2024-2025学年度北师版七上数学-第三章-整式及其加减-回顾与思考【课件】

第三章整式及其加减回顾与思考数学七年级上册BS版要点回顾典例讲练目录CONTENTS1.

相关概念.（1）代数式：用运算符号把数和字母连接而成的式子叫作代数

式.单独一个

或一个

也是代数式.（2）单项式：由数与字母的

⁠所组成的代数式叫作单项

式.一个单项式中，所有字母的指数和叫作这个单项式的次数.（3）多项式：几个单项式的

叫作多项式.一个多项式

中，单项式的个数叫作多项式的

；次数最高的项

的

叫作这个多项式的次数.（4）整式：

和

统称为整式.数

字母

乘积

和

项数

次数

单项式

多项式

2.

求代数式的值的一般步骤.（1）代入：用具体的数值

代数式中对应的字母；（2）计算：按照代数式中给出的

计算出结果.代替

运算关系

3.

整式加减运算.（1）同类项：所含字母

，并且相同字母的指数也

⁠

的项叫作同类项.把同类项合并成一项叫作合并同类项.（2）去括号法则：括号前是“＋”号，把括号和它前面的

“＋”号去掉后，原括号里各项的符号都

；括号前

是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各

项的符号都要

⁠.（3）整式的加减，实际上就是

和

⁠.相同

相

同

不改变

改变

去括号

合并同类项

4.

探索与表达规律.有两种形式：数字变化规律和图形变化规律.变化规律体现了由

特殊到一般的思想.数学七年级上册BS版典例讲练02要点一

代数式

如图，要在一个长为

a

m、宽为

b

m的长方形地面上修建宽

度都为

x

m的两条道路（两条道路分别与长方形的边平行），剩

余部分栽种花草，则栽种花草部分的面积是

m2.【思路导航】整个长方形的面积减去两条道路的占地面积就是

栽种花草部分的面积.要注意对两条路重叠部分面积的处理.（

ab

－

ax

－

bx

＋

x2）

【解析】空白部分的面积＝大长方形的面积－两个阴影长方形

的面积＋两个阴影长方形重叠部分的面积，故栽种花草部分的

面积是（

ab

－

ax

－

bx

＋

x2）m2.故答案为（

ab

－

ax

－

bx

＋x2）.【点拨】（1）用代数式表示图形的面积时，需掌握面积公式，

并能对图形作适当的分割或组合.（2）此题空白部分的面积也

可表示为（

a

－

x

）（

b

－

x

）.

A.4个B.5个C.6个D.7个B2.

已知

a2＋2

a

－5＝0，则代数式2

a2＋4

a

－5的值是

⁠.5

要点二

整

式

已知整式（｜

k

｜－3）

x3＋（

k

－3）

x2－

k

.（1）当

k

为何值时，该整式是单项式？【思路导航】（1）根据单项式的定义得出关于

k

的方程，解答

即可；解：（1）若关于

x

的整式是单项式，则有｜

k

｜－3＝0，且

k

－3＝0，解得

k

＝3.故当

k

的值是3时，该整式是单项式.（2）当

k

为何值时，该整式是二次多项式？【思路导航】（2）若该整式为二次式，则三次项系数为0，据此得出关于

k

的方程，解答即可；解：（2）若关于

x

的整式是二次多项式，则有｜

k

｜－3＝0，且

k

－3≠0，解得

k

＝－3.故当

k

的值是－3时，该整式是二次多项式.（3）当

k

为何值时，该整式是二项式？【思路导航】（3）若该整式为二项式，需讨论是哪两项.解：（3）因为关于

x

的整式是二项式，所以需分情况讨论：①当两项是二次项和常数项时，则有｜

k

｜－3＝0，且

k

－3≠0，

k

≠0，解得

k

＝－3；②当两项是三次项和二次项时，

k

＝0；③当两项是三次项和常数项时，则有｜

k

｜－3≠0，

k

≠0，且

k

－3＝0，无解.综上所述，当

k

的值是－3或0时，该整式是二项式.【点拨】几个单项式的和叫作多项式，每个单项式叫作多项式

的项，其中不含字母的项叫作常数项，单项式的个数叫作多项

式的项数.多项式中次数最高的项的次数叫作多项式的次数.

1.

下列说法中，正确的是（

D

）B.

单项式

a

的系数是0，次数是1C.

多项式－6

x2

y

＋4

x

－1的常数项是1D.

