高中数学选择性必修一课件：3 2 2 第二课时 双曲线的方程及性质的应用(人教A版)

第二课时双曲线的方程及性质的应用课标要求素养要求1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解有关弦长问题.通过运用双曲线的方程与性质解决问题，提升逻辑推理及数学运算素养.新知探究上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题.问题类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？提示有三种位置关系，分别为相交、相切、相离三种情况.1.直线与双曲线位置关系的判断当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切渐近线两个一个没有拓展深化[微判断]×√1.过点A(1，0)作直线l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，则这样的直线可作2条.(

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提示过A(1，0)作直线l与双曲线只有一个公共点这样的直线可作3条.两条平行于渐近线，一条与双曲线相切.2.直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点.(

)[微训练][微思考]如何判断直线与双曲线的位置关系？提示将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定.[微思考]如何判断直线与双曲线的位置关系？提示将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定.题型一直线与双曲线位置关系的判断此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点.得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线l与双曲线有且只有一个公共点；当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点.故当k＝±或±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点.此时方程(*)无实数解，即直线l与双曲线无公共点.规律方法(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论.规律方法(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论.解(ⅰ)当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切，符合题意.(ⅱ)当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.当4－k2＝0时，k＝±2，l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；题型二弦长公式及中点弦问题解易得双曲线的左焦点为F1(－2，0)，与双曲线方程联立，消y得8x2－4x－13＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，规律方法双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0，∵点B(1，1)是弦的中点，故双曲线上不存在被点B(1，1)所平分的弦.法二设双曲线上存在被点B平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)，又Δ＝－8<0，∴直线MN与双曲线不相交，故双曲线上不存在被点B平分的弦.∴直线MN的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.题型三直线与双曲线位置关系的综合问题规律方法解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线位置关系进行求解.解(1)显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，即y＝kx＋2－k.整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当k＝1时，满足Δ>0，∴直线AB的方程为y＝x＋1.(2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3，一、素养落地1.通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.2.双曲线的综合问题常常涉及离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力. (1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解. (2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.二、素养训练答案A2.“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的(

) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析直线与双曲线有唯一交点时，直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时)；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一交点.答案B3.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(

) A.(1，2) B.(－2，－1) C.(－1，－2) D.(2，1)答案C解析易知所求直线的斜率存在，设为k，则该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，消去y得关于x的一元二次方程(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0(4－4k2≠0)，∴所求直线方程为3x＋4y－5＝0.答案3x＋4y－5＝0解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴|AB|＝|y1－y2|＝4，满足题意.答案3备用工具&资料解析易知所求直线的斜率存在，设为k，则该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，消去y得关于x的一元二次方程(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0(4－4k2≠0)，∴所求直线方程为3x＋4y－5＝0.答案3x＋4y－5＝0拓展深化[微判断]×√1.过点A(1，0)作直线l与双曲线x