人教A版普通高中数学一轮复习第2章第2节函数的单调性与最值课件

第二章

函数第二节函数的单调性与最值·考试要求·1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值．2．理解函数的单调性与最值的作用和实际意义．

必备知识落实“四基”×××

√√√4．设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递增区间为_________________．5．已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在[5，20]上单调，则实数k的取值范围是__________．(－∞，5]∪[20，＋∞)

解析：易知f(x)＝x2－2kx＋4的图象的对称轴为直线x＝k，由题意可得k≤5或k≥20.故实数k的取值范围是(－∞，5]∪[20，＋∞)．[－1，1]和[5，7]1．增函数与减函数注意点：单调递增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征：一是任意性；二是有大小，即x1<x2(或x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)单调递增单调递减2．单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上____________________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．注意点：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域．(3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.单调递增或单调递减知识点二函数的最值1．下列函数在区间[1，4]上最大值为3的是(

)A.y＝x2 B．y＝3x－2C．y＝x2－13 D．y＝1－xC

解析：选项A，B，C在区间[1，4]上均单调递增，选项D在区间[1，4]上单调递减，代入端点值，即可求得最大值为3的是y＝x2－13.√

√

函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件∀x∈D，都有__________；∃x0∈D，使得___________∀x∈D，都有__________；∃x0∈D，使得___________结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x)≥Mf(x0)＝Mf(x0)＝M注意点：(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取得．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最小值或最大值．

√√

√

核心考点提升“四能”√

反思感悟确定函数单调性的常用方法定义法先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论图象法若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性性质法对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减”进行判断导数法先求导，再确定导数的正负，由导数的正负得函数的单调性复合法对于复合函数，先将函数f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，然后讨论(判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断

－2

√反思感悟利用函数的单调性比较大小的方法比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较．对于选择题、填空题通常选用数形结合的思想方法进行求解．考向2解函数不等式【例3】(1)已知函数f(x)在R上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(

)A．[－2，2] B．[－1，1]C．[0，4] D．[1，3]D

解析：因为函数f(x)为奇函数，且f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝1.由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又函数f(x)在R上单调递减，所以－1≤x－2≤1，所以1≤x≤3.故选D.√

反思感悟在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．

√D

解析：作出函数y＝f(x)的图象如图所示．由图象可知，若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.(2)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是__________．(－∞，1]

解析：令t＝|x－a|，所以y＝et.t＝|x－a|在(－∞，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．又y＝et为增函数，所以f(x)＝e|x－a|在(－∞，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以a≤1.反思感悟利用函数的单调性求参数的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(3)分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意每段端点值是否可以取到．

√2．已知函数f(x)＝ln2－x－x3，则不等式f(3－x2)>f(2x－5)的解集为(

)A．(－4，2)B．(－∞，2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)D

解析：由题意知f(x)＝－xln2－x3，易知函数f(x)在R上单调递减，而f(3－x2)>f(2x－5)，所以3－x2<2x－5，即(x－2)(x＋4)>0，解得x＞2或x＜－4，所以x∈(－∞，－4)∪(2，＋∞)．故选D.√3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，函数f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(

)A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)A

解析：因为函数f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．因为当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，所以f(π)>f(3)>f(2)，所以f(π)>f(－3)>f(－2)．故选A.√

一题N解

拓展思维[四字程序]读想1．图象法．2．单调性法算1．一次函数、对数函数的图象．2．一