹣1.5，1），则此时对应的虚像S'的坐标是（）A．（1.5，﹣1） B．（1，1.5） C．（1，﹣1.5） D．（1.5，1）【分析】利用关于y轴对称点的性质得出答案．【解答】解：某时刻火焰顶部S的坐标是（﹣1.5，1），则此时对应的虚像S'的坐标是（1.5，1）．故选：D．【点评】此题主要考查了镜面对称，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．29．（2022秋•芮城县期末）小刚从镜子中看到的电子表的读数是[15：01]，则电子表的实际度数是．【分析】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称．注意镜子的5实际应为2．【解答】解：如图：电子表的实际时刻是10：21．故答案为10：21．【点评】此题主要考查了镜面对称，可以把数据抄下来，反过来看看，这样最直观．考点十三．关于x轴、y轴对称的点的坐标（1）关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．（2）关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．30．（2022秋•新乡期末）在平面直角坐标系中，已知点A与点B关于x轴对称，已知点B与点C关于y轴对称，点A的坐标为（﹣1，2），则点C的坐标为（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（2，﹣1）【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：点A的坐标为（﹣1，2），点B与点A关于x轴对称，得B（﹣1，﹣2）；点C与点B关于y轴对称，得C（1，﹣2）．故选：B．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．31．（2022秋•天津期末）已知点A（m，2）和B（3，n）关于y轴对称，则（m+n）2023的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．（﹣5）2023【分析】根据关于y轴对称点的特点，求出m＝﹣3，n＝2，然后代入求值即可．【解答】解：∵点A（m，2）和B（3，n）关于y轴对称，∴m＝﹣3，n＝2，∴（m+n）2023＝（﹣3+2）2023＝（﹣1）2023＝﹣1，故B正确．故选：B．【点评】本题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，代数式求值，乘方运算，解题的关键是熟记关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同．考点十四．坐标与图形变化对称（1）关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数．（3）关于直线对称①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b）②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）32．（2022秋•开江县校级期末）如图，在直角坐标系中，直角三角形ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，∠ACB＝90°，OB∥AC，点C的坐标为（1，2），点D和点C关于AB成轴对称，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标为（）A． B． C． D．【分析】根据已知条件得到AC＝OB＝2，BC＝OA＝1，根据轴对称的性质得到∠DAB＝∠CAB，根据平行线的性质得到∠ABE＝∠BAC，于是得到∠ABE＝∠BAE，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵点C的坐标为（1，2），∴AC＝OB＝2，BC＝OA＝1，∵点D和点C关于AB成轴对称，∴∠DAB＝∠CAB，∵OB∥AC，∴∠ABE＝∠BAC，∴∠ABE＝∠BAE，∴AE＝BE，∵AE2＝OE2+OA2，∴（2﹣OE）2＝OE2+12，∴OE＝，∴E（0，），故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣对称，勾股定理，熟练掌握对称的性质是解题的关键．33．（2022秋•长沙期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点（0，1），△ABC关于直线l对称，点B的坐标为（﹣1，﹣1），则点C的坐标为（）A．（﹣2，1） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣3，1）【分析】根据轴对称的两点到对称轴的距离相等，即可得出答案．【解答】解：根据题意得出点A和点B是关于直线y＝1对称的对应点，它们到y＝1的距离相等是2个单位长度，所以点C的坐标是（﹣1，1+2），即（﹣1，3）．故选：B．【点评】此题考查了坐标与图形变化﹣对称，解此类问题的关键是要掌握轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线．利用此性质可在坐标系中得到对应点的坐标．考点十五．作图轴对称变换几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．34．（2022秋•陕州区期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，2）、B（﹣4，0）、C（﹣3，﹣2）．（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C'，并写出点B′的坐标；（2）请直接写出△ABC的面积；（3）若点M（m﹣1，3）与点N（﹣2，n+1）关于x轴对称，请直接写出m、n的值．【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△A′B′C'进而可得点B′的坐标；（2）根据网格即可求出△ABC的面积；（3）根据点M（m﹣1，3）与点N（﹣2，n+1）关于x轴对称，即可写出m、n的值．【解答】解：（1）如图，△A′B′C'即为所求，点B′的坐标为（4，0）；（2）△ABC的面积为：3×4﹣2×3﹣2×4﹣1×2＝12﹣3﹣4﹣1＝4；（3）∵点M（m﹣1，3）与点N（﹣2，n+1）关于x轴对称，∴m﹣1＝﹣2，n+1＝﹣3，解得m＝﹣1，n＝﹣4．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．35．（2022秋•碑林区期末）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点位置如图所示．