2023-2024学年广东省茂名市高二下学期教学质量监测数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省茂名市高二下学期教学质量监测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=xx+1x−4<0，B={x|x>0}A.(0,1) B.(0,4) C.(−1,0) D.(−4,0)2.复数z=i1−i，则复数z在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.函数f(x)=xln|x|的图象大致为A. B. C. D.4.已知直线2x+y−2=0与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，则|AB|=A.5 B.5 C.355.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为264，所有偶数项的和为253，则此数列的项数是A.43 B.45 C.47 D.496.已知函数f(x)=1−x21+xA.(−∞,0) B.23,+∞

C.0,27.函数f(x)=2sin(ωx+φ)，ω>0,0<φ<π2满足f(0)=1，且y=f(x)在区间−π3,0上有且仅有3A.(5,7) B.112,8 C.1328.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，BP=λBBA.λ=μ时，C1B1//平面D1PQ

B.λ=12时，四面体APQD1的体积为定值

C.μ=12时，∃λ∈(0,1)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a，b不共线且a⋅b=0A.a=0或b=0 B.a⊥b

C.a+b10.掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为m，n，记事件A=“m+n>9”，B=“mn为偶数”，C=“m+n为奇数”，则A.p(A)=16 B.p(AB)=15 C.p(A11.已知函数f(x)=a3x3−ax2−3ax+b，其中实数A.当a=1时，f(x)没有极值点

B.当f(x)有且仅有3个零点时，ba∈−53,9

C.当b=113a时，f(x+1)为奇函数

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆锥的底面直径为22，母线长为2，则此圆锥的体积是_________．13.已知数列{an−1}是首项为23，公比为13的等比数列，且a14.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与y轴交于点B，与E交于点四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，正三棱柱ABC−A1B1C(1)证明：A1B//平面(2)若AB=2，三棱锥C−ADC1的体积为3316.(本小题15分)已知函数f(x)=(x+a)ln x+1，(1)若f(x)在点(1,1)处的切线的斜率为1，求f(x)的极值；(2)若a=1，证明：当0<x<1时，f(x)<x．17.(本小题15分)锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3(1)求角C的大小；(2)若7a=3c，求118.(本小题17分)已知椭圆E：x2a2+y(1)求E的方程；(2)设M(−1,0)，直线x=n(n∈R且n≠−1)与E交于不同的两点B，C，若直线BM与E交于另一点D，则直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．19.(本小题17分)某同学参加趣味答题比赛，规则如下：第1次答题时，若答对则得2分，否则得1分；从第2次答题开始，若答对则获得上一次答题得分的2倍，否则得1分，该同学每次答对的概率都为13，答错的概率都为23，且每次答对与否相互独立．记第n次答题得分为(1)求p(X(2)求Xn(3)在游戏开始前，该同学有两个选择，①从第2次开始，若第n次得分刚好为n时，则该同学获得胜利，游戏结束．②从第1次开始，若第n次得分刚好为2n时，则该同学获得胜利，游戏结束．已知共有4次答题环节，求该同学选择哪个方案获得胜利的概率更大．

答案解析1.B

【解析】解：∵A={x|−1<x<4}，B={x|x>0}，

∴A∩B={x|0<x<4}．

故选B．2.B

【解析】解：∵z=i1−i=i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+3.A

【解析】解：∵f(−x)=−xln|−x|=−xlnx=−f(x)

∴函数f(x)=xln|x|是奇函数，∴其图象关于原点对称，故可排除C，D，又当0<x<1时，f(x)<0，当x>1时，f(x)>0，排除B，故选项A正确．故选A．4.B

【解析】解：将2x+y−2=0与抛物线C:y2=4x联立方程整理可得：x2−3x+1=0，

又直线2x+y−2=0过焦点F1,0，所以5.C

【解析】设等差数列的项数为2n−1，所有的奇数项和为S，所有的偶数项和为T，

则S=n(a1+a2n−1)2=nan，

T=(n−1)(a26.D

【解析】解：由f(x)=1−x21+x2可得x∈R且f(x)为偶函数，

f(x)=1−x21+x2=−(1+x2)+21+x2=−1+21+x27.C

【解析】解：f(0)=2sinφ=1，0<φ<π2，∴φ=π6，

∴f(x)=2sin(ωx+π6)，

f(x)=2sin(ωx+π6)的图象如下：

y=f(x)8.C

【解析】解：对于A选项，λ=μ时，∵BP=λBB1，BQ=μBC1，∴PQ//C1B1，

又PQ⊂平面D1PQ，C1B1⊄平面D1PQ，故C1B1//平面D1PQ，故A正确;

对于B选项，λ=12时，△AD1P的面积为定值;

而点Q是BC1边上的点，且BC1/​/平面APD1，

∴点Q到平面AD1P的距离即为直线BC1到平面AD1P的距离为定值，

∴四面体APQD1的体积为定值，故B正确;

对于C选项，μ=12时，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴为正向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(2,0,0)，D1(0,0,2)，P(2,2,2λ)，A1(2,0,2)，

Q(1,2,1)，则AD1=(−2,0,2)，AP=(0,2,2λ)，A1Q=(−1,2,−1)，

记平面D9.BC

【解析】解：∵a⋅b=0，∴a⊥b，A选项错误，B选项正确；

对于C选项，因为向量a，b不共线，由向量加法和减法的几何意义，|a+b|，|a−b|是矩形的两条对角线长，是相等的，选项C正确;

10.AC

【解析】解：掷一枚质地均匀的骰子两次的可能结果共有36种．

事件A=“m+n>9”的可能结果有6种，即A={(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，

∴p(A)=636=16，选项A正确;

