天津市燕京高级中学-2023-2024学年高二下学期期末模拟数学练习（三）

天津燕京高中高二下期末数学模拟练习（三）一、选择题（本题共9小题，共45分）1．（5分）已知全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣3，﹣1，0，3，}，B＝{0，1，2，3}，则（∁UA）∩B＝（）A．{0，3} B．{﹣3，﹣1，0，1，2，}C．{﹣1，0，1，2，3} D．{1，2} 2．（5分）设x∈R，则“|x+1|＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A． B． C． D．4．（5分）下列运算正确的是（）A． B．（4x）′＝x•4x﹣1 C． D．5．（5分）若随机变量X∼N（2，σ2），且P（X≤6）＝0.8，那么P（X≤﹣2）＝（）A．0.7 B．0.8 C．0.2 D．0.36．（5分）已知a＝log63，，c＝0.5﹣0.1，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c7．（5分）已知a，b均为正数，且，则2a+b的最小值为（）A．8 B．16 C．24 D．328．（5分）某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往A，B，C，D四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去B小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（）A．72 B．78 C．126 D．240（5分）已知函数f（x）＝ex﹣ax2的定义域为，且对,＜x1+x2恒成立，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题（本题共6小题，共30分）10．（5分）在的展开式中，x的系数为．11．（5分）已知随机变量X∼B（n，p），若E（X）＝1，，则P（X＝2）＝．12．（5分）为了组建一支志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，设事件A为“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B为“抽取的3人中至少有一名女志愿者”，则P（A|B）＝．13．（5分）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种．（以数字作答）14．（5分）已知，则a1+2a2+3a3+…+2024a2024＝．15．（5分）已知f（x）＝mx+1﹣ex与g（x）＝xlnx的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则m的取值范围为．三、三、解答题（本题共5小题，共75分）16．（14分）已知二项式（2x2﹣）n（a∈R，n∈N*）的展开式中，二项式系数之和为128，系数和为1．（1）求a与n的值；（2）求其展开式中所有的有理项．17．（15分）大小、质量相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球．（1）若从袋中任取3球，设3个球中黑球的个数为X，求X的分布列和期望．（2）若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率为？18．（15分）设函数f（x）＝lnx﹣，a∈R．（1）若a＝1，求f（x）在x＝1处的切线方程．（2）若∃x0＞0，f（x0）≤0，求a的取值范围．（3）若对任意的x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，求a的取值范围．19．（15分）甲乙两人进行象棋比赛，约定谁先赢3局谁就直接获胜，并结束比赛．假设每局甲赢的概率为，和棋的概率为，各局比赛结果相互独立．（1）记X为3局比赛中甲赢的局数，求X的分布列和均值；（2）求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（3）求比赛6局结束，且甲赢得比赛的概率．20．（16分）已知函数f（x）＝logax，g（x）＝ax．（a＞0且a≠1）（1）若，谈论h（x）的单调性；（2）若a＝e，求证g（x）≥af（x）+a；（3）若f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围．

燕京高二（下）期末数学训练（三）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共45分）1．（5分）已知全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣3，﹣1，0，3，}，B＝{0，1，2，3}，则（∁UA）∩B＝（）A．{0，3} B．{﹣3，﹣1，0，1，2，}C．{﹣1，0，1，2，3} D．{1，2} 解：全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣3，﹣1，0，3}，则∁UA＝{﹣2，1，2}，又B＝{0，1，2，3}，故（∁UA）∩B＝{1，2}．故选：D2．