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文档简介
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每题4分,共48分)1.在中,,,,则的值为()A. B. C. D.2.如图,抛物线与轴交于、两点,是以点(0,3)为圆心,2为半径的圆上的动点,是线段的中点,连结.则线段的最大值是()A. B. C. D.3.一个不透明的布袋中有分别标着数字1,2,3,4的四个乒乓球,现从袋中随机摸出两个乒乓球,则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为()A. B. C. D.4.如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是()A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABCC. D.5.如图,直线l与x轴,y轴分别交于A,B两点,且与反比例函数y=(x>0)的图象交于点C,若S△AOB=S△BOC=1,则k=()A.1 B.2 C.3 D.46.如图,△ABC中,点D为边BC的点,点E、F分别是边AB、AC上两点,且EF∥BC,若AE:EB=m,BD:DC=n,则()A.若m>1,n>1,则2S△AEF>S△ABD B.若m>1,n<1,则2S△AEF<S△ABDC.若m<1,n<1,则2S△AEF<S△ABD D.若m<1,n>1,则2S△AEF<S△ABD7.抛物线向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到的抛物线是()A. B. C. D.8.已知二次函数的与的部分对应值如表:下列结论:抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线;③当时,;④抛物线与轴的两个交点间的距离是;⑤若是抛物线上两点,则,其中正确的个数是()A. B. C. D.9.用一块长40cm,宽28cm的矩形铁皮,在四个角截去四个全等的正方形后,折成一个无盖的长方形盒子,若折成的长方体的底面积为,设小正方形的边长为xcm,则列方程得()A.(20﹣x)(14﹣x)=360 B.(40﹣2x)(28﹣2x)=360C.40×28﹣4x2=360 D.(40﹣x)(28﹣x)=36010.如图,在中,,,为边上的一点,且.若的面积为,则的面积为()A. B. C. D.11.下列方程中,是一元二次方程的是().A. B. C. D.12.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sin∠B=,则BC=()A.15 B.6 C.9 D.8二、填空题(每题4分,共24分)13.甲、乙、丙三人站成一排合影留念,则甲、乙二人相邻的概率是.14.玫瑰花的花粉直径约为0.000084米,数据0.000084用科学记数法表示为__________.15.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=4,BC=3,则△ABC的内切圆半径r=_____.16.如图,在▱ABCD中,EF∥AB,DE:EA=2:3,EF=4,则CD的长为___________.17.写出一个对称轴是直线,且经过原点的抛物线的表达式______.18.如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=1,CD=2,BC=3,点P为BC边上一动点,若△PAB与△PCD是相似三角形,则BP的长为_____________三、解答题(共78分)19.(8分)如图①,在等腰△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE=120°.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置,连接CD,点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点,连接MN、PN、PM,判断△PMN的形状,并说明理由;(3)在(2)中,把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=6,请分别求出△PMN周长的最小值与最大值.20.(8分)如图,△ABC的角平分线BD=1,∠ABC=120°,∠A、∠C所对的边记为a、c.(1)当c=2时,求a的值;(2)求△ABC的面积(用含a,c的式子表示即可);(3)求证:a,c之和等于a,c之积.21.(8分)已知在平面直角坐标系中,抛物线与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,直线y=x+4经过A,C两点,(1)求抛物线的表达式;(2)如果点P,Q在抛物线上(P点在对称轴左边),且PQ∥AO,PQ=2AO,求P,Q的坐标;(3)动点M在直线y=x+4上,且△ABC与△COM相似,求点M的坐标.22.(10分)某公司营销两种产品,根据市场调研,确定两条信息:信息1:销售种产品所获利润(万元)与所销售产品(吨)之间存在二次函数关系,如图所示信息2:销售种产品所获利润(万元)与销售产品(吨)之间存在正比例函数关系根据以上信息,解答下列问题:(1)求二次函数的表达式;(2)该公司准备购进两种产品共10吨,请设计一个营销方案使销售两种产品获得的利润之和最大,最大利润是多少万元?23.(10分)李明准备进行如下操作实验,把一根长40cm的铁丝剪成两段,并把每段首尾相连各围成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2,李明应该怎么剪这根铁丝?(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2,你认为他的说法正确吗?请说明理由.24.(10分)如图,在Rt△ABC中,,D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E,若BC=6,sinA=,求DE的长.25.(12分)综合与探究:如图所示,在平面直角坐标系中,直线与反比例函数的图象交于,两点,过点作轴于点,过点作轴于点.
