人教A版普通高中数学一轮复习67课时练习含答案

课时质量评价(六十七)1．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝(A.C32×142×34C．142×34 D．34C解析：ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前2次都没有测到正品，故其概率是142×32．(2024·佛山模拟)已知随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝4，D(X)＝2，则P(X＝1)＝()A．123 BC．125 DC解析：随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝4，D(X)＝2，则np=4解得n＝8，p＝12，故P(X＝1)＝C81×121×1-3．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则E(X)＝()A．2 B．1C．43 D．A解析：X的可能取值为1，2，3，其对应的概率为P(X＝1)＝C22C41C63＝15，P(X＝2)＝C21C42C63＝35，P(X＝3)＝C43C634．某班学生的一次数学考试成绩ξ(满分：100分)服从正态分布N(85，σ2)，且P(83≤ξ≤87)＝0.3，P(78≤ξ≤83)＝0.12，P(ξ＜78)＝()A．0.14 B．0.18C．0.23 D．0.26C解析：因为ξ～N(85，σ2)，P(83≤ξ≤87)＝0.3，所以P(ξ＜83)＝1-P83≤又P(78≤ξ≤83)＝0.12，所以P(ξ＜78)＝P(ξ≤83)－P(78≤ξ≤83)＝0.23.故选C.5．中国的景观旅游资源相当丰富，5A级为中国旅游景区最高等级，代表着中国世界级精品的旅游风景区等级．某地7个旅游景区中有3个景区是5A级景区，现从中任意选3个景区，下列事件中概率等于67的是(A．至少有1个5A级景区B．有1个或2个5A级景区C．有2个或3个5A级景区D．恰有2个5A级景区B解析：用X表示这3个旅游景区中5A级景区的个数，则X服从超几何分布，且P(X＝0)＝C30C43C73＝435，P(X＝1)＝C31C42C73＝1835，P(X＝2)＝C32C41C73＝1235，P(X＝3)6．(多选题)“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位：秒)服从正态分布N(8，σ2)，且P(ξ≤7)＝0.2.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在(7，9)间的个数记为X，则()A．P(7＜ξ＜9)＝0.8 B．E(X)＝1.8C．E(ξ)＞E(5X) D．P(X≥1)＞0.9BD解析：A选项，由正态分布的对称性可知，P(ξ≤7)＝P(ξ≥9)＝0.2，故P(7＜ξ＜9)＝1－0.2×2＝0.6，A错误；B选项，X～B(3，0.6)，故E(X)＝3×0.6＝1.8，B正确；C选项，E(ξ)＝8，E(5X)＝5E(X)＝5×1.8＝9，故E(ξ)＜E(5X)，C错误；D选项，因为X～B(3，0.6)，所以P(X＝0)＝C30×(0.6)0×(0.4)3＝故P(X≥1)＝1－0.064＝0.936＞0.9，D正确．故选BD.7．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为．200解析：设没有发芽的种子数为Y，则有X＝2Y.由题意可知Y服从二项分布，即Y～B(1000，0.1)，则E(Y)＝1000×0.1＝100，所以E(X)＝2E(Y)＝200.8．某校高二学生的一次数学诊断考试成绩(单位：分)服从正态分布N(100，102)，从中抽取一个同学的数学成绩X，记该同学的成绩80≤X≤100为事件A，记该同学的成绩70≤X≤90为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P(BA)＝．(结果精确到0.01)附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.0.28解析：由题知，事件AB为“该同学的成绩80≤X≤90”，因为μ－2σ＝100－20＝80，μ－σ＝100－10＝90，所以P(AB)＝P(μ－2σ≤X≤μ－σ)≈0.95452－0.68272又P(A)＝P(μ－2σ≤X≤μ)≈0.95452＝0.47725所以P(BA)＝PABPA＝9．(2024·济南模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若函数f(x)＝P(x≤ξ≤x＋1)为偶函数，则μ＝()A．