2025年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年湖南省长沙市中考数学模拟试卷

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项符合题意的。请在答题卡中填涂符合题

意的选项。本大题共10小题，每小题3分,共30分）

1.（3分）下列实数中，为有理数的是（)

A.V3B.TTC.V2D.1

1

2.（3分）若分式口在实数范围内有意义,则X的取值范围是)

A.xWOB.xWlC.x>lD.x<l

3.（3分）下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（

A.

4.（3分）下列说法正确的是（

A.打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件

B.天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨

C.两组数据平均数相同，则方差大的更稳定

D.数据5,6,7,7,8的中位数与众数均为7

5.（3分）2023年前三季度全国GDP30强城市排名已经揭晓，长沙GDP约为10800亿名

列第十五，同比增速为6.32%,数据10800用科学记数法表示为（）

A.0.108X105B.10.8X103C.1.08X104D.1.08X103

6.（3分）下列运算正确的是（）

7Q5

A.a2'a3=a6B.〃=。

C.(a+b)2—a2+b2D.(a3)2=°6

7.（3分）在直角坐标系中，点A（2,-3)关于原点对称的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.（3分）如图，E、F、G、X分别是四边形ABC。四条边的中点，则四边形EFG8一定是

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.正方形

9.（3分）如图所示，四边形4BC。为。。的内接四边形，ZBCD=nO°,则的大

A.80°B.120°C.100°D.90°

10.（3分）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有道两鼠穿墙问题：“今

有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日

相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿

墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，

这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为20尺，则需要几天时间才能

打穿（结果取整数）（）

A.4B.5C.6D.7

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）分解因式：1-/=.

12.（3分）如图，在中，圆心角NAOB=70°,那么圆周角/C=.

13.（3分）睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容.某

老师了解到某班40位同学每天睡眠时间（单位：小时）如下表所示，则该班级学生每天

的平均睡眠时间是小时.

睡眠时间8小时9小时10小时

人数62410

14.（3分）已知关于无的方程/+3x-m=0的只有一个解，则m的值

是

15.（3分）如图所示，点A是反比例函数y=9图象上一点，作48,无轴，垂足为点2,若

△AOB的面积为2,则左的值是

16.（3分）若一次函数y=x+l与y=-尤-1交于A点，则A点的坐标为

三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，

第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、

证明过程或演算步骤）

17.（6分）计算：|2-Tt|+（^）-1-（V2-2025）°+V3-tan30°.

18.（6分）先化简，再求值：（1+1）+2*匚其中x=2.

x—r2x+l

19.（6分）如图所示，湘府中路是一段东西走向的公路，在省政府（A处）测得小明家（P

处）在北偏东60°方向上，继续往东走3而z到了德思勤（2处）测得我家（P处）在北

偏东30°方向上，请问小明家到湘府路有多远？（参考数据:百切.73,结果精确到0.1h〃）

20.（8分）“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”,

经选拔后有50名学生参加决赛，根据测试成绩（成绩都不低于50分）绘制出如图所示

的部分频数分布直方图.

请根据图中信息完成下列各题.

(1)将频数分布直方图补充完整人数；

(2)若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少；

(3)现将从包括小明和小强在内的4名成绩优异的同学中随机选取两名参加市级比赛,

求小明与小强同时被选中的概率.

21.(8分)如图，在平行四边形A8CZ)中，ZB=ZAFE,E4是28EF的角平分线.求证：

(1)AABE咨AAFE；

(2)ZAFD=ZECD.

22.(9分)为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知

购买2个A品牌的足球和3个8品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个

8品牌的足球共需360元.

(1)求A,B两种品牌的足球的单价.

(2)2023年学校购买足球的预算为6400元，总共购买100个球且购买A品牌足球的数

量不多于B品牌足球数量的2倍，有几种购买方案.

23.(9分)如图，已知是△ABC的外接圆，是。。的直径，且BO=8C,延长A。

至UE,且有

(1)求证：是的切线；

(2)若BC=2^,AC=10,求圆的直径A£)；

(3)在(2)的条件下求切线BE的长.

24.(10分)我们约定：若关于x的二次函数yi—aix2+bix+ci与y2—av?+bix+ci同时满足

C11W0,42#0,田+。2|+嘉二瓦+(C1+C2)2=0,则称函数yi与y2互为"回旋"函数.根

据该约定，解答下列问题：

(1)求二次函数y=/-4.r+3的“回旋”函数的解析式；

(2)若关于x的二次函数y=o?+2依+。的顶点在它的“回旋”函数图象上，且当£<x<

a

CL—C

---时，-4WyzW4,求a,c的值；

a

(3)关于x的函数尤+c(a>0)的图象顶点为M,与无轴的交点为A、B,当

它的“回旋”函数”的顶点为N,与x轴的交点为C、D,从左往右依次是A、B、C、D,

若AC=38C,是否存在b使得AMON为矩形？

25.(10分)如图，在平面直角坐标系中A(1,0),B(F,0),P(无，y)为平面坐标系中

任意一点且左>0,后勺.

