高中数学选择性必修一课件：2 5 1 第二课时 直线与圆的位置关系的应用(人教A版)

第二课时直线与圆的位置关系的应用课标要求素养要求1.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.2.会用“数形结合”的数学思想解决问题.通过直线与圆的位置关系的应用，提升直观想象、数学运算及逻辑推理素养.新知探究有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m.当水面下降1m后，水面宽多少米？问题如何才能正确地解决上述问题？提示解决上述问题可以用坐标法解决，将几何问题转化为代数问题解决.用坐标法解决几何问题关键是准确理解题意，建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：拓展深化[微判断]1.圆心到圆的切线的距离等于半径.(

)2.圆的弦的垂直平分线过圆心.(

)3.同一圆的两条弦的垂直平分线的交点为圆心.(

)√√√[微训练]1.若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是(

) A.在圆上 B.在圆外

C.在圆内 D.都有可能答案B2.如图，圆弧形桥拱的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，则拱桥的直径为(

)A.15米 B.13米

C.9米 D.6.5米答案B[微思考]利用坐标法求解几何问题要注意什么？提示(1)利用“坐标法”解决问题首要任务是先建立平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素.(2)建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响.因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单.题型一直线与圆的方程的实际应用【例1】某圆拱桥的水面跨度为20m，拱高为4m.现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？解建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上.依题意，有A(－10，0)，B(10，0)，P(0，4)，D(－5，0)，E(5，0).设这座圆拱桥的拱圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3m，3<3.1，所以该船可以从桥下通过.解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3m，3<3.1，所以该船可以从桥下通过.规律方法应用直线与圆的方程解决实际问题的步骤：(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.【训练1】如图是一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽为________米.题型二坐标法证明几何问题【例2】如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.证明以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设|AB|＝2r，D(a，0)，∴圆O：x2＋y2＝r2，∴EF平分CD.规律方法坐标法建立直角坐标系应坚持的原则：(1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴.(2)充分利用图形的对称性.(3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称.(4)关键点的坐标易于求得.规律方法坐标法建立直角坐标系应坚持的原则：(1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴.(2)充分利用图形的对称性.(3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称.(4)关键点的坐标易于求得.【训练2】如图，直角△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值.证明如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m，0)，C(m，0)，P(－n，0)，Q(n，0).设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上，故|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值).当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，【训练3】例3中的条件不变，求y－x的最大值和最小值.解设y－x＝b，即y＝x＋b.当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，一、素养落地1.通过本节课的学习，进一步提升直观想象、数学运算与逻辑推理素养.2.利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法.事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归.所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识.3.利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形分析、解决问题.二、素养训练1.一辆卡车宽1.6m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过(

) A.1.4m B.3.5m C.3.6m D.2.0m解析如图，圆半径|OA|＝3.6，卡车宽1.6，所以|AB|＝0.8，答案B2.(多填题)据气象台预报：在A城正东方300km的海面B处有一台风中心，正以每小时40km的速度向西北方向移动，在距台风中心250km以内的地区将受其影响.从现在起经过约________h，台风将影响A城，持续时间约为________h(结果精确到0.1h).解析以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立直角坐标系，则台风中心的移动轨迹方程是y＝－x，受台风影响的区域边界的曲线方程是(x－a)2＋(y＋a)2＝2502，A(－300，0).依题意有(－300－a)2＋a2≤2502，答案2.0

6.63.设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直线方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________.4.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－4y＋7＝0，则y－x的最小值是________.备用工具&资料3.设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直线方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________.2.(多填题)据气象台预报：在A城正东方300km的海面B处有一台风中心，正以每小时40km的速度向西北方向移动，在距台风中心250km以内的地区将受其影响.从现在起经过约________h，台风将影响A城，持续时间约为________h(结果精确到0.1h).解析以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立直角坐标系，则台风中心的移动轨迹方程是y＝－x，受台风影响的区域边界的曲线方程是(x－a)2＋(y＋a)2＝2502，A(－300，0).依题意有(－300－a)2＋a2≤2502，2.如图，圆弧形桥拱的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，则拱桥的直径为(

)A.15米 B.13米

C.9米 D.6.5米答案B题型一直线与圆的方程的实际应用【例1】某圆拱桥的水面跨度为20m，拱高为4m.现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？解建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上.依题意，有A(－10，0)，B(10，0)，P(0，4)，D(－5，0)，E(5，0).设这座圆拱桥的拱圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，