2023-2024学年云南省文山市高二年级下学期期末考试数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年云南省文山市高二年级下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7,8}，A={2,5,6}，则∁UA=(

)A.{1,3,4,7} B.{1,3,7,8} C.{1,3,4,7,8} D.{1,3,4,5,7,8}2.已知直线l:x+3y+m=0与圆C:(x−1)2+A.[−5,3] B.(−5,3) C.[−9,7] D.(−9,7)3.为全面普及无人机知识，激发青少年探索航空未来创造力与想象力，提升青少年科学素养和创新能力，培养航空后备人才.中国航空学会、云南省科学技术协会、云南警官学院于2024年4月中旬在红河州弥勒市共同举办第8届全国青少年无人机大赛(云南省赛).某校为下一届大赛做准备，在校内进行选拔赛，9名学生成绩依次为：85，105，75，100，95，85，90，100，80.则这组数据的第60百分位数为(

)A.85 B.90 C.92.5 D.954.已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x+3)−f(x)=0成立，当x∈[−1,2)时，f(x)=sin(π3x),x∈[−1,1)A.−32 B.32 5.若函数f(x)=3sinxcosx+A.[2kπ−π3,2kπ+π6]，k∈Z B.[2kπ+π6,2kπ+2π3]6.东平房塔(下图)建于辽代，塔平面呈正六边形，是辽西古塔中仅有的两座辽代六边形古塔之一.请根据塔平面抽象出正六边形ABCDEF，若AB=2，则AC⋅AD=(

)

A.6 B.43 C.8 7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(4,0)，过F的直线与椭圆C交于A，BA.223 B.63 8.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是(

)A.小于10g B.等于10g C.大于10g D.大于或等于10g二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.以下说法正确的是(

)A.若X~B(n,13),D(3X+1)=18,则n=6

B.随机变量ξ,η,若η=5ξ+3,则E(η)=5E(ξ)+3

C.若A⊆B,P(A)=0.2,P(B)=0.8,则P(A|B)=14

D.ξ~N(2,σ2),且P(ξ<6)=0.732,则P10.记正项数列{an}的前n项和为Sn，已知2A.a2=2 B.an=2n−1

C.Sn=11.如图1，在菱形ABCD中，∠DAB=60∘，AB=2.沿对角线BD将其翻折，如图2.则(

)

A.在折叠过程中直线AC与BD所成角不变

B.当点C在平面ABD的投影为△ABD的重心时，AC=2

C.三棱锥D−ABC的表面积最大值为43

D.当三棱锥D−ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设z为虚数，|z|=1，则z可以为

.(写出满足条件的一个解即可)13.已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数，偶函数，且f(x)+g(x)=ex，则[f(x)]214.已知直线l:x−2y+2=0与抛物线C:x2=4y交于A，B两点，如图，点P为抛物线C上的动点，且位于直线AB的下方，则△ABP面积的最大值为

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+c(1)求B;(2)若b=2，△ABC的面积为3，求△ABC的周长．16.(本小题15分)

如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，DD1⊥平面ABCD，(1)求证：D1P/​/(2)求平面ABB1A117.(本小题15分)已知函数f(x)=x+(1−a)lnx+(1)当a=0时，求出方程f(x)=2x−1解的个数;(2)讨论函数f(x)的单调性．18.(本小题17分)为提高学生的身体素质，除了进行体育锻炼之外，学校每天中午免费为学生提供水果和牛奶两种营养餐(每人每次只能选择其中一种)，经过统计分析发现：学生第一天选择水果的概率为13，选择牛奶的概率为23.而前一天选择水果第二天选择水果的概率为34，选择牛奶的概率为14;前一天选择牛奶第二天选择水果的概率为12，选择牛奶的概率也是1(1)记某班的2名同学在发放营养餐开始第二天选择水果的人数为X，求X的分布列和期望;(2)证明数列{pn−2(3)为了培养学生的服务意识，30天后学校组织学生参加志愿服务活动，其中有15位学生负责为全体同学分发营养餐，应该如何安排分发水果和牛奶的人数．19.(本小题17分)已知点(−5,12)，(1)求双曲线C的标准方程;(2)当m=1且k≠0时，直线l与双曲线C分别交于A，B两点，A关于y轴的对称点为D.证明：直线BD过定点．(3)当k≠±ba时，直线l与双曲线C有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴，y轴于S(x,0)，T(0,y)两点.当点M运动时，求点P(x,y)的轨迹方程．答案解析1.C

