全国高中数学联赛分类汇编专题01不等式

1、不等式1、（2001一试6）已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（）2枝玫瑰价格高3枝康乃馨价格高 价格相同 不确定【答案】A2、（2003一试5）已知x，y都在区间(2，2)内，且xy=1，则函数u=+的最小值是（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】D3、（2004一试3）不等式+logx3+2>0的解集为（ ） A2，3) B(2，3 C2，4) D(2，4 【答案】C【解析】令log2x=t1时，>t2t1，2)，Þx2，4)，选C4、（2005一试1）使关于的

2、不等式有解的实数的最大值是（ ）A B C D【答案】D5、（2006一试2）设，则的取值范围为（ ）A B C D 【答案】B6、（2007一试2）设实数a使得不等式|2xa|+|3x2a|a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（ ）A. B. C. D. 3，3【答案】A【解析】令，则有，排除B、D。由对称性排除C，从而只有A正确。一般地，对kR，令，则原不等式为，由此易知原不等式等价于，对任意的kR成立。由于，所以，从而上述不等式等价于。7、（2001一试10）不等式的解集为 。9、（2009一试3）在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围

3、是，则和的公共面积是函数 【答案】【解析】由题意知 10、（2009一试4）使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为 【答案】2009【解析】设显然单调递减，则由的最大值，可得11、（2011一试3）设为正实数，则 12、（2012一试3）设，则的最大值是 .13、（2001一试15）用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6、（a1>a2>a3>a4>a5>a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。3设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD 若记 ，则S1、S2为定值，于是 只有当R3R4最小，

4、R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4R3，R3R2，R3Rl，即得总电阻的阻值最小 4°对于图3把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替要使RFG最小，由3°必需使R6R5；且由1°应使RCE最小由2°知要使RCE最小，必需使R5R4，且应使RCD最小 而由3°，要使RCD最小，应使R4R3R2且R4R3R1， 这就说明，要证结论成立14、（2003一试13）设x5，证明不等式2+<215、（2003二试3）由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n=q2+q+1，lq(q+1)2+1，q2，qN已知此图中任

5、四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形)【解析】证明：设点集为VA0，A1，An1，与Ai连线的点集为Bi，且|Bi|bi于是1bin1又显然有bi2lq(q+1)2+2若存在一点与其余点都连线，不妨设b0n1则B0中n1个点的连线数lb0q(q+1)2+1(n1) (注意：q(q+1)q2+qn1)(q+1)(n1)(n1)+1(q1)(n1)+1(n1)+1(n1)+1(由q2)但若在这n1个点内，没有任一点同时与其余两点连线，则这n1个点内至多连线条，故在B0中存在一

6、点Ai，它与两点Aj、Ak(i、j、k互不相等，且1i，j，k)连了线，于是A0、Aj、Ai、Ak连成四边形现设任一点连的线数n2且设b0q+2n2且设图中没有四边形于是当ij时，Bi与Bj没有公共的点对，即|BiBj|1(0i，jn1)记VB0，则由|BiB0|1，得|Bi|bi1(i1，2，n1)，且当1i，jn1且ij时，Bi与Bj无公共点对从而 (n1)(nb0)(nb01)(nqq+2b0)(nqqn+3b0)(n1q(q+1)代入)得 q(q+1)( nb0)(nb01)(nqq+2b0)(nqqn+3b0)(各取一部分因数比较) 但(nqqn+3b0)q(nb01)(q1)b0n

7、+3(b0q+2)(q1)(q+2)n+3q2+q+1n0 (nqq+2b0)(q+1)(nb0)qb0qn+2q(q+1)n+210 又(nqqn+3b0)、(nqq+2b0)、q(nb01)、 (q+1)(nb0)均为正整数，从而由、得， q(q+1)(nb0)(nb01)(nqq+2b0)(nqqn+3b0) 由、矛盾，知原命题成立又证：画一个n×n表格，记题中n个点为A1，A2，An，若Ai与Aj连了线，则将表格中第i行j列的方格中心涂红于是表中共有2l个红点，当d(Ai)m时，则表格中的i行及i列各有m个红点且表格的主对角线上的方格中心都没有涂红由已知，表格中必有一行有q2

8、个红点不妨设最后一行前q2格为红点其余格则不为红点(若有红点则更易证)，于是：问题转化为：证明存在四个红点是一个边平行于格线的矩形顶点若否，则表格中任何四个红点其中心都不是一个边平行于格线的矩形顶点于是，前n1行的前q2个方格中，每行至多有1个红点去掉表格的第n行及前q2列，则至多去掉q2(n1)q2q2q(q1)21个红点于是在余下(n1)×(nq2)方格表中，至少有2l(q1)21q(q1)22(q1)21(q1)(q1)21q3q2q个红点设此表格中第i行有mi(i1，2，n1)个红点，于是，同行的红点点对数的总和C其中n1q2q(由于当nk时，CCCC，故当红点总数16、（2008一试14）解不等式【解析】方法一：由，且在上为增函数，故原不等式等价于即 分组分解 ， 所以，。所以，即故原不等式解集为 方法二： 由，且在上为增函数，故原不等式等17、（2009一试11）求函数的最大和最小值【解析】函数的定义域为.因为当时等号成立故的最小值为又由柯西不等式得 所以 由柯西不等式等号成立的条件，得，解得故当时等号成立因此 的最大值为18、（2009二试2）求证不等式：，2，【