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文档简介
天津燕京高中高二下期末数学模拟练习(三)一、选择题(本题共9小题,共45分)1.(5分)已知全集U={﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3},集合A={﹣3,﹣1,0,3,},B={0,1,2,3},则(∁UA)∩B=()A.{0,3} B.{﹣3,﹣1,0,1,2,}C.{﹣1,0,1,2,3} D.{1,2} 2.(5分)设x∈R,则“|x+1|<1”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.(5分)函数f(x)=的图象大致为()A. B. C. D.4.(5分)下列运算正确的是()A. B.(4x)′=x•4x﹣1 C. D.5.(5分)若随机变量X∼N(2,σ2),且P(X≤6)=0.8,那么P(X≤﹣2)=()A.0.7 B.0.8 C.0.2 D.0.36.(5分)已知a=log63,,c=0.5﹣0.1,则()A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.b<a<c7.(5分)已知a,b均为正数,且,则2a+b的最小值为()A.8 B.16 C.24 D.328.(5分)某学校选派甲,乙,丙,丁,戊共5位优秀教师分别前往A,B,C,D四所农村小学支教,用实际行动支持农村教育,其中每所小学至少去一位教师,甲,乙,丙不去B小学但能去其他三所小学,丁,戊四个小学都能去,则不同的安排方案的种数是()A.72 B.78 C.126 D.240(5分)已知函数f(x)=ex﹣ax2的定义域为,且对,<x1+x2恒成立,则实数a的取值范围为()A. B. C. D.二、填空题(本题共6小题,共30分)10.(5分)在的展开式中,x的系数为.11.(5分)已知随机变量X∼B(n,p),若E(X)=1,,则P(X=2)=.12.(5分)为了组建一支志愿者队伍,欲从4名男志愿者,3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长,设事件A为“抽取的3人中至少有一名男志愿者”,事件B为“抽取的3人中至少有一名女志愿者”,则P(A|B)=.13.(5分)某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有种.(以数字作答)14.(5分)已知,则a1+2a2+3a3+…+2024a2024=.15.(5分)已知f(x)=mx+1﹣ex与g(x)=xlnx的图像上恰有两对关于x轴对称的点,则m的取值范围为.三、三、解答题(本题共5小题,共75分)16.(14分)已知二项式(2x2﹣)n(a∈R,n∈N*)的展开式中,二项式系数之和为128,系数和为1.(1)求a与n的值;(2)求其展开式中所有的有理项.17.(15分)大小、质量相同的6个球,其中有4个黑球,2个白球.(1)若从袋中任取3球,设3个球中黑球的个数为X,求X的分布列和期望.(2)若从袋中有放回的抽取2次,每次取1球,在至少取得一个白球的情况下,取得两个白球的概率为?18.(15分)设函数f(x)=lnx﹣,a∈R.(1)若a=1,求f(x)在x=1处的切线方程.(2)若∃x0>0,f(x0)≤0,求a的取值范围.(3)若对任意的x1>x2>0,f(x1)﹣f(x2)<x1﹣x2恒成立,求a的取值范围.19.(15分)甲乙两人进行象棋比赛,约定谁先赢3局谁就直接获胜,并结束比赛.假设每局甲赢的概率为,和棋的概率为,各局比赛结果相互独立.(1)记X为3局比赛中甲赢的局数,求X的分布列和均值;(2)求乙在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(3)求比赛6局结束,且甲赢得比赛的概率.20.(16分)已知函数f(x)=logax,g(x)=ax.(a>0且a≠1)(1)若,谈论h(x)的单调性;(2)若a=e,求证g(x)≥af(x)+a;(3)若f(x)≤g(x)恒成立,求a的取值范围.
