历年高中数学联赛真题分类汇编25数列

1/2历年高中数学联赛真题分类汇编专题25数列第一缉1．【2021年浙江预赛】设a0=0,a1=a2=1,【答案】6【解析】a2021=a3×74+22．【2021年浙江预赛】设数列an+1=an2+an3,n=1,2,⋯,7,这里[x]表示不超过x的最大整数。若【答案】7【解析】由a8=8,可得a可得a6=12或13或14;可得a可得a4=18或19或20或21;可得a可得a2=27可得a1=333．【2021年新疆预赛】已知数列an满足a1=1,a2=4,a3=10,对任意的n≥2有a【答案】6【解析】∵an+1∴an+1∴an+1+2an−1∴an+2由特征根方程求得an=3×4．【2021年全国高中数学联赛A卷一试】等差数列an满足a2021=a20+a【答案】1981【解析】设an的公差为d.由条件知a15．【2021年全国高中数学联赛B卷一试】等差数列an的公差d≠0,且a2021=a20【答案】1981【解析】由条件知a1+2020d=a6．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】在等比数列{an}中,a9=13,a【答案】1【解析】由等比数列的性质知a1a9=(7．【2020年甘肃预赛】设数列an满足:a1=14,an+1=an+an2n∈Z+【答案】3【解析】由题意知1a⇒1⇒T =下证T2020∈(3,4),只需证a2021>1.⇒a17由归纳法,知对于任意的n>17,an>1,则T2020∈(3,4)8．【2020年广西预赛】设数列{an}的前两项分别为a1=2,a2=4.设bn=an+1【答案】2041211【解析】易知,b1由{bnbn故a2020=2+2+3+⋯+2020=2041211.9．【2020年吉林预赛】数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,⋯该数列的特点是:前两个数均为1,从第三个数起,每一个数均等于它前面两个数的和.把这样的一列数组成的数列{an(a1a3+a2a【答案】1【解析】由题意知a1aa3a……由此可归纳出结论ana则原式=(a1a即1009个−1与1010个1相加，结果为1.10．【2020年四川预赛】已知数列{an}满足:a0=6,an+1=[an]+1{an【答案】6060+6【解析】注意到，a0=a1=2+a2=4+a3=8+a4=10+由数学归纳法易得a2k=6k+a2k+1=6k+4+因此,a2020=6060+11．【2020年四川预赛】若数列{an}满足an=[(2+3)2【答案】53【解析】记bn=b1=4,bn+2=4考虑{bn04,14,52,94,24,02,84,34,52,74,44,02,64,54,52,54,64,02,44,74,52,34,84,02,24,94,52,14,04,02,04,14,…,是以30为周期的模周期数列.又22020≡2404则b2020因为(2−3)n∈(0,1)12．【2020年浙江预赛】设i1,i2,⋯,in为集合{1,2,⋯,n}的一个排列.若存在k<l且ik>il,则称数对(i【答案】912【解析】含6的逆序数有A44含5的逆序数有A44×4+(A33含4的逆序数有3A22A含3的逆序数有2A5含2的逆序数有A53故总的逆序数有912个.13．【2020年重庆预赛】已知a1,a2,a3,a4【答案】4【解析】注意到,含有元素ai(i=1,2,3,4)则I={a1,a2从而,a114．【2020年新疆预赛】等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1),且a1=b1,a4=【答案】130【解析】由题得{a1=b1a1+3d=b1⋅d3a1+9d=b1⋅d15．【2019年江西预赛】公差为d,各项皆为正整数的等差数列{an},若a1=1919,am=1949,an=2019,则正整数【答案】15【解析】设公差为d,则1949=1919+(m-1)d,2019=1919+(n-1)d,显然有m>1,n>1,d=30m−1，以及d=100n−1,消去d得:10其通解为m=1+3tn=1+10t,为使m>1,n>1且d为正整数,则正整数t当t=1时,m=4,n=11为最小,此时m+n=15.16．【2019年江西预赛】数列{an}满足:a0=3，an+1=an+1an,(其中[an]和{【答案】3029+【解析】a0a3归纳易得a2k因此a201917．【2019年上海预赛】设等差数列{an}的公差为d(d≠0),前n项和为Sn若数列{8Sn+2n}也是公差为d的等差数列,则数列{an}的通项an【答案】4n−【解析】由8⇒8⇒8a类似地,8a将以上两式相减得：8⇒8d=2d而d≠0,故d=4.又8，由此解得a1从而,an18．【2019年新疆预赛】已知数列:23,29,49【答案】1553【解析】依题意知，可将已知数列进行分组，第一组为23;第二组为29,49,69,89下面我们计算数列分组后，前6组共有数列中：12又20202187所以分数2020218719．【2019年浙江预赛】设0≤x1≤x2，数列xn满足xn+2=x【答案】21【解析】由已知得x3x6因为1≤x7≤2，所以1≤5x1+8x2≤2所以x820．【2019年北京预赛】将正整数1,2,3,4,⋯,n,⋯按第k组含k+1个数分组:1,2第1组,3,4,5第2组,【答案】63【解析】易知第n组的最后一个数为n(n+1)2+n,当n=62时,2015是第62组的最后一个数,因此2019应在第63组中.21．【2019年广西预赛】从1,2,……,20中任取3个不同的数,则这3个数构成等差数列的概率为 .【答案】3【解析】设首项为a1,不妨考虑公差d>0⇒1⩽d⩽9,d∈d=1⇒1⩽ad=2⇒1⩽ad=3⇒1⩽a以此类推，可得：d=9⇒1⩽a则总共有(2+18)×92所以构成等差数列的概率为9022．【2019年贵州预赛】已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若an,{sn}均为公差为d的等差数列,则【答案】n【解析】解法1:由已知an所以,当n≥2时：an故对∀n∈N∗,有⇒2d解法2:因为Sn=d2n2+a1−d2n23．【2019年吉林预赛】我们把3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如下图所示,则第19个三角形数是 .【答案】210【解析】归纳易得an=(n+1)(n+2)24．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】设等差数列{an}的各项均为整数，首项a1=2019，且对任意正整数n，总存在正整数m，使得a1+a2+⋯+an=【答案】5【解析】设{an}的公差为d.由条件知a1+a2=即(k－2)d=a1，因此必有k≠2，且d=a这样就有an而此时对任意正整数n，a=a确实为{an}中的一项.因此，仅需考虑使k−2|a1成立的正整数k的个数.注意到2019为两个素数3与673之积，易知25．【2018年山西预赛】将全体正整数按自小到大的顺序排列，然后这样分段，使得第一段有1个数，第二段有3个数，……，第n段有2n-1个数；那么，第20段中的第18个数是________.【答案】379【解析】显然，前n段共有1+3+5+⋯+2n−1=n2个数，即第n段中最大数为26．【2018年江苏预赛】已知等差数列{an}的前12项的和为60【答案】60【解析】|a1|+|故|a故答案为：6027．【2018年浙江预赛】设数列an满足a1=1，an+1=5【答案】5【解析】由an+1所以n=1201828．【2018年湖北预赛】设数列an满足：a1=1,4【答案】53【解析】由4a4−a设bn=4−an，则有bn一般地，有