5.3.1-样本、统计量与抽样分布

5.3

数理统计初步1——对随机现象进行观测、试验，以取得有代表性的观测值——对已取得的观测值进行整理、分析,作出推断、决策,从而找出所研究的对象的规律性数理统计的分类描述统计学推断统计学2数参估计假设检验回归分析方差分析

推断统计学3美国经济学家罗伯特恩格尔(RobertF.Engle1942~)英国经济学克莱夫格兰杰(CliveGranger1934~)共同获得2003年诺贝尔经济学奖420世纪80年代两位获奖者发明了新的统计方法来处理许多经济时间数列中两个关键属性：易变性随时间变化的非稳定性5恩格尔

研究方向主要是利率、汇率和期权的金融计量分析格兰杰

的研究涉及统计和经济计量学时间序列分析、预测、金融、人口统计学、方法论等领域.提出谱分析回归等创新性统计方法特别是6总体

——研究对象全体元素组成的集合所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X

.

X

的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征.总体和样本

5.3.1样本、统计量与抽样分布7样本

——从总体中抽取的部分个体.称为总体X的一个容量为n的样本观测值,或称样本的一个实现.用表示,n为样本容量.样本空间

——样本所有可能取值的集合.

个体

——

组成总体的每一个元素即总体的每个数量指标,可看作随机变量X

的某个取值.用表示.8若总体

X的样本满足:一般,对有限总体,放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不放回抽样代替.而代替的条件是(1)与X

有相同的分布(2)相互独立则称为简单随机样本.简单随机样本----N/n

10.总体中个体总数样本容量9设是取自总体X的一个样本,为一实值连续函数,且不含有未知参数,则称随机变量为统计量.若是一个样本值,称的一个样本值为统计量统计量----10例1

是未知参数,若,已知,则为统计量是一样本,是统计量,其中则但不是统计量.11常用的统计量为样本均值为样本方差为样本标准差设是来自总体

X

的容量为

n

的样本,称统计量12为样本的k阶原点矩为样本的k

阶中心矩例如13例2

在总体中,随机抽取一个容量为36的样本,求样本均值落在50.8到53.8之间的概率.解故14例3

设总体X的概率密度函数为为总体的样本,求(1)的数学期望与方差(2)

(3)

解(1)15近似(3)由中心极限定理(2)16(1)

正态分布则特别地,则统计中常用分布若i.i.d.~若~17标准正态分布的

分位数分布的上

分位数.若，则称z

为标准正态定义正态分布的双侧

分位数.若,则称为标准18标准正态分布的

分位数图形z

•

常用数字

/2

-z/2=z1-/2

/2

z/2•-z/2•19(2)分布

(n为自由度)定义设相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),则n=1

时,其密度函数为20n=2

时,其密度函数为为参数为1/2的指数分布.21一般其中，在x>0时收敛，称为

函数，具有性质的密度函数为自由度为

n的22n=2n=3n=5n=10n=15

23例如

分布的性质

20.05(10)•n=1024(3)t

分布

(Student分布)定义则称T服从自由度为n

的T分布.其密度函数为X,Y相互独立,设25t分布的图形(红色的是标准正态分布)n=1n=2026t分布的性质1°fn(t)是偶函数,2°T分布的上

分位数t

与双测

分位数t/2

均

有表可查.27n=10t

-t

••

28t

/2-t

/2••

/2

/229(4)

F分布则称F服从为第一自由度为n

,第二自由度为m的F

分布.

其密度函数为定义X,Y相互独立，设令30m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=1031F分布的性质例如事实上,故求F

(n,m)•

32单个正态总体常用抽样分布的结论与相互独立设总体,样