(1)求,的值及反比例函数的函数表达式;(2)若点在线段上,且,请求出此时点的坐标;(3)小颖在探索中发现:在轴正半轴上存在点,使得是以为顶角的等腰三角形.请你直接写出点的坐标.26.(1)2y2+4y=y+2(用因式分解法)(2)x2﹣7x﹣18=0(用公式法)(3)4x2﹣8x﹣3=0(用配方法)
参考答案一、选择题(每题4分,共48分)1、A【分析】根据勾股定理求出AB,根据余弦的定义计算即可.【详解】由勾股定理得,,则,
故选:A.【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义,掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键.2、C【分析】根据抛物线解析式可求得点A(-4,0),B(4,0),故O点为AB的中点,又Q是AP上的中点可知OQ=BP,故OQ最大即为BP最大,即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大,进而即可求得OQ的最大值.【详解】∵抛物线与轴交于、两点∴A(-4,0),B(4,0),即OA=4.在直角三角形COB中BC=∵Q是AP上的中点,O是AB的中点∴OQ为△ABP中位线,即OQ=BP又∵P在圆C上,且半径为2,∴当B、C、P共线时BP最大,即OQ最大此时BP=BC+CP=7OQ=BP=.【点睛】本题考查了勾股定理求长度,二次函数解析式求点的坐标及线段长度,中位线,与圆相离的点到圆上最长的距离,解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况.3、B【解析】列表得:
1
2
3
4
1
-
2+1=3
3+1=4
4+1=5
2
1+2=3
-
3+2=5
4+2=6
3
1+3=4
2+3=5
-
4+3=7
4
1+4=5
2+4=6
3+4=7
-
∵共有12种等可能的结果,这两个乒乓球上的数字之和大于5的有4种情况,∴这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为:.故选B.4、D【解析】试题分析:A.当∠ABP=∠C时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;B.当∠APB=∠ABC时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;C.当时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;D.无法得到△ABP∽△ACB,故此选项正确.故选D.考点:相似三角形的判定.5、D【分析】作CD⊥x轴于D,设OB=a(a>0).由S△AOB=S△BOC,根据三角形的面积公式得出AB=BC.根据相似三角形性质即可表示出点C的坐标,把点C坐标代入反比例函数即可求得k.【详解】如图,作CD⊥x轴于D,设OB=a(a>0).∵S△AOB=S△BOC,∴AB=BC.∵△AOB的面积为1,∴OA•OB=1,∴OA=,∵CD∥OB,AB=BC,∴OD=OA=,CD=2OB=2a,∴C(,2a),∵反比例函数y=(x>0)的图象经过点C,∴k=×2a=1.故选D.【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题,待定系数法求函数解析式,会运用相似求线段长度是解题的关键.6、D【分析】根据相似三角形的判定与性质,得出,,从而建立等式关系,得出,然后再逐一分析四个选项,即可得出正确答案.【详解】解:∵EF∥BC,若AE:EB=m,BD:DC=n,∴△AEF∽△ABC,∴,∴,∴,∴∴当m=1,n=1,即当E为AB中点,D为BC中点时,,A.当m>1,n>1时,S△AEF与S△ABD同时增大,则或,即2或2>,故A错误;B.当m>1,n<1,S△AEF增大而S△ABD减小,则,即2,故B错误;C.m<1,n<1,S△AEF与S△ABD同时减小,则或,即2或2<,故C错误;D.m<1,n>1,S△AEF减小而S△ABD增大,则,即2<,故D正确.故选D.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键.7、B【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移规律即可解答.