高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题4.3应用导数研究函数的极值、最值(真题测试)(原卷版+解析)

专题4.3应用导数研究函数的极值、最值（真题测试）一、单选题1．（2008·安徽·高考真题（文））设函数则（）A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数2．(2023·四川·高考真题（文））已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=（）A．–4 B．–2 C．4 D．23．(2023·陕西·高考真题（文））设函数f（x）=+lnx，则（）A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点C．x=2为f(x)的极大值点 D．x=2为f(x)的极小值点4．(2023·全国·高考真题（文））已知函数f(x)=,下列结论中错误的是（）A．,f()=0B．函数y=f(x)的图像是中心对称图形C．若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,）单调递减D．若是f（x）的极值点，则()=05．(2023·辽宁·高考真题（理））设函数满足则时，（）A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值6．(2023·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（

）A． B． C． D．7.（2023·广西南宁·高三模拟预测（理））某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为l，左右两端均为半球形，其半径为r，若其表面积为S，则胶囊的体积V取最大值时()A． B． C． D．8．(2023·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（湖北省十堰市2023-2024学年高二下学期期末）已知函数，若，为的两个不同的极值点，则实数a的取值可能是（

）．A． B． C．3 D．410．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（

）A．， B．是的极大值点C．是的极小值点 D．是的极小值点11．(2023·山东·模拟预测）已知，且，则下列结论中正确的是（

）A．有最大值 B．有最小值3 C．有最小值 D．有最大值412．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，下列命题正确的是（

）A．若是函数的极值点，则B．若是函数的极值点，则在上的最小值为C．若在上单调递减，则D．若在上恒成立，则三、填空题13．(2023·湖北·荆州中学模拟预测）设是函数的一个极值点，则与的关系为________．14．(2023·江苏·高考真题）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．15．(2023·全国·高考真题（理））已知函数，则的最小值是_____________．16．(2023·江西萍乡·三模（文））若存在实数，使得函数与的图象有相同的切线，且相同切线的斜率为，则实数的最大值为_________．四、解答题17．(2023·北京·清华附中高一阶段练习）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求证:函数存在最小值.18．(2023·江西·高考真题（文））已知函数在上单调递减，且满足，(Ⅰ)求的取值范围；（Ⅱ）设，求在上的最大值和最小值19.(2023·北京·高考真题（文））已知函数，（），（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a,b的值（2）当时，若函数在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围20．(2023·湖南·高考真题（文））设函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．21．(2023·山东·高考真题（理））已知函数，，其中是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.22．（2023·北京·高考真题）已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．专题4.3应用导数研究函数的极值、最值（真题测试）一、单选题1．（2008·安徽·高考真题（文））设函数则（）A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数答案：A【解析】【详解】，则．当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减．所以在处取到极大值，故选A2．(2023·四川·高考真题（文））已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=（）A．–4 B．–2 C．4 D．2答案：D【解析】【详解】试题分析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即，故选D.3．(2023·陕西·高考真题（文））设函数f（x）=+lnx，则（）A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点C．x=2为f(x)的极大值点 D．x=2为f(x)的极小值点答案：D【解析】【详解】，由得，又函数定义域为，当时，，递减，当时，，递增，因此是函数的极小值点．故选D．4．(2023·全国·高考真题（文））已知函数f(x)=,下列结论中错误的是（）A．,f()=0B．函数y=f(x)的图像是中心对称图形C．若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,）单调递减D．若是f（x）的极值点，则()=0答案：C【解析】【详解】试题分析：由于三次函数的三次项系数为正值，当x→－∞时，函数值→－∞，当x→＋∞时，函数值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定∃x0∈R，f(x0)＝0，选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)3＋n(x＋m)＋h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y＝x3＋nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1，x2，则极小值点x2＞x1，即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确.5．(2023·辽宁·高考真题（理））设函数满足则时，（）A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值答案：D【解析】【详解】函数满足，，令，则，由，得，令，则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为.又在单调递增，既无极大值也无极小值，故选D.6．(2023·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.【详解】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，，，所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D7.（2023·广西南宁·高三模拟预测（理））某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为l，左右两端均为半球形，其半径为r，若其表面积为S，则胶囊的体积V取最大值时()A． B． C． D．答案：A分析：由圆柱和球的表面积公式将l用r和S表示出来，再代入圆柱体积和球体积公式，表示出胶囊的体积V，利用求导求出V的最大值及此时r的值.【详解】依题意，，故，当时，，取最大值．故选：A8．(2023·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为，所以球的半径,设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.二、多选题9．（湖北省十堰市2023-2024学年高二下学期期末）已知函数，若，为的两个不同的极值点，则实数a的取值可能是（