(1)若左=2且尸(V2,V2),求证：PA=^PB；

(2)若•必，求证：/+/=好；

(3)在问题(2)的条件下，龙轴上一点C(-3,0),求取得最小值时尸点

的坐标.

（备用图）

2025年湖南省长沙市中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项符合题意的。请在答题卡中填涂符合题

意的选项。本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）下列实数中，为有理数的是（）

A.V3C.V2

【解答】解：V3,it,好是无理数，

1是有理数，

故选：D.

1

2.（3分）若分式一：在实数范围内有意义，则工的取值范围是（）

A.xWOB.xWlC.x>lD.x<l

【解答】解：当分母X-IWO,即xWl时，分式二7在实数范围内有意义;

%-1

故选：B.

3.（3分）下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（）

【解答】解：圆锥的主视图是三角形，俯视图是圆，

•••圆锥的俯视图与主视图不同，

故选：D.

4.（3分）下列说法正确的是（）

A.打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件

B.天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨

C.两组数据平均数相同，则方差大的更稳定

D.数据5,6,7,7,8的中位数与众数均为7

【解答】解：4打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件，故A错误;

B.天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天可能下雨，故8错误;

C.两组数据平均数相同，则方差大的更不稳定，故C错误;

D,数据5,6,1,7,8的中位数与众数均为7,正确.

故选：D.

5.（3分）2023年前三季度全国GDP30强城市排名已经揭晓，长沙GDP约为10800亿名

列第十五，同比增速为6.32%,数据10800用科学记数法表示为（）

A.0.108X105B.10.8X103C.1.08X104D.1.08X103

【解答】解：10800=1.08X104,

故选：C.

6.（3分）下列运算正确的是（）

9Qs

A.a2*a3=a6B.a~+a—a

C.（a+b）2—cr+b2D.(cz3)2=5

【解答】解：a2,a3=a2+3=a5-,A错误；

ci2+cz3=o2+a3；B错误;

Qa+b）2=/+廿+2血C错误；

（a3）2=a3X2=a6；。正确；

故选：D.

7.（3分）在直角坐标系中，点A（2,-3）关于原点对称的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：：点A（2,-3）关于原点对称的点的坐标是（-2,3）,其横坐标小于0,

纵坐标大于0,

...点A（2,-3）关于原点对称的点位于第二象限.

故选：B.

8.（3分）如图，E、F、G、X分别是四边形ABC。四条边的中点，则四边形所G8一定是

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.正方形

【解答】解：如图，连接AC,

,:E、F、G、”分别是四边形A8C。边的中点，

：.HG//AC,HG=|AC,EF//AC,EF=1AC；

:.EF=HG且EF〃HG；

四边形EFGH是平行四边形.

故选：A.

9.（3分）如图所示，四边形ABC。为的内接四边形，NBCD=120。，则的大

小是（）

A.80°B.120°C.100°D.90°

【解答】解：：四边形ABCD为。。的内接四边形，

/.ZA=180°-ZBCD=60°,

由圆周角定理得，ZBOD=2ZA=120°,

故选：B.

10.（3分）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今

有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日

相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿

墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，

这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为20尺，则需要几天时间才能

打穿（结果取整数）（）

A.4B.5C.6D.7

【解答】解：设需要"天时间才能打穿，

111

根据题意得：1+2+2?+....+2"「i+l+z+(-)2+....+(-)G=20.

2

令0=1+2+22+...+2”-1,贝u24=2+22+....+2"7+2",

：.2a-a=2+22+...+2n-1+2n-(1+2+22+...+2,!-1):=2n-1,

.\a=2n-1.

21-1

令6=1+鼻(-)+……+(-)〃1,则%=4+(-)2+……+(-)n'+(-)n,

22222222

1111_,111711

:.b-^b=l+^+(-)02+……+(-)n1-[-+(-)02+-••••+(-)n1+(-)"]=1-(-)

222222222

n

：.b=2-(-)〃一I

2

1

：.2n-1+2-(-)n-1=20,

2

1

：.2n-(一)e=19.

2

1117

当“=4时，2n-(-)«-1=24-(-)4'=16-^=15-<20；

2288

11115

当九=5时，2n-(-)1=25-(-)5-1=32一与=3].—>20.