多项式

xy2＋4

x2

y3－

x3＋2的次数是5D

③⑤⑦

①

②

6

要点三

整式的加减

先化简，再求值：（1）－3

y2－6

y

＋2

y2＋5

y

，其中

y

＝2；【思路导航】（1）先合并同类项，再代入值即可求解；解：（1）原式＝－

y2－

y

.当

y

＝2时，原式＝－22－2＝－4－2＝－6.（2）15

a2－[－4

a2－（6

a

－

a2）－3

a

]，其中

a

＝－2；【思路导航】（2）先去小括号，再去中括号，接着合并同类项，最后代入值即可求解；解：（2）原式＝15

a2－（－4

a2－6

a

＋

a2－3

a

）＝15

a2－（－3

a2－9

a

）＝18

a2＋9

a

.当

a

＝－2时，原式＝18×（－2）2＋9×（－2）＝54.（3）3

xy

＋10

y

＋5

x

－（2

xy

＋2

y

－3

x

），其中

xy

＝2，

x

＋

y

＝3.【思路导航】（3）先去括号，再合并同类项，最后把

xy

和

x

＋

y

的值代入即可求解.解：（3）原式＝3

xy

＋10

y

＋5

x

－2

xy

－2

y

＋3

x

＝

xy

＋8

y

＋8

x

＝

xy

＋8（

x

＋

y

）.当

xy

＝2，

x

＋

y

＝3时，原式＝2＋8×3＝26.【点拨】解答整式的加减混合运算和求值的问题，关键是正确

去括号和合并同类项，注意整体思想的灵活运用.

1.

先化简，再求值：－2

y3＋（3

xy2－

x2

y

）－2（

xy2－

y3），

其中｜2

x

－2｜＋（

y

＋1）2＝0.解：原式＝

xy2－

x2

y

.因为｜2

x

－2｜＋（

y

＋1）2＝0，所以2

x

－2＝0，

y

＋1＝0.解得

x

＝1，

y

＝－1.故原式＝1×（－1）2－12×（－1）＝2.

解：原式＝2

x3－3

x2

y

－2

xy2－

x3＋2

xy2－

y3－

x3＋3

x2

y

－

y3＝

－2

y3.所以此题的结果与

x

的取值无关.当

y

＝－1时，原式＝－2×（－1）3＝2.要点四

整式在实际生活中的应用

某公司在A，B两地分别有同型号的机器17台和15台，现要

从A，B两地将该机器运往甲地18台，乙地14台.已知运费如下

表：来源地运费（元/台）甲地乙地A地600500B地400800若从A地运往甲地

x

台，则总运费需要多少元？（用含

x

的代数

式表示）【思路导航】总费用＝从A地运往甲地的费用＋从A地运往乙地

的费用＋从B地运往甲地的费用＋从B地运往乙地的费用，把相

关数值代入即可求解.解：因为从A地运往甲地

x

台，A地有机器17台，所以从A地运往乙地（17－

x

）台.因为甲地需要18台，所以从B地运往甲地（18－

x

）台.因为乙地需要14台，所以从B地运往乙地14－（17－

x

）＝（

x

－3）台.故总运费为600

x

＋500×（17－

x

）＋400×（18－

x

）＋800×

（

x

－3）＝（500

x

＋13300）元（3≤

x

≤17，且

x

为整数）.【点拨】解决列代数式及相关计算问题，找到等量关系是解决

问题的关键.

某中学七（1）班5名老师决定带领本班

x

名学生去一景区旅游.

该景区每张门票的票价为40元，现有A，B两种购票方案可供选

择.方案A：教师全价，学生半价；方案B：不分教师与学生，

全部六折优惠.（1）请用含

x

的代数式分别表示选择A，B两种方案所需的

费用；解：（1）方案A：40×5＋40×50％

x

＝（20

x

＋200）元；方案B：40×60％（5＋

x

）＝（24

x

＋120）元.（2）当学生人数

x

＝50时，且只选择其中一种方案购票，请通

过计算说明选择哪种方案更为优惠.解：（2）当

x

＝50时，方案A：20

x

＋200＝20×50＋200＝1200（元），方案B：24

x

＋120＝24×50＋120＝1320（元）.因为1200＜1320，所以选择方案A更为优惠.要点五

探索与表达规律

（1）一个三位数能否被3整除，只要看这个数的各数位上

的数字之和能否被3整除.你能说明其中的道理吗？解：（1）设这个三位数为100

a

＋10

b

＋

c

，则100

a

＋10

b

＋

c

＝99

a

＋9

b

＋（

a

＋

b

＋

c

）＝9（11

a

＋

b

）＋（

a

＋

b

＋

c

），所以只要（

a

＋

b

＋

c

）能被3整除，9（11

a

＋

b

）＋（

a

＋

b

＋

c

）就能被3整除，即一个三位数能否被3整除，只要看这个数的各数位上的数字之

和能否被3整除.（2）可以用（1）中的规律判断一个四位数能否被3整除吗？请

说明理由.【思路导航】先设每个数位上的数字，表示出三位数或四位

数，再变形看是否是3的倍数.解：（2）可以用（1）中的规律判断一个四位数能否被3整除.

理由如下：设这个四位数是1000

a

＋100

b

＋10

c

＋

d

，则1000

a

＋100

b

＋10

c

＋

d

＝999

a

＋99

b

＋9

c

＋（

a

＋

b

＋

c

＋

d

）＝9（111

a

＋11

b

＋

c

）＋（

a

＋

b

＋

c

＋

d

），所以只要（

a

＋

b

＋

c

＋

d

）能被3整除，9（111

a

＋11

b

＋

c

）＋

（

a

＋

b

＋

c

＋

d

）就能被3整除.所以可以用（1）中的规律判断一个四位数能否被3整除.【点拨】寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般

和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果

入手寻找规律，再用字母表示，