人教A版普通高中数学一轮复习第3章第2节第2课时导数与函数的极值、最值课件

第三章

导数及其运用第二节导数的应用第2课时导数与函数的极值、最值知识点一函数的极值与导数1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．

(

)(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．

(

)(3)函数的极大值一定是函数的最大值．

(

)必备知识落实“四基”×××

√√4．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为(

)A．2 B．4C．6 D．2或6√

函数的极值条件f′(x0)＝0在点x＝x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0在点x＝x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点注意点：

(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数．(3)f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但0不是f(x)的极值点．知识点二函数的最值与导数1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)开区间上的单调连续函数无最值．

(

)(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．

(

)(3)函数的最大值一定是极大值，函数的最小值也一定是极小值．

(

)√√×

3．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝__________．32

解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.分析可得f(x)的极小值点为2，极大值点为－2.计算得f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32.1．函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条__________的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)上的______；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中______的一个是最大值，______的一个是最小值．连续不断极值最大最小【常用结论】1．若函数f(x)的图象在[a，b]上连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．应用函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为(

)A．1－e B．－1C．－e D．0√考向1根据函数的图象判断函数的极值【例1】(2024·通辽模拟)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，下列结论正确的是(

)A．y＝f(x)在x＝－1处取得极大值B．x＝1是函数y＝f(x)的极值点C．x＝－2是函数y＝f(x)的极小值点D．函数y＝f(x)在区间(－1，1)上单调递减核心考点提升“四能”利用导数求函数的极值√C

解析：由题图，可知f′(－2)＝0，当x＜－2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞－2时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，故x＝－2是函数y＝f(x)的极小值点，y＝f(x)无极大值．反思感悟导函数图象的应用策略(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点．(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，进而研究函数的极值、最值．

x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)单调递增ln2－1单调递减

反思感悟函数极值或极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个区间，并列成表格．(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左、右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．

反思感悟已知函数极值点或极值求参数的两个关键列式根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(

)A．f(x)有极大值f(－2) B．f(x)有极小值f(－2)C．f(x)有极大值f(1) D．f(x)有极小值f(1)A

解析：由题图，可得当x＞1时，f′(x)＜0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＜－2时，f′(x)＞0，且f′(－2)＝0，所以函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减．所以f(x)有极大值f(－2)．√

√

√

利用导数求函数的最值

x(－∞，－1)－1(－1，4)4(4，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增1单调递减单调递增反思感悟求函数f(x)在[a，b]上最值的方法(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增或递减，那么f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数f(x)在区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)若函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，那么这个极值点就是最值点．此结论在导数的实际应用中经常用到．

√

(2)求f(x)的最小值．解：由(1)知f(x)＝ex＋sinx－2x，f′(x)＝ex＋cosx－2，f′(0)＝0.当x＜0时，因为ex＜1，cosx≤1，所以f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减．当x＞0时，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝ex－sinx.因为ex＞1，sinx≤1，所以g′(x)＞0，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)＞f′(0)＝0.所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．所以x＝0是f(x)的极小值点也是最小值点，f(x)min＝f(0)＝1，即f(x)的最小值为1.

极值与最值的综合应用

反思感悟解决函数极值、最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范．函数含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极