－12 B．C．12 D．C解析：因为函数f(x)＝P(x≤ξ≤x＋1)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，所以P(－x≤ξ≤－x＋1)＝P(x≤ξ≤x＋1)，所以μ＝-x+x+12＝110．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，记次品数为X，已知P(X＝1)＝1645，且该产品的次品率不超过30%，则这10件产品中次品数n为(A．1 B．2C．8 D．2或8B解析：设10件产品中存在n件次品，从中抽取2件，其次品数为X，由P(X＝1)＝1645，得Cn1C10-n1C102＝1645，化简得n2－10n＋16＝0，解得n＝2或n＝8.又该产品的次品率不超过30%11．(多选题)(2024·潍坊模拟)已知离散型随机变量X服从二项分布B(n，p)，其中n∈N*，0＜p＜1，记X为奇数的概率为a，X为偶数的概率为b，则下列说法中正确的有()A．a＋b＝1B．当p＝12时，a＝C．当0＜p＜12时，a随着nD．当12＜p＜1时，a随着nABC解析：对于A选项，由概率的基本性质可知，a＋b＝1，故A正确；对于B选项，当p＝12时，离散型随机变量X服从二项分布Bn则P(X＝k)＝Cnk12k1-12n－k(k＝0，1，2，3所以a＝12n(Cn1+Cn3+Cn5)b＝12n(Cn0+Cn2+Cn4)＋…)＝12对于C，D选项，a＝1-p+pn-令f(n)＝1-1-2pn2，n∈N*，当0＜p＜12时，易知f故a随着n的增大而增大，故C正确；当12＜p＜1时，令g(n)＝(1－2p)n，n∈N*，易知g(n)的值正负交替，故D不正确．故选12．某人在今年买进某个理财产品，设该产品每个季度的收益率为X，且各个季度的收益之间互不影响，根据该产品的历史记录，可得P(X＞0)＝2P(X≤0)．若此人准备在持有该理财产品4个季度之后卖出，则至少有3个季度的收益为正值的概率为．1627解析：因为P(X＞0)＝2P(X≤0)，所以P(X＞0)＋P(X≤0)＝3P(X≤0)＝1所以P(X≤0)＝13，P(X＞0)＝2则至少有3个季度的收益为正值的概率为C43×233×13+C13．2023年3月，某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级参加，本次比赛启用了新的排球用球．已知这种球的质量指标ξ(单位：g)服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝270，σ＝5.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军．积分规则如下(比赛采取5局3胜制)：比赛中以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分．第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率均为p(0＜p＜1)．(1)令η＝ξ-μσ，则η～N(0，1)，且Φ(a)＝P(η＜a)，求Φ(－2)，并证明：Φ(－2)＋Φ(2)＝(2)第10轮比赛中，记1班排球队3∶1取胜的概率为f(p)，求出f(p)的最大值点p0，并以p0作为p的值，解决下列问题．①在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为X，求X的分布列．②已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军(第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多)？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解：(1)由题可知η＝ξ-2705，Φ(－2)＝P(η＜－2)＝P(ξ＜260)又μ－2ξ＝260，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，所以Φ(－2)＝P(ξ＜260)≈0.5－0.95452＝0.5－0.47725＝因为Φ(－2)＝P(η＜－2)，根据正态曲线的对称性，知Φ(－2)＝P(η＜－2)＝P(η＞2)．又因为Φ(2)＝P(η＜2)＝1－P(η≥2)，所以Φ(－2)＋Φ(2)＝1.(2)由题知f(p)＝C32p3(1－p)＝3p3(1－p则f′(p)＝3[3p2(1－p)＋p3(－1)]＝3p2(3－4p)．令f′(p)＝0，解得p＝34(p＝0舍去)当p∈0，34时，f′(p)＞0，f(p)当p∈34，1时，f′(p)＜0，f(p)所以f(p)的最大值点p0＝34，从而p＝3①