（5分）设x∈R，则“|x+1|＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解：由|x+1|＜1得﹣1＜x+1＜1，得﹣2＜x＜0，由＜，得x＜0或x＞2，因为{x|﹣2＜x＜0}⫋{x|x＜0或x＞2}，所以“|x+1|＜1”是“＜”的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A． B． C． D．解：∵f（﹣x）＝＝＝＝＝﹣＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，排除选项B和D；取x＝1，则f（1）＝＜0，排除选项A，故选：C．4．（5分）下列运算正确的是（）A． B．（4x）′＝x•4x﹣1 C． D．解：对于A项：常值函数求导，，所以A错；对于B项：指数函数求导，（4x）′＝4xln4，所以B错；对于C项：幂函数求导，（x﹣5）′＝﹣5x﹣6，所以C错；对于D项：对数函数求导，，所以D正确．故选：D．（5分）若随机变量X∼N（2，σ2），且P（X≤6）＝0.8，那么P（X≤﹣2）＝（）A．0.7 B．0.8 C．0.2 D．0.3解：∵随机变量X∼N（2，σ2），且P（X≤6）＝0.8，∴P（X≥6）＝1﹣0.8＝0.2，∴P（X≤﹣2）＝P（X≥6）＝0.2．故选：C．6．6．（5分）已知a＝log63，，c＝0.5﹣0.1，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c9.解：因为a＝log63＜1，，c＝0.5﹣0.1＞0.50＝1，所以c＞a，c＞b，又因为2a＝2log63＝log69＞1，，所以2a＞2b，即a＞b，故c＞a＞b．故选：D．7．（5分）已知a，b均为正数，且，则2a+b的最小值为（）A．8 B．16 C．24 D．32解：当b∈（0，2）时，，，故，不符合题意，故b＞2，所以2a+b＝2（a+1）+（b﹣2）＝2[2（a+1）+（b﹣2）]（）＝8+2+8＝16，当且仅当8•＝2，即a＝3，b＝10时等号成立．故选：B．8．（5分）某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往A，B，C，D四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去B小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（）A．72 B．78 C．126 D．240解：要求每所小学至少去一位教师，则需要将5人分成4组，则①甲，乙，丙中有2位教师去同一所学校有：种情况，②甲，乙，丙中有1位教师与丁去同一所学校有：种情况，③丁，戊两人选择同一所学校有：种情况，所以满足题意的情况为：36+36+6＝78．故选：B．9.（5分）已知函数f（x）＝ex﹣ax2的定义域为，且对,＜x1+x2恒成立，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．解：设x1＞x2，因为恒成立，等价于f（x1）﹣f（x2）＜x﹣x，即f（x1）﹣x＜f（x2）﹣x，令F（x）＝f（x）﹣x2＝ex﹣ax2﹣x2，则F（x1）＜F（x2），所以F（x）在上为减函数，所以F′（x）＝ex﹣2（a+1）x≤0在在上恒成立，即在上恒成立，令h（x）＝，x∈，则h′（x）＝＞0，所以函数h（x）在上单调递减，在（1，2）单调递增，又h（）＝2，h（2）＝，且2＜，所以h（x）max＜h（2）＝，所以，解得a≥，故选：A．二、填空题（每题5分，共30分）10．（5分）在的展开式中，x的系数为．解：二项式的展开式的通项公式为Tr+1＝•（）5﹣r（﹣）r＝•（）5﹣r•（﹣3）r•，令＝1，求得r＝1，∴二项式的展开式中x的系数为•（）4•（﹣3）＝﹣．故答案为：﹣．11．（5分）已知随机变量X∼B（n，p），若E（X）＝1，，则P（X＝2）＝．解：∵随机变量X∼B（n，p），E（X）＝1，，∴，解得n＝3，p＝，则P（X＝2）＝＝．故答案为：．12．（5分）为了组建一支志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，设事件A为“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B为“抽取的3人中至少有一名女志愿者”，则P（A|B）＝．解：由题意可知，P（B）＝1﹣＝1﹣＝，P（AB）＝1﹣﹣＝，所以P（A|B）＝＝＝．故答案为：．13．（5分）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种．（以数字作答）解：根据题意，用4种颜色标注6个省份地图区域，相邻省份地图颜色不相同，则这4种颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一种颜色，则有“2和5”且“3和6北”、“2和5”且“4和6”、“2和4”且“3和6”、“2和4”且“3和5”、“3和5”且“4和6”，共有5种情况，则共有5＝120种涂色方法．故答案为：120．14．（5分）已知，则a1+2a2+3a3+…+2024a2024＝．15．（5分）已知f（x）＝mx+1﹣ex与g（x）＝xlnx的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则m的取值范围为．