4.6定积分的应用

4.6定积分的应用4.6.1定积分在几何上的应用4.6.2定积分在经济上的应用4.6.1定积分在几何上的应用在直角坐标系中求平面图形的面积，借助几何图形和定积分的几何意义，容易得到计算平面图形面积的定积分表达式．1．平面图形的面积（1）平面图形是由一条曲线和直线及

轴围成的.（2）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为(3)由曲线（有正有负），直线及轴所围成的的面积为

(4)由两条连续曲线直线所围成的图形的面积为oxyAab

(5)由曲线直线所围成的图形的面积为Axyocd例6.1

求由两条抛物线所围成的图形的面积．解方程组，得两条抛物线的解

交点为例6.2

求由抛物线与直线所围成图形的面积．解方程组得交点解

2．旋转体的体积旋转体是指由平面图形绕该平面内的某直线旋转一周所形成的立体图形，这条直线叫做旋转轴．下面我们计算由连续曲线、直线所围成的图形绕轴旋转一周所成旋转体(如图)的体积(1)取为积分变量，其变化区间为，在上任取一点，作垂直于轴的截面，该截面是半径为的圆，因而截面面积为(2)在上，以为端点取区间则以截面为底、以为高的圆柱体体积是旋转体体积的微元素：所求的旋转体体积为(3)将微元依次相“加”，即在上积分，得类似地，如图所示，由连续曲线直线以及轴所围成的.轴旋转一周所形成的旋转体的体积为曲边梯形绕例6.3

求由抛物线，直线及轴所围解（1）绕x轴旋转所生成的立体(如图)体积为：轴旋转所得立体的体积平面图形分别绕轴、（２）绕轴旋转所形成立体(如图)的体积等于直线绕轴旋转得到的体积减去抛物线绕轴旋转得到的立体，所以其体积4.6.2定积分在经济上的应用举例1．已知边际函数求经济总量及其改变量(1)设生产的总成本的边际成本是那么当产量为时，总成本其中为固定成本，表示随产量变化的可变成本．若产量由增到时，总成本的改变量为，

此时的平均成本为(2)若已知边际效益则效益函数这里当产量由增到时，

此时的平均效益为效益的改变量(3)若已知边际利润函数则总利润函数为其中为固定成本，表示不考虑固定成本下的利润函数，亦称为毛利润当产量由增到时,利润的改变量为

此时的平均利润为例6.4

设某产品在时刻总产量的变化率为（1）总产量函数（2）从到这段时间内的总产量．求：解（1）总产量函数为（2）从到这段时间内的总产量为例6.5

已知生产某产品台的边际成本函数和边际收入（4）产量为多少时，总利润最大？最大利润为多少？函数分别为(万元/台)，

(万元/台)．（1）若固定成本(万元)，求总成本函数，总收入函数和总利润函数；（2）当产量从4台增加到6台时，求增加的总成本和总收入；（3）当产量从4台增加到6台时，求增加的平均成本和平均收入；解（1）由于总成本是固定成本和可变成本之和，所以总成本函数为(万元)由于产量为时，总收入也必为0，因此总收入函数为(万元)利润是总收入与总成本之差，所以总利润函数为(万元)

（2）当产量从4台增加到6台时，增加的总成本和总收入分别为(万元)(万元)（3）当产量从4台增加到6台时，增加的平均成本和平均收入分别为(万元)(万元)（4）(万元)得惟一驻点而由知时，总利润取得极大值，即为最大值，所以最大利润为由2．投资问题现有元货币，按年利率作连续复利计算，年后的本息共为元；反过来，若年后要拥有货币元，仍按连续复利计算，现在应投入资金多少元？这是求资本现值问题．（1）现值的计算设在时间段内时刻的收入率（即单位时间内的收入）是均匀的，即（常数）年利率也为常数，按连续复利计算，则在内的总收入现值（2）纯收入（贴）现值的计算投资年后获总收入的现值是所以投资获得的纯收入（贴）现值为（3）投资回收期的计算收回投资，即总收入现值等于投资，即有解得例6.6

若对某企业投资400万元，年利率，设在10年内的均匀收入率为100万元/年，试求：（1）该投资的纯收入（贴）现值；（2）收回该笔投资的年限是多少？解这里，得，10年中投资所得纯收入（贴）现值为(万元)（2）由公式得，投资回收期(万元)

4.6.3小结导数在几何及经济中的应用思考题思考题解答1.×2.√判断：（1）定积分表示半径为的球体的，高为的圆锥体的体积可以用定（2）半径为体积．（）积分表示为练习题平面图形的面积.平面图形的面积.平面图形的面积.

1、求由曲线