事件B=“mn为偶数”的可能结果有C31⋅C61+C31⋅C31=27种，

事件AB=“mn为偶数且m+n>9”的可能结果有5种，

∴p(A|B)=p(AB)p(B)=527，选项B错误;

事件C=“m+n为奇数”的可能结果有C21⋅C3111.BCD

【解析】解：当a=1时，f(x)=13x3−x2−3x+b，

则f′(x)=x2−2x−3=(x−3)(x+1)，

当−1<x<3时，f′(x)<0，当x<−1或x>3时，f′(x)>0，

所以x=−1，x=3分别是函数f(x)的极大值点和极小值点，选项A错误;

当f(x)=a3x3−ax2−3ax+b时，f′(x)=a(x+1)(x−3)，

当−1<x<3，f′(x)<0，当x<−1或x>3时，f′(x)>0，

即f(x)在(−1,3)上单调递减，在(−∞,−1)和(3,+∞)上单调递增．

当f(x)有且仅有3个零点时，f(−1)>0且f(3)<0

得53a+b>0−9a+b<0得ba∈(−53,9)，选项B正确;

当b=113a时，f(x+1)=a3x3−4ax，所以f(x+1)为奇函数，选项C正确;

∵f(0)=b<a3+b<m，∴A(0,m)不在曲线f(x)上．

设过点A(0,m)的曲线f(x)切线的切点为(x0,a3x03−ax02−3ax0+b)，f(0)=b，

∴过点A(0,m)的曲线f(x)切线的方程为y−(a3x03−ax12.2【解析】解：记圆锥的底面半径为r，母线为l，高为d，

则d=l2−r2=13.99

【解析】解：由已知，可得an−1=23×(13)n−1=2⋅(13)n，

所以an=2×(13)n+1，

设数列{an}的前n项和为Sn，

14.y=±2【解析】解：依题意，设|AF2|=2m，则|BF2|= 3m=|BF1|，|AF1|= 2a+ 2m，

在Rt△ABF1中，9m2+(2a+2m)2=25m2，

则(a+3m)(a−m)=0，故a=m或a=−3m(舍去)，

所以|AF1|=4a，|AF2|=2a，|BF2|=|BF1|=3a，则15.解：(1)连接A1C，与AC1交于点E，连接DE，

∵D、E分别为BC、A1C边的中点，∴DE//A1B，

又DE⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，

∴A1B//平面ADC1．

(2)V三棱锥C−ADC1=V三棱锥C1−ADC

=13CC1⋅S△ADC=CC13⋅32=33，∴CC1=2，

正三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AD，

又△ABC是正三角形，D是BC边的中点，∴BC⊥AD，

又BC∩BB1=B，且BC，BB1⊂平面BB1C1C，∴AD⊥平面BB1C1C，

取B1C1的中点D1，则【解析】本题考查了线面平行的判定和平面与平面所成角的向量求法，是中档题．

(1)连接A1C，与AC1交于点E，连接DE，易得DE//A1B，由线面平行的判定即可得证；16.解：(1)∵f′(x)=lnx+ax+1且f(x)图象在点(1,1)处切线的斜率为1，

∴f′(1)=a+1=1，则a=0，即f(x)=xlnx+1，x∈(0,+∞)，

又∵f′(x)=lnx+1，

∴当0<x<1e时，f′(x)<0，f(x)单调递减;当x>1e时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

又∵f(1e)=1−1e，

∴当x=1e时，f(x)取得极小值1−1e，无极大值．

(2)∵a=1，∴f(x)=(x+1)lnx+1，

令g(x)=(x+1)lnx+1−x，x∈(0,1)，

∴g′(x)=lnx+1x．

令ℎ(x)=g′(x)=lnx+1x，且ℎ′(x)=1x【解析】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的极值和利用导数证明不等式，是中档题．

(1)由题意得f′(1)=1，则a=0，再利用导数研究单调性和极值即可；

(2)令g(x)=(x+1)lnx+1−x，17.解：(1)由正弦定理得3sinB=2sinC(12sinA+32cosA)=sinCsinA+3sinCcosA，

∵3sinB=3sin(A+C)=3sinAcosC+3sinCcosA，

∴sinCsinA=3sinAcosC，又sinA≠0，

∴tanC=3，又C∈(0,π)，

∴C=π3．

(2)记a=3m，则c=7m;

由余弦定理cosC=a【解析】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角变换，属于中档题．

(1)由正弦定理以及两角和的正弦公式得tanC=3，又C∈(0,π)，可得角C的大小；

(2)由余弦定理cosA=714，方法一，求出tanA，tanB18.解：(1)由题意可得，b=1，

又由a2=c2+1ca=12，得a=2，c=3，

所以E的方程为x24+y2=1．

(2)显然直线BM的斜率不为0，设直线BM的方程为x=my−1，

B(x1,y1)，D(x2,y2)，C(x1,−y1)，

由x=my−1x24+y2=1，

消去x整理得(4+【解析】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的关系，属于中档题．

(1)由a2=c2+1ca=12，得a19.解：(1)由题意可知X3=4表示事件“第1次答错，第2、3次均答对”，

p(X3=4)=23×13×13=227．

(2)Xn可取1，2，4，⋯⋯，2n且Xn=1表示事件“第n次答错”，所以p(Xn=1)=23，

当n≥2时，Xn=2k，k=1，2，3，⋯⋯，n−1，表示事件“

第n−k次答错，第n−k+1，n−k+2，⋯，n次均答对”，

所以p