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课时质量评价(二)1.下列命题中,既是存在量词命题又是真命题的是()A.∃x∈R,1+sinx<0B.每个等腰三角形都有内切圆C.∀x∈R,x2+2x≥-1D.存在一个正整数,它既是偶数又是质数D解析:B与C均为全称量词命题,A与D均为存在量词命题,故B,C错误;因为∀x∈R,1+sinx≥0,则“∃x∈R,1+sinx<0”是假命题,故A错误;正整数2既是偶数又是质数,则“存在一个正整数,它既是偶数又是质数”是真命题,故D正确.故选D.2.若命题p:∃x∈R,3x+2>0,则¬pA.∃x∈R,3x+2≤B.∀x∈R,3x+2≤C.∃x∈R,3x+2≥0或xD.∀x∈R,3x+2≤0或xD解析:全称量词和存在量词命题的否定,分两步走,换符号、否结论.存在量词命题的否定为全称量词命题,故排除AC选项.其中3x+2>0可解得x>-2,因为x>-2的否定应是x≤3.(2024·武汉模拟)“a≤94”是“方程x2+3x+a=0(x∈R)有正实数根”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B解析:由方程x2+3x+a=0有正实数根,则等价于函数f(x)=x2+3x+a有正零点.又因为二次函数f(x)的对称轴为直线x=-32<0,则函数f(x)只能存在一正一负的两个零点,则Δ=9-4a>0,f0<0,解得a<0.又(-∞,0)⊆-∞,94,故“a≤94”是“方程x2+34.(多选题)(2024·深圳模拟)使“2x≥1成立”A.0<x<1 B.0<x<2C.x<2 D.0<x≤2AB解析:由2x≥1,得2-xx≥0,解不等式得0<x≤2,结合选项知使“2x≥1成立”的一个充分不必要条件是“0<x<1”或“0<x5.(新情境)荀子曰:“故不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”此名言中的“积跬步”一定是“至千里”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B解析:荀子的名言表明积跬步未必能至千里,但要至千里必须积跬步,故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.6.(2024·菏泽模拟)已知空间向量a=(λ,1,-2),b=(λ,1,1),则“λ=1”是“a⊥b”的条件.充分不必要解析:当λ=1时,a=(1,1,-2),b=(1,1,1),a·b=1+1-2=0,可得a⊥b,即充分性成立;若a⊥b,则a·b=λ2+1-2=0,解得λ=±1,据此可得必要性不成立.综上可知,λ=1是a⊥b的充分不必要条件.7.能够说明“存在两个不相等的正数a,b,使得a-b=ab是真命题”的一组有序数对(a,b)为.12,13(答案不唯一)解析:答案不唯一,如128.“不等式ax2+2ax-1<0恒成立”的一个充分不必要条件是()A.-1≤a<0 B.a≤0C.-1<a≤0 D.-1<a<0D解析:当a=0时,-1<0恒成立;当a≠0时,则a<0,4a2+4a<0,解得-1<a<0.综上所述,不等式ax2+2ax-1<0恒成立时,-1<a≤0.所以选项中“不等式ax2+2ax-1<0恒成立”的一个充分不必要条件是9.(2023·全国甲卷)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sinα+cosβ=0,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件B解析:甲等价于sin2α=1-sin2β=cos2β,等价于sinα=±cosβ,所以由甲不能推出sinα+cosβ=0,所以甲不是乙的充分条件;由sinα+cosβ=0,得sinα=-cosβ,平方可得sin2α=cos2β=1-sin2β,即sin2α+sin2β=1,所以由乙可以推出甲,所以甲是乙的必要不充分条件.故选B.10.集合A=xx-1x+1<0,B={x||x-b|<a}.若“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件,则实数b的取值范围是(-2,2)解析:A=(-1,1),当a=1时,B=(b-1,b+1).因为“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件,且A∩B=∅时,有b+1≤-1或b-1≥1,解得b≤-2或b≥2,所以当A∩B≠∅时,-2<b<2.11.若“不等式|x|<a”的一个充分条件为“-2<x<0”,则实数a的最小值是.2解析:由不等式|x|<a,当a≤0时,不等式|x|<a的解集为空集,显然不成立;当a>0时,不等式|x|<a,可得-a<x<a,要使得“不等式|x|<a”的一个充分条件为“-2<x<0”,则满足{x|-2<x<0}⊆{x|-a<x<a},所以-2≥-a,即a≥2,故实数a的最小值是2.12.已知命题p:∀x∈[1,2],x2+1≥a,命题q:∃x∈[-1,1],使得2x+a-1>0成立.若p是真命题,q是假命题,则实数a的取值范围为.(-∞,-1]解析:命题p:∀x∈[1,2],x2+1≥a,若p是真命题,则a≤(
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