【解析】解：由题意，得∁UA=1,3,4,7,8．

2.A

【解析】解：圆C:(x−1)2+y2=4的圆心坐标为C(1,0)，半径为r=2，

∵直线l:x+3y+m=0与圆C有公共点，

∴|1+m|1+3≤2，解得3.D

【解析】解：将数据由小到大排列为：

75，80，85，85，90，95，100，100，105，

因为9×60％=5.4，

所以这组数据的第60百分位数为95．

故选D．4.A

【解析】解：

∵函数f(x)对任意的x∈R都有f(x+3)−f(x)=0，

∴

f(x)=f(x+3)，

∴函数

fx的周期为

T=3，

∵当x∈[−1,2)时，f(x)=sin(π3x),x∈[−1,1)log2(x+2),x∈[1,2)5.C

【解析】解：f(x)=3sinxcosx+cos2x

=32sin2x+12cos2x+12

=sin(2x+π66.D

【解析】解：如图：

∵在正六边形ABCDEF中，AB=2，

∴|AC|=23，|AD|=4，AC与AD的夹角为30∘，

7.B

【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则x12a2+y12b2=1①x22a2+y22b2=1②,

①−②得：(x18.C

【解析】解：设天平的左臂长为a，右臂长为b，放在左盘中的黄金为x g，放在右盘中的黄金为y g．

则由天平的平衡条件可得5a=byxa=5b,

即x=5ba，y=5ab．

所以x+y≥2xy=10．

当且仅当x=y，即a=b时，取等号，

而题中天平的两臂不等长，即a≠b，则上述不等式等号无法取得，

因此，x+y>109.BCD

【解析】解：对于A，因为X~B(n,13),D(3X+1)=18,

所以D(x)=n·13·(1−13)=29n,

所以D(3X+1)=9D(X)=2n=18,

解得n=9,故A不正确;对于B，E(η)=E(5ξ+3)=5E(ξ)+3,故B正确;

对于C，因为A⊆B，所以P(AB)=P(A)=0.2，

所以P(A|B)=P(AB)P(B)=0.20.8=14,故C正确;

对于D，因为ξ∽N(2,σ​2)，所以μ=210.AD

【解析】解：已知正项数列{an}的前n项和为Sn，2Sn=an2+an，

当n=1时，2S1=a12+a1，解得a1=1，

当n≥2时，2Sn−1=an−12+an−1，

两式相减，得2an=an2+an−an−12−an−1，

化简可得(an−an−1−1)(a11.ABD

【解析】解：对于A，如图，取BD的中点E.在菱形ABCD中，AB=AD，所以AE⊥BD，

同理可得CE⊥BD，又因为CE∩AE=E，CE，AE⊂平面ACE，所以BD⊥平面ACE，

因为AC⊂平面ACE，所以BD⊥AC，

所以在折叠过程中直线AC与BD所成角不变，故A正确；

对于B，对于B，由点C在平面ABD的投影为△ABD的重心，且△ABD为正三角形，

易知三棱锥D−ABC为正四面体，所以AC=2，故B正确；

对于C，对于C，S△ABD=S△BCD=12×2×2×sinπ3=3，

在折叠过程中，△ABC≌△ADC，

当AB⊥BC时，△ABC面积取得最大值，此时S△ABC=S△ADC=12×2×2=2，

所以三棱锥D−ABC的表面积最大值为4+23，故C错误；

对于D，对于D，如图，当平面ABD⊥平面BCD时，三棱锥D−ABC的体积最大．

设O为三棱锥D−ABC外接球的球心，

O1，O212.i(答案不唯一)

