第7章 第4课时　空间直线、平面的平行-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

第4课时空间直线、平面的平行[考试要求]从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)l⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)l⇒l∥b2．面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)α∥βb∥βa∩b＝P性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行α⇒a∥b[常用结论]1．平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.2．与平行关系有关的性质(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(2)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(3)同一条直线与两个平行平面所成的角相等．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线． ()(2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行． ()(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面． ()(4)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α． ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P142练习T2改编)平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD[若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，排除C.故选D.]2．(人教A版必修第二册P139练习T3改编)下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥αD[A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交．]3．(人教A版必修第二册P170复习参考题8T7改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．平行四边形[∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．]4．(人教A版必修第二册P134例1改编)如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD[(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝12AC，EH＝12BD，∴AC考点一直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定[典例1]如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别为AB，PD的中点，求证：AF∥平面PCE.[四字解题]读想算思四边形ABCD是平行四边形，E，F分别为AB，PD的中点线面平行的证明方法线线平行取PC的中点M，证明AF∥EM转化、化归面面平行取CD的中点G，证明平面AFG∥平面PCE[证明]法一(应用线面平行的判定定理)：如图，设M为PC的中点，连接EM，MF.∵E是AB的中点，∴AE∥CD，且AE＝12CD又∵MF∥CD，且MF＝12CD∴AE綉FM，∴四边形AEMF是平行四边形，∴AF∥EM.又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，∴AF∥平面PCE.法二(应用面面平行的性质定理)：如图，设G为CD的中点，连接FG，AG.∵F，G分别为PD，CD的中点，∴FG∥PC.又E为AB中点，四边形ABCD为平行四边形，∴AE綉GC，∴四边形AECG为平行四边形，AG∥EC，又FG⊄平面PCE，AG⊄平面PCE.PC⊂平面PCE，EC⊂平面PCE，∴FG∥平面PCE，AG∥平面PCE.又FG，AG⊂平面AFG，FG∩AG＝G，∴平面AFG∥平面PCE.又AF⊂平面AFG，∴AF∥平面PCE.线面平行性质定理的应用[典例2]如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.证明：FG∥平面AA1B1B.[证明]在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．提醒：应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．[跟进训练]1．如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．[解](1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE.又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.考点二平面与平面平行的判定与性质[典例3]如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[证明](1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.[拓展变式]1．在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求ADDC[解]如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，则A1D1D又由题设A1D1所以DCAD＝1，即ADDC2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.[证明]如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綉BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1.又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线．[跟进训练]2．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，证明：B1D1∥l.[证明](1)由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1綉B1C1綉BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以l∥BD，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.【教师备选资源】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．[证明](1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，由题意得平面A1C1G∩BC＝H，即平面A1C1G∩平面ABC＝GH，∴A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．考点三平行关系的综合应用[典例4]如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点．(1)求证：平面MNQ∥平面PCD；(2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出PEPD[解](1)证明：∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点，∴NQ∥CD，MQ∥PC.∵NQ∩MQ＝Q，CD∩PC＝C，且NQ，MQ⊂平面MNQ，CD，PC⊂平面PCD，∴平面MNQ∥平面PCD.(2)线段PD上存在一点E，使得MN∥平面ACE，且PEPD＝1证明如下：取PD的中点E，连接NE，CE，AE，∵N，E，M分别是AP，PD，BC的中点，BC綉AD，∴NE綉MC，∴四边形MCEN是平行四边形，∴MN∥CE.∵MN⊄平面ACE，CE⊂平面ACE，∴MN∥平面ACE，且PEPD＝1三种平行关系的转化线线平行线面平行面面平行提醒：解答探索性问题的基本策略是先假设，再证明．[跟进训练]3．如图，四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．(1)求证：CE∥平面PAD；(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．