【详解】解:抛物线向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到的抛物线是,故答案为:B.【点睛】本题考查了抛物线的平移,解题的关键是熟知“左加右减、上加下减”的平移规律.8、B【分析】先利用交点式求出抛物线解析式,则可对①进行判断;利用抛物线的对称性可对②进行判断;利用抛物线与x轴的交点坐标为(0,0),(4,0)可对③④进行判断;根据二次函数的性质求出x的值,即可对⑤进行判断.【详解】设抛物线解析式为y=ax(x﹣4),把(﹣1,5)代入得5=a×(﹣1)×(﹣1﹣4),解得:a=1,∴抛物线解析式为y=x2﹣4x,所以①正确;抛物线的对称轴为直线x==2,所以②正确;∵抛物线与x轴的交点坐标为(0,0),(4,0),开口向上,∴当0<x<4时,y<0,所以③错误;抛物线与x轴的两个交点间的距离是4,所以④正确;若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点,由x2﹣4x=2,解得:x1=,由x2﹣4x=3,解得:x2=,若取x1=,x2=,则⑤错误.故选:B.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点:把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.9、B【分析】由题意设剪掉的正方形的边长为xcm,根据长方体的底面积为列出方程即可.【详解】解:设剪掉的正方形的边长为xcm,则(28﹣2x)(40﹣2x)=1.故选:B.【点睛】本题考查一元二次方程的应用,解答本题的关键是仔细审题并建立方程.10、C【分析】根据相似三角形的判定定理得到,再由相似三角形的性质得到答案.【详解】∵,,∴,∴,即,解得,的面积为,∴的面积为:,故选C.【点睛】本题考查相似三角形的判定定理和性质,解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质.11、A【分析】根据一元二次方程的定义进行判断.【详解】A、符合题意;B、是一元一次方程,不符合题意;C、是二元一次方程,不符合题意;D、是分式方程,不符合题意;故选A.【点睛】本题考查一元二次方程的定义,熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键.12、D【分析】首先根据正弦函数的定义求得AC的长,然后利用勾股定理求得BC的长.【详解】解:∴直角△ABC中,故选:D.【点睛】本题考查的是锐角三角形的正弦函数,理解熟记正弦三角函数定义是解决本题的关键.二、填空题(每题4分,共24分)13、【详解】画树状图得:∵共有6种等可能的结果,甲、乙二人相邻的有4种情况,∴甲、乙二人相邻的概率是:.14、【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10-n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.【详解】数据0.000084用科学记数法表示为故答案为:【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10-n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.15、1【解析】如图,设△ABC的内切圆与各边相切于D,E,F,连接OD,OE,OF,则OE⊥BC,OF⊥AB,OD⊥AC,设半径为r,CD=r,∵∠C=90°,AC=4,BC=3,∴AB=5,∴BE=BF=3﹣r,AF=AD=4﹣r,∴4﹣r+3﹣r=5,∴r=1,∴△ABC的内切圆的半径为1,故答案为1.16、1.【详解】解:∵EF∥AB,∴△DEF∽△DAB,∴EF:AB=DE:DA=DE:(DE+EA)=2:5,∴AB=1,∵在▱ABCD中AB=CD.∴CD=1.故答案为:1【点睛】本题考查①相似三角形的判定;②相似三角形的性质;③平行四边形的性质.17、答案不唯一(如)【分析】抛物线的对称轴即为顶点横坐标的值,根据顶点式写出对称轴是直线的抛物线表达式,再化为一般式,再由经过原点即为常数项c为0,即可得到答案.【详解】解:∵对称轴是直线的抛物线可为:又∵抛物线经过原点,即C=0,∴对称轴是直线,且经过原点的抛物线的表达式可以为:,故本题答案为:(答案不唯一).【点睛】本题考查了抛物线的对称轴与抛物线解析式的关系.