）．A． B． C．3 D．4答案：AD【解析】分析：求导，根据导函数的零点数确定参数a.【详解】，因为有两个不同的极值点，所以，解得或；故选：AD.10．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（

）A．， B．是的极大值点C．是的极小值点 D．是的极小值点答案：BD【解析】分析：根据极值的定义、极值的性质和图象变换逐项判断后可得正确的选项.【详解】对A.是的极大值点，并不是最小值点，故A不正确；对B.相当于关于轴的对称图象，故应是的极大值点，故B正确；对C.相当于关于轴的对称图象，故应是的极小值点，跟没有关系，故C不正确；对D.相当于先关于轴的对称，再关于轴的对称图象.故D正确.故选：BD.11．(2023·山东·模拟预测）已知，且，则下列结论中正确的是（

）A．有最大值 B．有最小值3 C．有最小值 D．有最大值4答案：BD【解析】分析：对于A,直接由基本不等式求得，即可判断A；对于B，将代入中，结合二次函数性质即可判断；对于C,将变形为，展开后，利用基本不等式即可判断；对于D,构造函数，利用导数求得最大值，即可判断.【详解】对于A选项，因为，且，所以由可得，当且仅当时等号成立，.故A错误；对于B选项，由，当且仅当时等号成立，故B正确；对于C选项，因为所以，当且仅当即时等号成立，故C错误对于D选项，因为，令，解得或（舍），令，解得，令，解得，故，此时，故D正确故选：BD12．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，下列命题正确的是（