[解](1)证明：如图，取PA的中点H，连接EH，DH，因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝12AB又AB∥CD，CD＝12AB所以EH∥CD，EH＝CD，因此四边形DCEH为平行四边形，所以CE∥DH，又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，因此CE∥平面PAD.(2)存在点F为AB的中点，使平面PAD∥平面CEF，证明如下：取AB的中点F，连接CF，EF，则AF＝12AB，因为CD＝12AB，所以AF＝又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，因此CF∥AD.又AD⊂平面PAD，CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD.由(1)可知CE∥平面PAD，又CE∩CF＝C，故平面CEF∥平面PAD，故存在AB的中点F满足要求．课时分层作业(四十四)空间直线、平面的平行一、单项选择题1．(2023·沈阳一模)能使两个不同平面α与β平行的条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α，β垂直于同一个平面C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一条直线D[α内有无数条直线与β平行，则平面α与β相交或平行，A错误；α，β垂直于同一个平面，则平面α与β相交或平行，B错误；α，β平行于同一条直线，则平面α与β相交或平行，C错误；α，β垂直于同一条直线，则平面α与β平行，D正确．故选D.]2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有()A．BD1∥GHB．BD∥EFC．平面EFGH∥平面ABCDD．平面EFGH∥平面A1BCD1D[由中位线定理可知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，GH不可能互相平行，A错误；由中位线定理可知EF∥A1B，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD，EF不可能互相平行，B错误；由中位线定理可知EF∥A1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故直线EF与平面ABCD也相交，故平面EFGH与平面ABCD相交，C错误；由三角形中位线定理可知EF∥A1B，EH∥A1D1，且EF，EH⊄平面A1BCD1，A1B，A1D1⊂平面A1BCD1，所以EF∥平面A1BCD1，EH∥平面A1BCD1，而EF∩EH＝E，EF，EH⊂平面EFGH，因此平面EFGH∥平面A1BCD1.故选D.]3．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，PFFCA．23 B．1C．13 D．D[连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以PFFC＝AGGC.又AD∥BC，E为AD的中点，所以△AEG∽△CBG，即AGGC＝AEBC＝124．如图，AB∥平面α∥平面β，过A，B的直线m，n分别交α，β于C，E和D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为()A．65 B．C．85 D．C[由AB∥α∥β，易得ACCE＝BD即ACAE＝BDBF，所以BD＝AC·BFAE5．(2023·浙江杭州二模)如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是()ABCDD[对于A，由正方体的性质可得MN∥EF∥AC，MN⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以直线MN∥平面ABC，能满足；对于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得MN∥AD，MN⊄平面ABC，AD⊂平面ABC，所以直线MN∥平面ABC，能满足；对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN∥BD，MN⊄平面ABC，BD⊂平面ABC，所以直线MN∥平面ABC，能满足；对于D，作出完整的截面ABNMHC，如图，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足．故选D.]6．(2023·广东茂名二模)如图所示，正三棱锥P-ABC，底面边长为2，点P到平面ABC距离为2，点M在平面PAC内，且点M到平面ABC的距离是点P到平面ABC距离的23，过点M作一个平面，使其平行于直线PB和ACA．24+1639C．12+839B[因为三棱锥P-ABC为正三棱锥，所以△ABC为等边三角形并且边长为2，即AB＝AC＝BC＝2.又因为三棱锥P-ABC为正三棱锥，因此过点P作底面ABC的垂线于点O，则点O为△ABC的中心．过点B作AC的垂线于点H.由△ABC为等边三角形，因此AH＝CH＝1，BH＝22−12＝3，OH＝1在Rt△AHO中，AO＝AH2+OH又因为PO＝2，在Rt△AOP中，AP＝AO2+OP2＝2332+2因为三棱锥P-ABC为正三棱锥，所以△APC，△APB，△BPC均为等腰三角形．又点M到平面ABC的距离为点P到平面ABC距离的23，可取点M为△PH的三等分点(靠近点P过点M作Q1Q2∥AC交PC于点Q1，交PA于点Q2．过点Q1作Q1Q4∥BP交BC于点Q4，过点Q4作Q3Q4∥AC交AB于点Q3，连接Q3Q2.所以Q1Q2∥AC∥Q3Q4，则Q1、Q2、Q3、Q4四点共面．因为Q1Q4∥BP，Q1Q4⊂平面Q1Q2Q3Q4，BP⊄平面Q1Q2Q3Q4，所以BP∥平面Q1Q2Q3Q4．同理，直线AC∥平面Q1Q2Q3Q4.所以平面Q1Q2Q3Q4即为过点M且平行于直线PB和AC的平面．利用三角形相似可得，Q1Q2＝Q3Q4＝13AC＝23，Q2Q3＝Q1Q4＝23BP这个平面与三棱锥表面交线的总长为Q1Q2＋Q2Q3＋Q3Q4＋Q1Q4＝2×839＋2×23故选B.]二、多项选择题7．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则()A．OM∥PA B．OM∥平面PCDC．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBABC[由题意知，OM是△BPD的中位线，所以OM∥PD，又PD∩PA＝P，故A不正确；因为PD⊂平面PCD，OM⊄平面PCD，所以OM∥平面PCD，故B正确；同理，可得OM∥平面PDA，故C正确；OM与平面PBA相交于点M，故D不正确．故选BC.]8．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知点G，H分别在A1B1，A1C1上，且GH经过△A1B1C1的重心，点E，F分别是AB，AC的中点，且B，C，G，H四点共面，则下列结论正确的是()A．EF∥GHB．GH∥平面A1EFC．GHD．平面A1EF∥平面BCC1B1ABC[因为平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1C1∩平面BCHG＝HG，平面ABC∩平面BCHG＝BC，所以HG∥BC，因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC，EFBC＝12，所以由选项A可知EF∥GH，因为GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF，所以GH∥平面A1EF，B正确；因为HG∥BC，B1C1∥BC，所以HG∥B1C1，因为GH经过△A1B1C1的重心，所以GHB1C1＝23，因为B1C1＝BC因为FC＝12AC，AC＝A1C1，所以FC＝12A1C1，因为FC∥A1C1，所以四边形A1FCC1为梯形，且A1F与CC1为腰，所以A1F与CC1必相交，因为A1F⊂平面A1EF，CC1⊂平面BCC1B1，所以平面A1三、填空题9．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________．(填序号)①或③[由面面平行的性质定理可知，①正确；通过画图(图略)知②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以n∥m，③正确．]10．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，平面D1BQ∥平面PAO.Q为CC1的中点[如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，PA⊂平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO.又D1B∩QB＝B，D1B，QB⊂平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.]四、解答题11．如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E