关键是明确对称轴的值与顶点横坐标相同.18、1或2【分析】设BP=x,则CP=BC-BP=3-x,易证∠B=∠C=90°,根据相似三角形的对应顶点分类讨论:①若△PAB∽△PDC时,列出比例式即可求出BP;②若△PAB∽△DPC时,原理同上.【详解】解:设BP=x,则CP=BC-BP=3-x∵AB∥CD,∠B=90°,∴∠C=180°-∠B=90°①若△PAB∽△PDC时∴即解得:x=1即此时BP=1;②若△PAB∽△DPC时∴即解得:即此时BP=1或2;综上所述:BP=1或2.故答案为:1或2.【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质,掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解决此题的关键.三、解答题(共78分)19、(1)证明见解析;(2)△PMN是等边三角形.理由见解析;(3)△PMN周长的最小值为3,最大值为1.【解析】分析:(1)由∠BAC=∠DAE=120°,可得∠BAD=∠CAE,再由AB=AC,AD=AE,利用SAS即可判定△ABD≌△ADE;(2)△PMN是等边三角形,利用三角形的中位线定理可得PM=CE,PM∥CE,PN=BD,PN∥BD,同(1)的方法可得BD=CE,即可得PM=PN,所以△PMN是等腰三角形;再由PM∥CE,PN∥BD,根据平行线的性质可得∠DPM=∠DCE,∠PNC=∠DBC,因为∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,所以∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,再由∠BAC=120°,可得∠ACB+∠ABC=60°,即可得∠MPN=60°,所以△PMN是等边三角形;(3)由(2)知,△PMN是等边三角形,PM=PN=BD,所以当PM最大时,△PMN周长最大,当点D在AB上时,BD最小,PM最小,求得此时BD的长,即可得△PMN周长的最小值;当点D在BA延长线上时,BD最大,PM的值最大,此时求得△PMN周长的最大值即可.详解:(1)因为∠BAC=∠DAE=120°,所以∠BAD=∠CAE,又AB=AC,AD=AE,所以△ABD≌△ADE;(2)△PMN是等边三角形.理由:∵点P,M分别是CD,DE的中点,∴PM=CE,PM∥CE,∵点N,M分别是BC,DE的中点,∴PN=BD,PN∥BD,同(1)的方法可得BD=CE,∴PM=PN,∴△PMN是等腰三角形,∵PM∥CE,∴∠DPM=∠DCE,∵PN∥BD,∴∠PNC=∠DBC,∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,∵∠BAC=120°,∴∠ACB+∠ABC=60°,∴∠MPN=60°,∴△PMN是等边三角形.(3)由(2)知,△PMN是等边三角形,PM=PN=BD,∴PM最大时,△PMN周长最大,∴点D在AB上时,BD最小,PM最小,∴BD=AB-AD=2,△PMN周长的最小值为3;点D在BA延长线上时,BD最大,PM最大,∴BD=AB+AD=10,△PMN周长的最大值为1.故答案为△PMN周长的最小值为3,最大值为1点睛:本题主要考查了全等三角形的判定及性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定,解决第(3)问,要明确点D在AB上时,BD最小,PM最小,△PMN周长的最小;点D在BA延长线上时,BD最大,PM最大,△PMN周长的最大值为1.20、(1)a=2;(2)或;(3)见解析.【分析】(1)过点作于点,由角平分线定义可得度数,在中,由,可得,由,得点与点重合,从而,由此得解;(2)范围内两种情形:情形1:过点作于点,过点作延长线于点,情形2:过点作于点交AB的延长线于点H,再由三角形的面积公式计算即可;(3)由(2)的结论即可求得结果.【详解】(1)过点作于点,∵平分,∴,在中,,,∵,∴点与点重合,∴,∴;(2)情形1:过点作于点,过点作延长线于点,∵平分,∴.