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文档简介

高等数学主讲人

宋从芝河北工业职业技术学院复习定理2（极值判定定理一）

②当x<x0时，

，而x>x0时，

，①当x<x0时，

，而x>x0时，

，③在x0两侧，

不变号，则f(x0)不是函数的可导，且如果

设函数f(x)在点x0近旁

则f(x0)是函数的极大值；

则f(x0)是函数的极小值；

极值。可能的极值点x0

：驻点不可导点判定函数的单调性和极值的步骤：

①求定义域；②求出一阶导，找到可能的极值点；③列表讨论:用极值的判定定理一,判定子区间内的单调性，检查可能的极值点两侧单调性的变化：如果由增变减，则是极大值；如果由减变增，则是极小值。如果两侧单调性不变，则不是极值。本讲概要曲线凹凸的定义曲线凹凸的判定定理曲线的凹凸及拐点的求法极值判定定理二3.4曲线的凹凸及拐点问题:凸凹一.曲线凹凸的定义问题:曲线的弯曲方向?曲线在其上任意点切线的上方曲线在其上任意点切线的下方凸凹定义在区间(a,b)内，如果曲线位于其任意一点处的切线的上方，那么曲线在(a,b)内是凹的；如果曲线位于其任意一点的切线的下方，那么曲线在(a,b)内是凸的。当自变量x

增大时如图所示，凹形的弧段切线斜率是递增的切线倾斜角变大导数递增导数的导数>0二阶导数>0二.曲线凹凸的判定定理设函数f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数，①如果(a,b)在内，

，则曲线y=f(x)在(a,b)定理

②如果在(a,b)内，

，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的；内是凸的。雨水法则例1解注意三.曲线的凹凸及拐点的求法定义可能的拐点(x

,

y)

：连续曲线上的凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。判定曲线的凹凸及拐点的步骤：

①求定义域；②求出一阶、二阶导数，找到可能的拐点；③列表讨论:用“雨水法则”判定子区间内的凹凸，检查可能的拐点左右近旁的符号：如果变号，则是曲线的拐点；如果不变号，则不是曲线的拐点。例2求曲线

的凹凸区间和拐点。定义域为(-∞,+∞)解∩∪拐点（2，-1）练习求曲线

的凹凸区间和拐点。定义域为(-∞,+∞)解∩∪拐点（-1,0）∪拐点（1,0）例3判定曲线

的凹凸性。定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)解定理3（极值判定定理二）①如果，则f(x0)是函数的极小值；若，定理3不能判定f(x0)是否为设函数f(x)在点x0处存②如果，则f(x0)是函数的极大值；注意：在二阶导数，且，但：极值，需要用定理2判定。四.极值判定定理二例3

求函数在内的极值。解

由，即，在内的驻点则极大值为则极小值为练习

求函数的单调区间、极值、凹凸性及拐点。小结作业

习题3.

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