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文档简介
第=page11页,共=sectionpages11页2023-2024学年广东省茂名市高二下学期教学质量监测数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=xx+1x−4<0,B={x|x>0}A.(0,1) B.(0,4) C.(−1,0) D.(−4,0)2.复数z=i1−i,则复数z在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.函数f(x)=xln|x|的图象大致为A. B. C. D.4.已知直线2x+y−2=0与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,则|AB|=A.5 B.5 C.355.已知一个等差数列的项数为奇数,其中所有奇数项的和为264,所有偶数项的和为253,则此数列的项数是A.43 B.45 C.47 D.496.已知函数f(x)=1−x21+xA.(−∞,0) B.23,+∞
C.0,27.函数f(x)=2sin(ωx+φ),ω>0,0<φ<π2满足f(0)=1,且y=f(x)在区间−π3,0上有且仅有3A.(5,7) B.112,8 C.1328.如图,棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,BP=λBBA.λ=μ时,C1B1//平面D1PQ
B.λ=12时,四面体APQD1的体积为定值
C.μ=12时,∃λ∈(0,1)二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.已知向量a,b不共线且a⋅b=0A.a=0或b=0 B.a⊥b
C.a+b10.掷一枚质地均匀的骰子两次,记向上的点数分别为m,n,记事件A=“m+n>9”,B=“mn为偶数”,C=“m+n为奇数”,则A.p(A)=16 B.p(AB)=15 C.p(A11.已知函数f(x)=a3x3−ax2−3ax+b,其中实数A.当a=1时,f(x)没有极值点
B.当f(x)有且仅有3个零点时,ba∈−53,9
C.当b=113a时,f(x+1)为奇函数
D.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知圆锥的底面直径为22,母线长为2,则此圆锥的体积是_________.13.已知数列{an−1}是首项为23,公比为13的等比数列,且a14.已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与y轴交于点B,与E交于点四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图,正三棱柱ABC−A1B1C(1)证明:A1B//平面(2)若AB=2,三棱锥C−ADC1的体积为3316.(本小题15分)已知函数f(x)=(x+a)ln x+1,(1)若f(x)在点(1,1)处的切线的斜率为1,求f(x)的极值;(2)若a=1,证明:当0<x<1时,f(x)<x.17.(本小题15分)锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3(1)求角C的大小;(2)若7a=3c,求118.(本小题17分)已知椭圆E:x2a2+y(1)求E的方程;(2)设M(−1,0),直线x=n(n∈R且n≠−1)与E交于不同的两点B,C,若直线BM与E交于另一点D,则直线CD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.19.(本小题17分)某同学参加趣味答题比赛,规则如下:第1次答题时,若答对则得2分,否则得1分;从第2次答题开始,若答对则获得上一次答题得分的2倍,否则得1分,该同学每次答对的概率都为13,答错的概率都为23,且每次答对与否相互独立.记第n次答题得分为(1)求p(X(2)求Xn(3)在游戏开始前,该同学有两个选择,①从第2次开始,若第n次得分刚好为n时,则该同学获得胜利,游戏结束.②从第1次开始,若第n次得分刚好为2n时,则该同学获得胜利,游戏结束.已知共有4次答题环节,求该同学选择哪个方案获得胜利的概率更大.
答案解析1.B
【解析】解:∵A={x|−1<x<4},B={x|x>0},
∴A∩B={x|0<x<4}.
故选B.2.B
【解析】解:∵z=i1−i=i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+3.A
【解析】解:∵f(−x)=−xln|−x|=−xlnx=−f(x)
∴函数f(x)=xln|x|是奇函数,∴其图象关于原点对称,故可排除C,D,又当0<x<1时,f(x)<0,当x>1时,f(x)>0,排除B,故选项A正确.故选A.4.B
【解析】解:将2x+y−2=0与抛物线C:y2=4x联立方程整理可得:x2−3x+1=0,
又直线2x+y−2=0过焦点F1,0,所以5.C
【解析】设等差数列的项数为2n−1,所有的奇数项和为S,所有的偶数项和为T,
则S=n(a1+a2n−1)2=nan,
T=(n−1)(a26.D
【解析】解:由f(x)=1−x21+x2可得x∈R且f(x)为偶函数,
f(x)=1−x21+x2=−(1+x2)+21+x2=−1+21+x27.C
【解析】解:f(0)=2sinφ=1,0<φ<π2,∴φ=π6,
∴f(x)=2sin(ωx+π6),
f(x)=2sin(ωx+π6)的图象如下:
y=f(x)8.C
【解析】解:对于A选项,λ=μ时,∵BP=λBB1,BQ=μBC1,∴PQ//C1B1,
又PQ⊂平面D1PQ,C1B1⊄平面D1PQ,故C1B1//平面D1PQ,故A正确;
对于B选项,λ=12时,△AD1P的面积为定值;
而点Q是BC1边上的点,且BC1//平面APD1,
∴点Q到平面AD1P的距离即为直线BC1到平面AD1P的距离为定值,
∴四面体APQD1的体积为定值,故B正确;
对于C选项,μ=12时,以D为坐标原点,DA,DC,DD1分别为x,y,z轴为正向,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,0,0),D1(0,0,2),P(2,2,2λ),A1(2,0,2),
Q(1,2,1),则AD1=(−2,0,2),AP=(0,2,2λ),A1Q=(−1,2,−1),
记平面D9.BC
【解析】解:∵a⋅b=0,∴a⊥b,A选项错误,B选项正确;
对于C选项,因为向量a,b不共线,由向量加法和减法的几何意义,|a+b|,|a−b|是矩形的两条对角线长,是相等的,选项C正确;
10.AC
【解析】解:掷一枚质地均匀的骰子两次的可能结果共有36种.