）A．若是函数的极值点，则B．若是函数的极值点，则在上的最小值为C．若在上单调递减，则D．若在上恒成立，则答案：ABC【解析】分析：对于A，由可求出的值，对于B，由选项A，可求得，然后利用导数可求出在上的最小值，对于C，由题意可得，可求出的范围，对于D，将问题转化为在上恒成立，构造函数，再利用导数求出其最大值即可【详解】对于A，由，得，因为是函数的极值点，所以，得，经检验是函数的极小值点，所以A正确，对于B，由选项A，可知，则，由，得或，由，得，所以在和递增，在上递减，所以当时，时，取得最小值，所以B正确，对于C，因为在上单调递减，所以，即，得在上恒成立，令，则，所以在单调递增，所以，即，所以，所以C正确，对于D，由在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以上单调递增，所以，所以，所以D错误，故选：ABC三、填空题13．(2023·湖北·荆州中学模拟预测）设是函数的一个极值点，则与的关系为________．答案：【解析】分析：利用求解即可.【详解】解：因为，所以，又因为是极值点，所以，即：2a+b=-3.又因为，所以，故答案为：14．(2023·江苏·高考真题）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．答案：.【解析】【详解】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，15．(2023·全国·高考真题（理））已知函数，则的最小值是_____________．答案：【解析】【详解】分析：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以fxmin=2×(−32)−32=−3316．(2023·江西萍乡·三模（文））若存在实数，使得函数与的图象有相同的切线，且相同切线的斜率为，则实数的最大值为_________．答案：.【解析】分析：分别设出两个函数与的切点为与，再分别求出导函数，由公切线的斜率求出的切点坐标进而求出切线方程，再由公切线斜率求出的切点横坐标与的关系，函数的切点即为，代入公切线中化简得，求的最大值，即可求出答案.【详解】设函数的切点为，函数的切点为分别对函数进行求导，，由相同切线的斜率为，得故切线方程为故函数的切点为.把切点代入中得令，当时，，函数单调递增当时，，函数单调递减故故实数的最大值为故答案为：.四、解答题17．(2023·北京·清华附中高一阶段练习）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求证:函数存在最小值.答案：(1)(2)证明见解析【解析】分析：（1）求出函数的导函数，即可得到切线的斜率，从而得到切线方程；（2）首先求出导函数，当时令，利用导数说明的单调性，结合零点存在性定理即可得到的单调性，即可求出函数的最小值，当时可得，即可求出的最小值，从而得证；(1)解：当时，，则，所以，又，所以切线方程为；(2)证明：因为，，所以，①当时，令，则，所以在上单调递减，且，，所以存在，使得，即当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，②当时，因为，所以恒成立，且当时等号成立，所以，综上可得函数存在最小值；18．(2023·江西·高考真题（文））已知函数在上单调递减，且满足，(Ⅰ)求的取值范围；（Ⅱ）设，求在上的最大值和最小值答案：：（Ⅰ）（Ⅱ）（i）当时，在上取得最小值，在上取得最大值当时，在取得最大值，在取得最小值当时，在取得最小值在取得最大值当时，在取得最小值当时，在取得最小值【解析】【详解】：（Ⅰ）由，得则，依题意须对于任意，有当时，因为二次函数的图像开口向上，而，所以须，即当时，对任意有，符合条件；当时，对于任意，，符合条件；当时，因，不符合条件，故的取值范围为（Ⅱ）因（i）当时，，在上取得最小值，在上取得最大值（ii）当时，对于任意有，在取得最大值，在取得最小值（iii）当时，由得①若，即时，在上单调递增，在取得最小值在取得最大值②若，即时，在取得最大值，在或取得最小值，而，则当时，在取得最小值当时，在取得最小值19.(2023·北京·高考真题（文））已知函数，（），（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a,b的值（2）当时，若函数在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围答案：【解析】【详解】试题分析：（1）求a,b的值,根据曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，列方程组,即可求出的值；（2）求k的取值范围．,先求出的解析式,由已知时，设,求导函数，确定函数的极值点，进而可得时，函数在区间上的最大值为；时，函数在在区间上的最大值小于，由此可得结论．试题解析：（1）,因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以,所以;（2）当时，，，，令，则，令，得，所以在与上单调递增，在上单调递减，其中为极大值，所以如果在区间最大值为，即区间包含极大值点，所以．20．(2023·湖南·高考真题（文））设函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．答案：（1）答案见解析：（2）不存在【解析】【详解】（1）定义域为，，令，①当时，，，故在上单调递增，②当时，，的两根都小于零，在上，，故在上单调递增，③当时，，的两根为，当时，；当时，；当时，；故分别在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知，，因为.所以,又由（1）知，，于是，若存在，使得，则，即，亦即（）再由（1）知，函数在上单调递增，而，所以，这与（）式矛盾，故不存在，使得.21．(2023·山东·高考真题（理））已知函数，，其中是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）求导数得斜率，由点斜式写出直线方程.（Ⅱ）写出函数，求导数得到，由于的正负与的取值有关，故可令，通过应用导数研究在上的单调性，明确其正负.然后分和两种情况讨论极值情况即可.试题解析：（Ⅰ）由题意又，所以，因此

曲线在点处的切线方程为，即

.（Ⅱ）由题意得

，因为，令则所以在上单调递增.因为所以当时，当时，(1)当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时取得极小值，极小值是；(2)当时，由得，①当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以当时取得极大值.极大值为，当时取到极小值，极小值是；②当时，，所以当时，，函数在上单调递增，无极值；③当时，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当时取得极大值，极大值是；当时取得极小值.极小值是.综