解：因为（2x﹣1）2024＝a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024，令x＝0可得1＝a0，两边求导可得2024（2x﹣1）2023（2x﹣1）′＝a1+2a2x+…+2024a2024x2023，即2024×2（2x﹣1）2023＝a1+2a2x+…+2024a2024x2023，令x＝1，4048＝a1+2a2+3a3+…+2024a2024，故答案为：4048．15．（5分）已知f（x）＝mx+1﹣ex与g（x）＝xlnx的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则m的取值范围为．解：由题意可得f（x）＝﹣g（x）在（0，+∞）上有两个解，所以mx+1﹣ex＝﹣xlnx在（0，+∞）上有两个解，即m＝﹣lnx+在（0，+∞）上有两个解，令g（x）＝﹣lnx+（x＞0），则直线y＝m与y＝g（x）在（0，+∞）上有两个交点，则g'（x）＝﹣+＝，因为x＞0，所以ex＞1，ex﹣1＞0，所以当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；所以g（x）min＝g（1）＝e﹣1，所以m＞e﹣1．故答案为：（e﹣1，+∞）．三、解答题（共75分）16．（14分）已知二项式（2x2﹣）n（a∈R，n∈N*）的展开式中，二项式系数之和为128，系数和为1．（1）求a与n的值；（2）求其展开式中所有的有理项．解：（1）由二项式系数之和为128，可得2n＝128，解得n＝7，系数和为1，可得（2﹣a）7＝1，解得a＝1；（2）由（1）可得二项式（2x2﹣）7，通项公式Tr+1＝•（2x2）7﹣r•（﹣）r＝•27﹣r•（﹣1）r•，当为整数时，Tr+1是有理项，则r＝0，3，6，所以有理项为T1＝•27•（﹣1）0•x14＝128x14，T4＝•24•（﹣1）3•x7＝﹣560x7，T7＝•2•（﹣1）6•x0＝14．17．（15分）大小、质量相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球．（1）若从袋中任取3球，设3个球中黑球的个数为X，求X的分布列和期望．（2）若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率为？解：（1）由题可知，X的所有可能取值为1，2，3，则P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，所以X的分布列为：X123PE（X）＝；（2）设事件A为至少取得一个白球，事件B为取得两个白球，则P（A）＝，P（B）＝，所以P（B|A）＝＝．18．（15分）设函数f（x）＝lnx﹣，a∈R．（1）若a＝1，求f（x）在x＝1处的切线方程．（2）若∃x0＞0，f（x0）≤0，求a的取值范围．（3）若对任意的x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，求a的取值范围．解：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣，，则f（1）＝﹣1，f′（1）＝2，故f（x）在x＝1处的切线方程为y+1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣3；（2）若∃x0＞0，f（x0）≤0，则lnx0﹣≤0在x0＞0时有解，即a≥x0lnx0在x0＞0时有解，令g（x）＝xlnx，则g′（x）＝lnx+1，当x＞时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当0＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，故x＝时，g（x）取得最小值g（）＝﹣，故{a|a}；（3）对任意的x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，即f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2恒成立，令h（x）＝f（x）﹣x＝lnx﹣x﹣，则h（x1）＜h（x2），即h（x）在（0，+∞）上单调递减，所以≤0在x＞0时恒成立，所以a≤x2﹣x在x＞0时恒成立，根据二次函数的性质可知，当x＝时，x2﹣x取得最小值﹣，故a的范围为{a|a}．19．（15分）甲乙两人进行象棋比赛，约定谁先赢3局谁就直接获胜，并结束比赛．假设每局甲赢的概率为，和棋的概率为，各局比赛结果相互独立．（1）记X为3局比赛中甲赢的局数，求X的分布列和均值；（2）求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（3）求比赛6局结束，且甲赢得比赛的概率．解：（1）由题知甲每局赢的概率为，甲不赢的概率为，X的取值为0，1，2，3，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，则X的分布列为：X0123PE（X）＝＝；（2）由题知乙每局赢的概率为，乙不赢的概率为，因为乙在4局以内（含4局）赢得比赛，则分两种情况：分乙前3局全胜和前3局只有一局不胜，第四局乙胜，所以乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率：P＝；（3）由题知比赛6局结束，且甲赢得比赛应要满足：前5局甲只赢2局且其他三局中至少和棋一局，第六局甲赢，又每局甲赢的概率为，和棋的概率为，乙赢的概率为，