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点）；（2）直接写出△A′B′C′三点的坐标：A′，B′，C′；（3）求AC′的长为．考点十六．轴对称最短路线问题1、最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．36．（2023春•宣汉县校级期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝CM+MD+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．故选：C．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．37．（2022秋•思明区期末）如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，A′，B′均在网格点上．（1）已知△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请在图上把△ABC和△A′B′C′补充完整：（2）在以直线l为y轴的坐标系中，若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为；（3）在直线l上画出点P，使得PA+PC最短．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征求解即可；（3）连接A'C，与直线l交于点P，连接PA，此时PA+PC最短．【解答】解：（1）如图，△ABC和△A′B′C′即为所求；（2）由题意可得，点A′的坐标为（﹣a，b）．故答案为：（﹣a，b）；（3）如图，点P即为所求．【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题、作图﹣轴对称变换、坐标与图形性质，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．38．（2022秋•剑阁县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M．（1）若∠B＝70°，求∠BAC的大小．（2）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小，若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值，若不存在，说明理由．【分析】根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；根据两点之间线段最短，可得P点与M点的关系，可得PB+PC与AC的关系．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝70°，∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°；（2）∵MN垂直平分AB．∴MB＝MA，又∵△MBC的周长是14cm，∴AC+BC＝14cm，∴BC＝6cm．（3）当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，为AC长，最小值是8cm．【点评】本题考查了轴对称，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出PB＝PA．39．（2022秋•西乡塘区校级期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形，∠BAD＝90°，AD＝DC＝2．（1）求证：BD垂直平分AC；（2）求BE的长；（3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小值；PC+PF的最小值为3（直接写出结果）．【分析】（1）根据线段垂直平分线性质定理的逆定理证明即可；（2）根据∠ABD＝30°，确定BD＝4；根据∠EAD＝30°，确定ED＝1；根据BE＝BD﹣ED计算即可；（3）根据轴对称的性质求线段和的最值问题，然后根据等边三角形的性质确定即可．【解答】解：（1）∵AD＝DC，∴点D在线段AC的垂直平分线上；∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∴点B在线段AC的垂直平分线上；根据两点确定一条直线，∴BD是线段AC的垂直平分线；∴BD垂直平分AC；（2）∵△ABC是等边三角形，AD⊥AB，BD垂直平分AC，∴∠ABD＝30°，∠EAD＝30°，∵AD＝DC＝2，∴BD＝4，ED＝1，∴BE＝BD﹣ED＝4﹣1＝3；（3）∵BD垂直平分AC，∴点C关于直线BD的对称点为点A，连接AF，交BD于点P，则点P即为所求；∵△ABC是等边三角形，BF＝CF，∴AF⊥BC，∴AF＝BE＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题关键．40．（2022秋•松原期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，CD平分∠ACB，交边AB于点D，点E是边AB的中点．点P为边CB上的一个动点．（1）AE＝，∠ACD＝度；（2）当四边形ACPD为轴对称图形时，求CP的长；（3）若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度数；（4）若点M在线段CD上，连接MP、ME，直接写出MP+ME的值最小时CP的长度．【分析】（1）根据题意可得∠B＝30°，则AB＝2AC＝2AE，即可求出AE的长，再根据角平分线的性质即可求出∠ACD的度数．（2）根据轴对称图形的性质即可解答．（3）根据题意可得∠PCD＝45°，分三种情况：当PC＝PD时；当DP＝DC时；当CP＝CD时．再依次根据三角形内角和定理即可求解．（4）过点M作MP⊥BC，作点P关于CD的对称点P′，根据题意可得∠PCM＝∠P′CM，CM＝CM，∠MPC＝∠MP′C＝90°，根据AAS可证明△PCM≌△P′CM，则PM＝P′M，CP＝CP′，因此MP+ME＝MP′+ME≥EP′，以此得出当点E、M、P′三点共线时，MP+ME的值最小，此时EP′∥BC，最后根据解含30度角的直角三角形即可得到结果．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝30°，∴AB＝2AC＝8，∵点E是边AB的中点，∴，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝°＝45°；故答案为：4，45．（2）∵四边形ACPD为轴对称图形，CD平分∠ACB，∴对称轴为直线CD，∴CP＝CA＝4；（3）∵CD平分∠ACB，∴∠PCD＝45°，当PC＝PD时，∠PDC＝∠PCD＝45°，∴∠CPD＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝90°；当DP＝DC时，∠CPD＝∠PCD＝45°；当CP＝CD时，∠CPD＝∠CDP＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°；综上，∠CPD的度数为90°或45°或67.5°．