∵在中,,,在中,,,∴;情形2:过点作于点交AB的延长线于点H,则,在中,,于是;(3)证明:由(2)可得=,即=,则a+c=ac【点睛】此题主要考查学生对解直角三角形的理解及运用,掌握三角函数关系式的恒等变换,正弦定理和余弦定理以及三角形面积的解答方法是解决此题的关键.21、(1)(2)P点坐标(﹣5,﹣),Q点坐标(3,﹣)(3)M点的坐标为(﹣,),(﹣3,1)【解析】试题分析:(1)根据自变量与函数值的对应关系,可得A、C点坐标,根据待定系数法,可得函数解析式;(2)根据平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称,可得P、Q关于直线x=﹣1对称,根据PQ的长,可得P点的横坐标,Q点的横坐标,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案;(3)根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,可得CM的长,根据等腰直角三角形的性质,可得MH的长,再根据自变量与函数值的对应关系,可得答案.试题解析:(1)当x=0时,y=4,即C(0,4),当y=0时,x+4=0,解得x=﹣4,即A(﹣4,0),将A、C点坐标代入函数解析式,得,解得,抛物线的表达式为;(2)PQ=2AO=8,又PQ∥AO,即P、Q关于对称轴x=﹣1对称,PQ=8,﹣1﹣4=﹣5,当x=﹣5时,y=×(﹣5)2﹣(﹣5)+4=﹣,即P(﹣5,﹣);﹣1+4=3,即Q(3,﹣);P点坐标(﹣5,﹣),Q点坐标(3,﹣);(3)∠MCO=∠CAB=45°,①当△MCO∽△CAB时,,即,CM=.如图1,过M作MH⊥y轴于H,MH=CH=CM=,当x=﹣时,y=﹣+4=,∴M(﹣,);当△OCM∽△CAB时,,即,解得CM=3,如图2,过M作MH⊥y轴于H,MH=CH=CM=3,当x=﹣3时,y=﹣3+4=1,∴M(﹣3,1),综上所述:M点的坐标为(﹣,),(﹣3,1).考点:二次函数综合题22、(1);(2)购进A产品6吨,购进B产品4吨,利润之和最大,最大为6.6万元【分析】(1)由抛物线过原点可设y与x间的函数关系式为y=ax2+bx+c,再利用待定系数法求解可得;
(2)设购进A产品m吨,购进B产品(10−m)吨,销售A、B两种产品获得的利润之和为W元,根据:A产品利润+B产品利润=总利润可得W=−0.1m2+1.5m+0.3(10−m),配方后根据二次函数的性质即可知最值情况.【详解】解:(1)设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,
由图象,得抛物线过点(0,0),(1,1.4),(3,3.6),
将三点的坐标代入表达式,
得,
解得
所以二次函数的表达式为y=−0.1x2+1.5x;
(2)设购进A产品m吨,购进B产品(10−m)吨,销售A、B两种产品获得的利润之和为W元,
则W=−0.1m2+1.5m+0.3(10−m),
=−0.1m2+1.2m+3,
=−0.1(m−6)2+6.6,
∵−0.1<0,
∴∴当m=6时,W取得最大值,最大值为6.6万元,
答:购进A产品6吨,购进B产品4吨,销售A、B两种产品获得的利润之和最大,最大利润是6.6万元.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用,主要利用了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的最值问题,(2)中整理得到所获利润与购进A产品的吨数的关系式是解题的关键.23、(1)李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段;(2)李明的说法正确,理由见解析.【解析】试题分析:(1)设剪成的较短的这段为xcm,较长的这段就为(40﹣x)cm.就可以表示出这两个正方形的面积,根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可;(2)设剪成的较短的这段为mcm,较长的这段就为(40﹣m)cm.就可以表示出这两个正方形的面积,根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程,如果方程有解就说明李明的说法错误,否则正确.试题解析:设其中一段的长度为cm,两个正方形面积之和为cm2,则,(其中),当时,,解这个方程,得,,∴应将之剪成12cm和28cm的两段;(2)两正方形面积之和为48时,,,∵,∴该方程无实数解,也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2,李明的说法正确.考点:1.一元二次方程的应用;2.几何图形问题.24、【分析】先在Rt△ACB中利用三角函数求出AB
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