221616

需要5天时间才能打穿(结果取整数).

故选：B.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

11.(3分)分解因式：1-*=(1+尤)(1-x)

【解答】解：1--=(1+X)(1-X).

故答案为：(1+X)(1-X).

12.(3分)如图，在。。中，圆心角/A"B=70°,那么圆周角NC=35°

A

【解答】解：・.•圆心角NAQB=70。，

11

：.ZC=^ZAOB=^x70°=35°.

故答案为:35°.

13.（3分）睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容.某

老师了解到某班40位同学每天睡眠时间（单位：小时）如下表所示，则该班级学生每天

的平均睡眠时间是9.1小时.

睡眠时间8小时9小时10小时

人数62410

8X6+9X24+10X10

【解答】解:=9.1（小时）,

40

即该班级学生每天的平均睡眠时间是9.1小时.

故答案为：9.1.

14.（3分）已知关于x的方程/+3x-m=0的只有一个解，则根的值是——

【解答】解：根据题意得：A=32-4X（-m）=0,

9

-

4

故答案为：-浦

15.（3分）如图所示，点A是反比例函数y=5图象上一点，作ABLx轴，垂足为点8,若

△AOB的面积为2,则女的值是4.

【解答】解：・・•点A是反比例函数尸三图象上一点，作A5_Lx轴，垂足为点'

.1

••S/\AOB=2因=2;

又・・,函数图象位于一、三象限，

；・左=4,

故答案为4.

16.（3分）若一次函数y=x+l与y=-X-1交于A点，则■点的坐标为（-1,0）

【解答】解：根据题意得，W二”±11,

（y=­x—1

解得：01

AA(-1,0).

故答案为：（-1,0）.

三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，

第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、

证明过程或演算步骤）

17.（6分）计算：|2--（V2-2025）°+V3-tan30°.

【解答】解：原式=『2+2-l+Wx孚

=n-2+2-1+1

=71.

18.（6分）先化简，再求值：（1+工）+2之\，其中尤=2.

x-rxz—2x+l

【解答】解：Q+SD+V*

X—lx（x+l）

）

—__X__•-0------1----2

X-lx（x+l）

_x—1

=x+l,

当x—2时,原式=，+;=号.

19.（6分）如图所示，湘府中路是一段东西走向的公路，在省政府（A处）测得小明家（尸

处）在北偏东60°方向上，继续往东走36到了德思勤（5处）测得我家（尸处）在北

偏东300方向上，请问小明家到湘府路有多远？（参考数据：8句.73,结果精确到0.1版）

北

勺东

C

【解答】解：如图，过点P作尸交A2的延长线于点

由题意得：/PBD=60°,ZB4D=30°,

AZBPA=ZPBD-ZPAD^60°-30°=30°,

：.ZBPA=ZPAD,

.\PB=AB=3km,

在RtzXPBZ)中，NPBD=3U°,

PD

VsinZPBD=p^,

.•.PD=PB«sinZPBD=3x«2.6(km),

答：小明家到湘府路约为2.6A〃.

20.（8分）“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”,

经选拔后有50名学生参加决赛，根据测试成绩（成绩都不低于50分）绘制出如图所示

的部分频数分布直方图.

小频数（人数）

请根据图中信息完成下列各题.

（1）将频数分布直方图补充完整人数；

（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少；

（3）现将从包括小明和小强在内的4名成绩优异的同学中随机选取两名参加市级比赛,

求小明与小强同时被选中的概率.

【解答】解：（1）70到80分的人数为50-（4+8+15+12）=11人，

补全频数分布直方图如下：

15+12

⑵本次测试的优秀率是一端一X1O°%=54%；

(3)设小明和小强分别为A、B,另外两名学生为：C、D,

则所有的可能性为：AB,AC,AD,BC、BD、CD,

所以小明与小强同时被选中的概率为士

6

21.(8分)如图，在平行四边形ABC。中，ZB=ZAFE,EA是N2EP的角平分线.求证:

(1)AABE冬△AFE；

(2)ZAFD=ZECD.

【解答】证明：(1),••以是尸的角平分线,

；.NBEA=NAEF,

在△ABE和中，

Z.BEA=Z.AEF

乙B=Z.AFE，

AE=AE

：.AABE^AAFE(A4S)；

(2)•・•四边形ABC。是平行四边形，

AZB+ZECD=180°,

•：NB=/AFE,ZAFE+ZAF£)=180°,

4AFD=/ECD.

22.(9分)为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知

购买2个A品牌的足球和3个8品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个

B品牌的足球共需360元.