燕京高二(下)期末数学训练(三)参考答案与试题解析一、选择题(每题5分,共45分)1.(5分)已知全集U={﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3},集合A={﹣3,﹣1,0,3,},B={0,1,2,3},则(∁UA)∩B=()A.{0,3} B.{﹣3,﹣1,0,1,2,}C.{﹣1,0,1,2,3} D.{1,2} 解:全集U={﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3},集合A={﹣3,﹣1,0,3},则∁UA={﹣2,1,2},又B={0,1,2,3},故(∁UA)∩B={1,2}.故选:D2.(5分)设x∈R,则“|x+1|<1”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解:由|x+1|<1得﹣1<x+1<1,得﹣2<x<0,由<,得x<0或x>2,因为{x|﹣2<x<0}⫋{x|x<0或x>2},所以“|x+1|<1”是“<”的充分不必要条件,故选:A.3.(5分)函数f(x)=的图象大致为()A. B. C. D.解:∵f(﹣x)=====﹣=﹣f(x),∴f(x)为奇函数,排除选项B和D;取x=1,则f(1)=<0,排除选项A,故选:C.4.(5分)下列运算正确的是()A. B.(4x)′=x•4x﹣1 C. D.解:对于A项:常值函数求导,,所以A错;对于B项:指数函数求导,(4x)′=4xln4,所以B错;对于C项:幂函数求导,(x﹣5)′=﹣5x﹣6,所以C错;对于D项:对数函数求导,,所以D正确.故选:D.(5分)若随机变量X∼N(2,σ2),且P(X≤6)=0.8,那么P(X≤﹣2)=()A.0.7 B.0.8 C.0.2 D.0.3解:∵随机变量X∼N(2,σ2),且P(X≤6)=0.8,∴P(X≥6)=1﹣0.8=0.2,∴P(X≤﹣2)=P(X≥6)=0.2.故选:C.6.6.(5分)已知a=log63,,c=0.5﹣0.1,则()A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.b<a<c9.解:因为a=log63<1,,c=0.5﹣0.1>0.50=1,所以c>a,c>b,又因为2a=2log63=log69>1,,所以2a>2b,即a>b,故c>a>b.故选:D.7.(5分)已知a,b均为正数,且,则2a+b的最小值为()A.8 B.16 C.24 D.32解:当b∈(0,2)时,,,故,不符合题意,故b>2,所以2a+b=2(a+1)+(b﹣2)=2[2(a+1)+(b﹣2)]()=8+2+8=16,当且仅当8•=2,即a=3,b=10时等号成立.故选:B.8.(5分)某学校选派甲,乙,丙,丁,戊共5位优秀教师分别前往A,B,C,D四所农村小学支教,用实际行动支持农村教育,其中每所小学至少去一位教师,甲,乙,丙不去B小学但能去其他三所小学,丁,戊四个小学都能去,则不同的安排方案的种数是()A.72 B.78 C.126 D.240解:要求每所小学至少去一位教师,则需要将5人分成4组,则①甲,乙,丙中有2位教师去同一所学校有:种情况,②甲,乙,丙中有1位教师与丁去同一所学校有:种情况,③丁,戊两人选择同一所学校有:种情况,所以满足题意的情况为:36+36+6=78.故选:B.9.(5分)已知函数f(x)=ex﹣ax2的定义域为,且对,<x1+x2恒成立,则实数a的取值范围为()A. B. C. D.解:设x1>x2,因为恒成立,等价于f(x1)﹣f(x2)<x﹣x,即f(x1)﹣x<f(x2)﹣x,令F(x)=f(x)﹣x2=ex﹣ax2﹣x2,则F(x1)<F(x2),所以F(x)在上为减函数,所以F′(x)=ex﹣2(a+1)x≤0在在上恒成立,即在上恒成立,令h(x)=,x∈,则h′(x)=>0,所以函数h(x)在上单调递减,在(1,2)单调递增,又h()=2,h(2)=,且2<,所以h(x)max<h(2)=,所以,解得a≥,故选:A.二、填空题(每题5分,共30分)10.(5分)在的展开式中,x的系数为.解:二项式的展开式的通项公式为Tr+1=•()5﹣r(﹣)r=•()5﹣r•(﹣3)r•,令=1,求得r=1,∴二项式的展开式中x的系数为•()4•(﹣3)=﹣.故答案为:﹣.11.(5分)已知随机变量X∼B(n,p),若E(X)=1,,则P(X=2)=.解:∵随机变量X∼B(n,p),E(X)=1,,∴,解得n=3,p=,则P(X=2)==.故答案为:.12.(5分)为了组建一支志愿者队伍,欲从4名男志愿者,3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长,设事件A为“抽取的3人中至少有一名男志愿者”,事件B为“抽取的3人中至少有一名女志愿者”,则P(A|B)=.解:由题意可知,P(B)=1﹣=1﹣=,P(AB)=1﹣﹣=,所以P(A|B)===.故答案为:.13.(5分)某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有种.(以数字作答)解:根据题意,用4种颜色标注6个省份地图区域,相邻省份地图颜色不相同,则这4种颜色全部都用上,其中必有两个不相邻的地区涂同一种颜色,则有“2和5”且“3和6北”、“2和5”且“4和6”、“2和4”且“3和6”、“2和4”且“3和5”、“3和5”且“4和6”,共有5种情况,则共有5=120种涂色方法.