（4）如图，点M在CD上，且MP⊥BC，作点P关于CD的对称点P′，∵MP⊥BC，∴MP′⊥AC，∵CD平分∠ACB，∴∠PCM＝∠P′CM，在△PCM和△P′CM中，，∴△PCM≌△P′CM（AAS），∴PM＝P′M，CP＝CP′，∵MP+ME＝MP′+ME≥EP′，∴当点E、M、P′三点共线时，MP+ME的值最小，又∵根据垂线段最短，∴当EP′⊥AC时，EP′有最小值，∴EP′∥BC，∴∠AEP′＝∠B＝30°，∠AP′E＝∠ACB＝90°，∵AE＝4，∴AP′＝＝2，∴CP＝CP′＝AC﹣AP′＝2．【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形、角平分线的性质，本题综合性较强，作出辅助线，得出当点E、M、P′三点共线时，MP+ME的值最小是解题关键．【核心素养提升】1逻辑推理——用转化思想求图形的周长1．（2023秋•广陵区月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度数；（2）若AC＝5，DC＝4，求△ABC的周长．【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AE＝CE，求出∠C＝∠EAC，即可得出答案；（2）根据已知能推出2DC+AC＝13，即可得出答案．【解答】（1）解：∵EF垂直平分AC，∴AE＝CE，∴∠C＝∠EAC＝40°，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE，∴∠B＝∠BEA＝2∠C＝80°，∴∠BAD＝90°﹣80°＝10°；（2）由（1）知：AE＝EC＝AB，∵BD＝DE，∴AB+BD＝DE+AE＝DE+CE＝DC，∴C△ABC＝AB+BC+AC＝2DC+AC＝2×4+5＝13．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中．2．（2022秋•兴化市月考）如图，△ABC中，∠BAC＝110°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）求∠DAF的度数；（2）如果BC＝10，求△DAF的周长．【分析】（1）根据三角形内角和定理可求∠B+∠C；根据垂直平分线性质，DA＝BD，FA＝FC，则∠EAD＝∠B，∠FAC＝∠C，得出∠DAF＝∠BAC﹣∠EAD﹣∠FAC＝110°﹣（∠B+∠C）求出即可．（2）由（1）中得出，AD＝BD，AF＝FC，即可得出△DAF的周长为BD+FC+DF＝BC，即可得出答案．【解答】解：（1）设∠B＝x，∠C＝y．∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴110°+∠B+∠C＝180°，∴x+y＝70°．∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，∴DA＝BD，FA＝FC，∴∠EAD＝∠B，∠FAC＝∠C．∴∠DAF＝∠BAC﹣（x+y）＝110°﹣70°＝40°．（2）∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，∴DA＝BD，FA＝FC，∴△DAF的周长＝AD+DF+AF＝BD+DF+FC＝BC＝10．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质．注意掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用，注意数形结合思想与整体思想的应用．2分类讨论思想3．（2022秋•建邺区校级期中）在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，动点P从点C出发，沿着CB运动，速度为每秒2个单位，到达点B时运动停止，设运动时间为t秒，请解答下列问题：（1）求BC上的高；（2）当t为何值时，△ACP为等腰三角形？【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据三角形的面积公式解答即可；（2）根据等腰三角形的性质分三种情况进行解答即可．【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，∵AB2+AC2＝100BC2＝100∴AB2+AC2＝BC2∴∠BAC＝90°即△ABC为直角三角形，∴∴AD＝4.8；（2）当AC＝PC时，∵AC＝6，∴AC＝PC＝6，∴t＝3秒；当AP＝AC时，过点A作AD⊥BC于点D，PD＝DCCD＝＝3.6，∴PC＝7.2，∴t＝3.6秒；当AP＝PC时，∠PAC＝∠C∵∠BAC＝90°∴∠BAP+∠PAC＝90°∠B+∠C＝90°∴∠BAP＝∠B∴PB＝PA∴PB＝PC＝5∴t＝2.5综上所述，t＝3秒或3.6秒或2.5秒．【点评】此题考查等腰三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质分三种情况进行解答．3数学建模——构建方程模型解决问题4．（2022秋•淮安区期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）BP＝（用t的代数式表示）（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？【分析】（1）根据题意即可用t可分别表示出BP；（2）结合（1），根据题意再表示出BQ，然后根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案为：（16﹣t）cm；（2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11；②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，则BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12，综上所述：当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．故答案为：11秒或12．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．4数形结合思想5．（2022秋•兴化市校级月考）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时＝；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．