(1)求A,8两种品牌的足球的单价.

(2)2023年学校购买足球的预算为6400元，总共购买100个球且购买A品牌足球的数

量不多于8品牌足球数量的2倍，有几种购买方案.

【解答】解：(1)设A品牌的足球的单价为x元/个，8品牌的足球的单价为y元/个，

根据题意得：落林二歌，

解得：

答：A品牌的足球的单价为40元/个，3品牌的足球的单价为100元/个.

(2)设购买A品牌足球。个，则购买8品牌足球(100-个.则

(a<2(100—a)

(40a+100(100-a)<6400'

/.60<a<竽，

...a可取60,61,62,63,64,65,66共7种购买方案.

答：有7种购买方案.

23.(9分)如图，已知OO是△ABC的外接圆，AO是。。的直径，且BD=8C,延长A。

至UE,且有

(1)求证：BE是O。的切线；

(2)若BC=2痘,AC=10,求圆的直径A。；

(3)在(2)的条件下求切线3E的长.

【解答】(1)证明：如图1,连接02,

♦；BD=BC,

：.ZCAB=ZBAD,

•：/EBD=/CAB,

：.ZBAD=ZEBD,

:A。是。。的直径，

AZABD=90°,OA=BO,

：.ZBAD=ZABO,

：.ZEBD=ZABO,

：.ZOBE=/EBD+/OBD=NABD+NOBD=ZABD=90°,

•・•点5在OC上,

・・・5£是。。的切线，

(2)解：如图2,

图2

设圆的半径为R,连接CD,

:AZ）为。。的直径，

・・・ZACD=90°

•；BC=BD,

：.OB±CD,

：・OB〃AC,

*：OA=OD,

1

.・・OF=^AC=5.

•・•四边形ACBD是圆内接四边形,

.ZBDE=ZACB.

♦/EBD=NCAB,

.ADBE^ACAB,

DBDE

9AC~BC"

2V3DE

・10-2行

.DE=\2,

9ZOBE=ZOFD=90°,

.DF//BE,

OFOPDF

・OB~OE~BE'

OFOP

・OB-OE

5_R

・R~R+1.29

・R>0.

・R=6,

•直径A0=12；

(3)解：如图3,

图3

在RtZXOO尸中，。尸=5,0D=R=6,

DF=y/OD2—OF2=V62-52=VT1,

..0尸DF

•OB~BE'

.clOB-DF6x7116万

24.（10分）我们约定：若关于x的二次函数yLaV+bix+ci与＞2=02，+6”+。2同时满足

m#0,122#0,|。1+及|+,&—。+（。1+。2）2=0,则称函数yi与"互为"回旋”函数.根

据该约定，解答下列问题：

（1）求二次函数y=/-4x+3的“回旋”函数的解析式；

(2)若关于x的二次函数>=办2+2依+。的顶点在它的“回旋”函数图象上，且当£<x<

a

a—c

---时，-4W”W4,求〃，c的值；

a

(3)关于x的函数yi=o?+法+c(cz>0)的图象顶点为M,与无轴的交点为A、B,当

它的“回旋”函数”的顶点为N,与x轴的交点为C、D,从左往右依次是A、B、C、D,

若AC=33C,是否存在6使得AMLW为矩形？

【解答】解：(1),..|m+a2|+J瓦-历+(。1+。2)2=0,

则。1=-Q2,bl=b2,Cl=-C2,

贝lJy=7-4x+3的“回旋”函数的解析式为：y=-x2-4x-3；

(2)y=ax2+2ax+cK“回旋”函数为：y=--c,

由>=/+2办+c知，其顶点坐标为：(-1,c-〃)，

=

将该点代入y~"2+2依-c得：c-a=~a-2a-cf

解得：a=-c,

则函数的表达式为：尸-〃(X-1)2+2〃，

即-1WxW2时，-4W”W4,

当a>0时，

当x=1时，y=-a(x-1)2+2。=2〃=4,

解得：。=2,则c=-2；

当a<0时，

当x=l时，y=-a(x-1)2+2a=2a=-4,

解得：a=-2,贝ijc=2；

综上，〃=2,。=-2或〃=-2,则c=2；

(3)如下图:

设点A、B、C＞。的横坐标分别为：XI,X2,X3,X4,△=b2-4ac,

则点M的坐标为：（一女,」）且％1,2=丝丹点N的坐标为：（二,二）且工3,4=?共^,

2a4a2a2a4a2a

则-X2=BC=xs-X2==^AC=iX

AC=X3ciba"33a

则VZ=学，

当四边形AMQN为矩形时，则NA0N=9O°,设左