事件A=“m+n>9”的可能结果有6种,即A={(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)},
∴p(A)=636=16,选项A正确;
事件B=“mn为偶数”的可能结果有C31⋅C61+C31⋅C31=27种,
事件AB=“mn为偶数且m+n>9”的可能结果有5种,
∴p(A|B)=p(AB)p(B)=527,选项B错误;
事件C=“m+n为奇数”的可能结果有C21⋅C3111.BCD
【解析】解:当a=1时,f(x)=13x3−x2−3x+b,
则f′(x)=x2−2x−3=(x−3)(x+1),
当−1<x<3时,f′(x)<0,当x<−1或x>3时,f′(x)>0,
所以x=−1,x=3分别是函数f(x)的极大值点和极小值点,选项A错误;
当f(x)=a3x3−ax2−3ax+b时,f′(x)=a(x+1)(x−3),
当−1<x<3,f′(x)<0,当x<−1或x>3时,f′(x)>0,
即f(x)在(−1,3)上单调递减,在(−∞,−1)和(3,+∞)上单调递增.
当f(x)有且仅有3个零点时,f(−1)>0且f(3)<0
得53a+b>0−9a+b<0得ba∈(−53,9),选项B正确;
当b=113a时,f(x+1)=a3x3−4ax,所以f(x+1)为奇函数,选项C正确;
∵f(0)=b<a3+b<m,∴A(0,m)不在曲线f(x)上.
设过点A(0,m)的曲线f(x)切线的切点为(x0,a3x03−ax02−3ax0+b),f(0)=b,
∴过点A(0,m)的曲线f(x)切线的方程为y−(a3x03−ax12.2【解析】解:记圆锥的底面半径为r,母线为l,高为d,
则d=l2−r2=13.99
【解析】解:由已知,可得an−1=23×(13)n−1=2⋅(13)n,
所以an=2×(13)n+1,
设数列{an}的前n项和为Sn,
14.y=±2【解析】解:依题意,设|AF2|=2m,则|BF2|= 3m=|BF1|,|AF1|= 2a+ 2m,
在Rt△ABF1中,9m2+(2a+2m)2=25m2,
则(a+3m)(a−m)=0,故a=m或a=−3m(舍去),
所以|AF1|=4a,|AF2|=2a,|BF2|=|BF1|=3a,则15.解:(1)连接A1C,与AC1交于点E,连接DE,
∵D、E分别为BC、A1C边的中点,∴DE//A1B,
又DE⊂平面ADC1,A1B⊄平面ADC1,
∴A1B//平面ADC1.
(2)V三棱锥C−ADC1=V三棱锥C1−ADC
=13CC1⋅S△ADC=CC13⋅32=33,∴CC1=2,
正三棱柱ABC−A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AD,
又△ABC是正三角形,D是BC边的中点,∴BC⊥AD,
又BC∩BB1=B,且BC,BB1⊂平面BB1C1C,∴AD⊥平面BB1C1C,
取B1C1的中点D1,则【解析】本题考查了线面平行的判定和平面与平面所成角的向量求法,是中档题.
(1)连接A1C,与AC1交于点E,连接DE,易得DE//A1B,由线面平行的判定即可得证;16.解:(1)∵f′(x)=lnx+ax+1且f(x)图象在点(1,1)处切线的斜率为1,
∴f′(1)=a+1=1,则a=0,即f(x)=xlnx+1,x∈(0,+∞),
又∵f′(x)=lnx+1,
∴当0<x<1e时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x>1e时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
又∵f(1e)=1−1e,
∴当x=1e时,f(x)取得极小值1−1e,无极大值.
(2)∵a=1,∴f(x)=(x+1)lnx+1,
令g(x)=(x+1)lnx+1−x,x∈(0,1),
∴g′(x)=lnx+1x.
令ℎ(x)=g′(x)=lnx+1x,且ℎ′(x)=1x【解析】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的极值和利用导数证明不等式,是中档题.
(1)由题意得f′(1)=1,则a=0,再利用导数研究单调性和极值即可;
(2)令g(x)=(x+1)lnx+1−x,17.解:(1)由正弦定理得3sinB=2sinC(12sinA+32cosA)=sinCsinA+3sinCcosA,
∵3sinB=3sin(A+C)=3sinAcosC+3sinCcosA,
∴sinCsinA=3sinAcosC,又sinA≠0,
∴tanC=3,又C∈(0,π),
∴C=π3.
(2)记a=3m,则c=7m;
由余弦定理cosC=a【解析】本题主要考查正弦定理,余弦定理,三角变换,属于中档题.
(1)由正弦定理以及两角和的正弦公式得tanC=3,又C∈(0,π),可得角C的大小;
(2)由余弦定理cosA=714,方法一,求出tanA,tanB18.解:(1)由题意可得,b=1,
又由a2=c2+1ca=12,得a=2,c=3,
所以E的方程为x24+y2=1.
(2)显然直线BM的斜率不为0,设直线BM的方程为x=my−1,
B(x1,y1),D(x2,y2),C(x1,−y1),
由x=my−1x24+y2=1,
消去x整理得(4+【解析】本题主要考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的关系,属于中档题.
(1)由a2=c2+1ca=12,得a19.解:(1)由题意可知X3=4表示事件“第1次答错,第2、3次均答对”,
p(X3=4)=23×13×13=227.
(2)Xn可取1,2,4,⋯⋯,2n且Xn=1表示事件“第n次答错”,所以p(Xn=1)=23,
当n≥2时,Xn=2k,k=1,2,3,⋯⋯,n−1,表示事件“
第n−k次答错,第n−k+1,n−k+2,⋯,n次均答对”,
所以p
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