【分析】（1）由DM＝DN，∠MDN＝60°，可证得△MDN是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，CD＝BD，易证得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC＝MN，此时；（2）在CN的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，易证得∠CDN＝∠MDN＝60°，则可证得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在CN上截取CM1＝BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，然后证得∠CDN＝∠MDN＝60°，易证得△MDN≌△M1DN，则可得NC﹣BM＝MN．【解答】解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC＝MN，此时，理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，∵DM＝DN，BD＝CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN，∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN，∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；∴AM＝AN，∴△AMN是等边三角形，∵AB＝AM+BM，∴AM：AB＝2：3，∴＝；（2）猜想：结论仍然成立，证明：在NC的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1，∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，∴△AMN的周长为：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，∴＝；（3）证明：在CN上截取CM1＝BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，可证∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N，∴NC﹣BM＝MN．【点评】此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．【中考热点聚焦】热点1.轴对称的性质6.（2021•深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．（1）过直线m作四边形ABCD的对称图形；（2）求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）如图所示，四边形A'B'C'D'即为所求；（2）四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝×4×1+×4×3＝8．7．（2020•吉林）图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．（3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．【解答】解：（1）如图①，MN即为所求；（2）如图②，PQ即为所求；（3）如图③，△DEF即为所求．（答案不唯一）．8．（2022•桂林）如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（0，3）．（1）画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形；（2）画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；（3）所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可）【解答】解：（1）如图1，（2）如图2，（3）图1是W，图2是X．热点2.平面直角坐标系中点的对称9．（2023•常州）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（2，1），则点P关于y轴对称的点的坐标为（）A．（﹣2，﹣1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1）【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：点P的坐标是（2，1），则点P关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，1），故选：C．【点评】本题考查了关于y轴的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．10．（2023•临沂）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（）A．（6，2） B．（﹣6，﹣2） C．（2，6） D．（2，﹣6）【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此可得答案．【解答】解：若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（6，2）．故选：A．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．11．（2022•台州）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为（40，a），则飞机D的坐标为（）A．（40，﹣a） B．（﹣40，a） C．（﹣40，﹣a） D．（a，﹣40）【分析】根据轴对称的性质即可得到结论．【解答】解：∵飞机E（40，a）与飞机D关于y轴对称，∴飞机D的坐标为（﹣40，a），故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．12．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（2，3）【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．【解答】解：点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（2，3）．故选：D．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握关于x轴对称点的坐标特点是解题关键．13．（2023•聊城）如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A（﹣2，1），B