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文档简介
课时质量评价(三)1.(2024·徐州模拟)设P=2a2-4a+3,Q=(a-1)·(a-3),a∈R,则有()A.P≥Q B.P>QC.P<Q D.P≤QA解析:因为P-Q=2a2-4a+3-(a-1)(a-3)=a2≥0,所以P≥Q.2.设a>0,则a+a+4aA.2a+4 B.2C.4 D.5D解析:a+a+4a=a+1+4a≥1+2a·4a=5,当且仅当a3.若a>b>0,c<d<0,则一定有(B)A.ad>bd B.aC.ac>bd D.a4.若6<a<10,a2≤b≤2a,c=a+b,则cA.[9,18] B.(15,30)C.[9,30] D.(9,30)D解析:因为a2≤b≤2a,所以3a2≤a+b≤3a,即3a2≤c≤3a.因为6<a5.(2024·日照模拟)若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上,则该圆柱侧面积的最大值为()A.4π B.8πC.12π D.16πB解析:设圆柱的底面圆半径为r,则圆柱的高为24-r2,圆柱的侧面积为S=2πr×24-r2=4πr4-r2≤4π×r2+4-r6.(2024·潍坊质检)给出下列命题:①a>b⇒ac2>bc2;②a>|b|⇒a2>b2;③a>b⇒a2>b2;④|a|>b⇒a2>b2.其中正确的命题是.②解析:对于①,当c=0时,ac2=bc2,不满足题意,故①错误;对于②,因为a>|b|≥0,故a2>b2,故②正确;对于③,取a=1,b=-2,满足a>b,但a2=1<4=b2,故③错误;对于④,取a=1,b=-2,满足|a|>b,但a2=1<4=b2,故④错误.7.1x+1y(x+49解析:1x+1y(x+4y)=5+xy+4yx≥5+24=9,当且仅当xy=4yx,即8.(2024·菏泽模拟)若实数x,y满足x+2y=1,则2x+4y的最小值为.22解析:2x+4y≥22x×22y=22x+2y=22,当且仅当x=2y,即x=19.(数学与生活)某居民小区欲在一块空地上建一面积为1200m2的矩形停车场,停车场的四周留有人行通道,设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m,东西的人行通道宽4m,如图所示(图中单位:m).问:如何设计停车场的边长,才能使人行通道占地面积最小?最小面积是多少?解:设矩形停车场东西侧边长为xm(x>0),则其南北侧边长为1200xm,人行通道占地面积为S=(x+6)1200x+8-1200=8x+7200x+48≥28x·7200x+48=2×240+48=528,当且仅当8x=7200x,即x=30时,等号成立,故S10.已知对任意的正实数x,y,不等式x+4y≥mxy恒成立,则实数m的取值范围是()A.(0,4] B.(0,2]C.(-∞,4] D.(-∞,2]C解析:因为x>0,y>0,所以x+4y≥mxy等价于m≤x+4yxy,即m≤x+4yxymin.又因为x+4yxy=xy+4yx≥2xy·4yx=4,当且仅当xy=411.(学科交汇)(2024·泰安模拟)在实验课上,小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品.实验一:小明将5克的砝码放在天平左盘,取出一些药品放在右盘中使天平平衡;实验二:小芳将20克的砝码放在右盘,取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡,则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品()A.大于20克 B.小于20克C.大于等于20克 D.小于等于20克C解析:设天平左、右两边臂长分别为a,b,小明、小芳放入的药品的克数分别为x,y,则由杠杆原理得5a=bx,ay=20b,于是x=5ab,y=20ba,故x+y=5ab+20ba≥25ab12.(多选题)已知1≤a≤5,a+b=8,则()A.-6≤a-b≤2B.7≤ab≤15C.32≤a2+b2≤50D.2a+8b的最小值为128AC解析:对于A,由已知得,a-b=2a-(a+b)=2a-8,又1≤a≤5,所以-6≤2a-8≤2,所以-6≤a-b≤2,故A正确;对于B,当a=b=4时,ab=16,不等式不成立,故B错误;对于C,a2+b2=a2+(8-a)2=2a2-16a+64=2(a-4)2+32,由1≤a≤5,得32≤2(a-4)2+32≤50,故C正确;对于D,2a+8b=2a+23b≥22a+3b,当且仅当a=3b,即a=6,b=2时,等号成立,此时2a+8b取得最小值128,但与1≤a≤13.已知a>1,且(a-1)(b-1)=4,则a+b的最小值是.6解析:由题意,得b>1,则a+b=(a-1)+(b-1)+2≥2a-1b-1+2=24+2=6(当且仅当a-1=b-1,即a=b=3时取等号),故a+b14.写出一个关于a与b的等式,使1a2+9ba2+b2=1解析:该等式为a2+b2=1,下面证明该等式符合条件.1a2+9b2=1a2+9b2(a2+b2)=1+9+9a2b2+b15.(2024·聊城模拟)如图放置的边长为2的正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动,则OB·OC的最大值是8解析:设A(x,0),D(0,y),则x2+y2=4,所以B(x+y,x),C(y,x+y),于是OB·OC=(x+y,x)·(y,x+y)=x2+2xy+y2≤2(x2+y2)=8,当且仅当x=y=16.某市计划建设一个文化产业园区,计划在等腰三角形OAB的空地上修建一个占地面积为S平方米的矩形CDEF文化园展厅.如图,点C,D在底边AB上,E,F分别在腰OB,OA上,已知OA=OB=30米,AB=302米,OE=x米,x∈[14,20].(1)试用x表示S,并求S的取值范围;(2)若矩形CDEF展厅的每平方米造价为37kS,绿化区(图中阴影部分)的每平方米造价为12kS(k为正常数),求总造价W关于S的函数W=f(S),并求当OE为何值时总造价解:(1)由题意得,△OAB为等腰直角三角形,则EF=2x米,DE=22(30-x)米,所以S=EF·DE=x(30-x)=-(x-15)2+225.因为x∈[14,20],所以S∈[200,225].故S=-(x-15)2+225,S∈(
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