故答案为:120.14.(5分)已知,则a1+2a2+3a3+…+2024a2024=.15.(5分)已知f(x)=mx+1﹣ex与g(x)=xlnx的图像上恰有两对关于x轴对称的点,则m的取值范围为.解:因为(2x﹣1)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024,令x=0可得1=a0,两边求导可得2024(2x﹣1)2023(2x﹣1)′=a1+2a2x+…+2024a2024x2023,即2024×2(2x﹣1)2023=a1+2a2x+…+2024a2024x2023,令x=1,4048=a1+2a2+3a3+…+2024a2024,故答案为:4048.15.(5分)已知f(x)=mx+1﹣ex与g(x)=xlnx的图像上恰有两对关于x轴对称的点,则m的取值范围为.解:由题意可得f(x)=﹣g(x)在(0,+∞)上有两个解,所以mx+1﹣ex=﹣xlnx在(0,+∞)上有两个解,即m=﹣lnx+在(0,+∞)上有两个解,令g(x)=﹣lnx+(x>0),则直线y=m与y=g(x)在(0,+∞)上有两个交点,则g'(x)=﹣+=,因为x>0,所以ex>1,ex﹣1>0,所以当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;所以g(x)min=g(1)=e﹣1,所以m>e﹣1.故答案为:(e﹣1,+∞).三、解答题(共75分)16.(14分)已知二项式(2x2﹣)n(a∈R,n∈N*)的展开式中,二项式系数之和为128,系数和为1.(1)求a与n的值;(2)求其展开式中所有的有理项.解:(1)由二项式系数之和为128,可得2n=128,解得n=7,系数和为1,可得(2﹣a)7=1,解得a=1;(2)由(1)可得二项式(2x2﹣)7,通项公式Tr+1=•(2x2)7﹣r•(﹣)r=•27﹣r•(﹣1)r•,当为整数时,Tr+1是有理项,则r=0,3,6,所以有理项为T1=•27•(﹣1)0•x14=128x14,T4=•24•(﹣1)3•x7=﹣560x7,T7=•2•(﹣1)6•x0=14.17.(15分)大小、质量相同的6个球,其中有4个黑球,2个白球.(1)若从袋中任取3球,设3个球中黑球的个数为X,求X的分布列和期望.(2)若从袋中有放回的抽取2次,每次取1球,在至少取得一个白球的情况下,取得两个白球的概率为?解:(1)由题可知,X的所有可能取值为1,2,3,则P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以X的分布列为:X123PE(X)=;(2)设事件A为至少取得一个白球,事件B为取得两个白球,则P(A)=,P(B)=,所以P(B|A)==.18.(15分)设函数f(x)=lnx﹣,a∈R.(1)若a=1,求f(x)在x=1处的切线方程.(2)若∃x0>0,f(x0)≤0,求a的取值范围.(3)若对任意的x1>x2>0,f(x1)﹣f(x2)<x1﹣x2恒成立,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=lnx﹣,,则f(1)=﹣1,f′(1)=2,故f(x)在x=1处的切线方程为y+1=2(x﹣1),即y=2x﹣3;(2)若∃x0>0,f(x0)≤0,则lnx0﹣≤0在x0>0时有解,即a≥x0lnx0在x0>0时有解,令g(x)=xlnx,则g′(x)=lnx+1,当x>时,g′(x)>0,g(x)单调递增,当0<x<时,g′(x)<0,g(x)单调递减,故x=时,g(x)取得最小值g()=﹣,故{a|a};(3)对任意的x1>x2>0,f(x1)﹣f(x2)<x1﹣x2恒成立,即f(x1)﹣x1<f(x2)﹣x2恒成立,令h(x)=f(x)﹣x=lnx﹣x﹣,则h(x1)<h(x2),即h(x)在(0,+∞)上单调递减,所以≤0在x>0时恒成立,所以a≤x2﹣x在x>0时恒成立,根据二次函数的性质可知,当x=时,x2﹣x取得最小值﹣,故a的范围为{a|a}.19.(15分)甲乙两人进行象棋比赛,约定谁先赢3局谁就直接获胜,并结束比赛.假设每局甲赢的概率为,和棋的概率为,各局比赛结果相互独立.(1)记X为3局比赛中甲赢的局数,求X的分布列和均值;(2)求乙在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(3)求比赛6局结束,且甲赢得比赛的概率.解:(1)由题知甲每局赢的概率为,甲不赢的概率为,X的取值为0,1,2,3,则P(X=0)==,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,则X的分布列为:X0123PE(X)==;(2)由题知乙每局赢的概率为,乙不赢的概率为,因为乙在4局以内(含4局)赢得比赛,则分两种情况:分乙前3局全胜和前3局只有一局不胜,第四局乙胜,所以乙在4局以内(含4局)赢得比赛的概率:P=;(3)由题知比赛6局结束,且甲赢得比赛应要满足:前5局甲只赢2局且其他三局中至少和棋一局,第六局甲赢,又每局甲赢的概率为,和棋的概率为,乙赢的概率为,
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