【解析】解：设z=a+bi，a,b∈R，

则|z|=a2+b2，

令a=0,b=1，可得|z|=1，

此时z=i．13.−1

【解析】解：因为函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数，偶函数，且f(x)+g(x)=ex，

所以f(−x)+g(−x)=e−x，即−f(x)+g(x)=e−x，

所以14.5【解析】解：直线l：x−2y+2=0与抛物线C：x2=4y联立，可得x2−2x−4=0，

解得x=1±5，

∴|AB|=1+141+5−1+5=5，

平行于直线l：x−2y+2=0的直线设为x−2y+c=0，与

抛物线C：x2=4y联立，可得x215.解：(1)因为bcos所以sin B所以sin (B+C)=2因为B+C=π−A，

所以sin(B+C)=sin(π−A)=sinA因为sin A≠0，所以cos因为0<B<π，所以B=π(2)因为B=π3，△ABC的面积为​3，

所以，

解得由余弦定理b2得4=a所以a+c=4，所以a+b+c=6，所以△ABC的周长为6．

【解析】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．(1)根据bcos C+ccos B=2acos B，利用正弦定理，结合两角和的正弦公式得到sin (B+C)=2sin Acos B，又B+C=π−A，则由sin A=2sin A16.解：

(1)如图，连接C1B，

∵

AB=2A1B1，AB//A1B1，C1D1//A1B1，C1D1=A1B1，

∴C1D1//AB，

2C1D1=AB，

又P为AB的中点，

∴

C1D1//PB，

C1D1=PB，四边形C1D1PB为平行四边形，

∴D1P//C1B，

又C1B⊂平面BCC1B1，D1P⊄平面BCC1B1，

∴D1P//平面BCC1B1;

(2)如图，因为DD1⊥平面ABCD，底面【解析】本题考查了线面平行的判定，平面与平面所成角的向量求法，属于中档题；

(1)连接C1B，证明D1P//C117.解：(1)当a=0时，f(x)=x+lnx，

所以方程f(x)=2x−1为x+lnx=2x−1，即lnx−x+1=0．

令g(x)=lnx−x+1，定义域为(0,+∞)，g′(x)=1x−1=1−xx，

令g′(x)>0，则0<x<1，令g′(x)<0，则x>1．

所以g(x)在(0,1)上单调递增，(1,+∞)上单调递减，

所以g(x)max=g(1)=0，

所以方程f(x)=2x−1解的个数为1．

(2)f(x)的定义域为(0,+∞)，

f′(x)=1+1−ax−ax2=x2+(1−a)x−ax2=(x−a)(x+1)x2，

令f′(x)=0，解得x=a或−1．

 ①当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增;

 ②当a>0时，x∈(0,a)时，f′(x)<0，【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，涉及到了分类讨论的思想方法，属于中档题．

(1)当a=0时，f(x)=x+lnx，所以方程f(x)=2x−1为x+lnx=2x−1，即lnx−x+1=0.构造函数，利用导数求最值得出结论．

(2)18.解：(1)由已知，某同学第二天选择水果的概率p=13×34+23×12=712，

所以X012P257049EX=0×25144+1×70144+2×49144=76．

(2)由已知，pn+1=pn×34+1−pn×12=14pn+12，

因为pn+1−23=14(【解析】本题考查二项分布及数学期望，等比数列判定及通项公式，概率的实际应用，属于中档题．

(1)由已知，可求得某同学第二天选择水果的概率p=712，然后根据X∽B(2,712)，可得出X的分布列和期望;

(2)根据题意找出数列{pn}的递推关系式，然后验证即可证明，进一步可得{pn}的通项公式；19.解：(1)将点(−5,12)，(3,52)代入双曲线C:x2a2−y2b2=1，

得5a2−14b2=19a2−54b2=1，解得：a2=4，