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文档简介
第=page11页,共=sectionpages11页2023-2024学年福建省泉州市石狮市七年级(下)期末数学试卷一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若3a−1=2a,则a等于(
)A.1 B.−1 C.15 D.2.对称性揭示了自然的秩序与和谐,是数学之美的体现,在数学活动课中,同学们利用画图工具绘制出下列图形,其中是中心对称图形的是(
)A. B. C. D.3.若某三角形的三边长分别为4、8、x,则x的值可以是(
)A.3 B.4 C.5 D.134.下列正多边形中,能够铺满地面的是(
)A.正五边形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十二边形5.若a>b,则下列不等式一定成立的是(
)A.a−1<b−1 B.b−a<0 C.a2<b6.《增删算法统宗》记载:“有个学生资性好,一部孟子三日了,每日增添一倍多,问若每日读多少?”其大意是:有个学生天资聪慧,三天读完一部《孟子》,每天阅读的字数是前一天的两倍,问他每天各读多少个字?已知《孟子》一书共有34685个字,设他第一天读x个字,则下面所列方程正确的是(
)A.x+2x+4x=34685 B.x+2x+3x=34685
C.x+2x+2x=34685 D.x+7.将如图所示的正五角星绕着它的中心点O顺时针旋转一定角度后能与原图形重合,则这个旋转角的大小不可能是(
)A.72°
B.144°
C.150°
D.216°8.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,AD是BC边上的中线,则△ABD的面积为(
)A.3
B.4
C.5
D.69.把边长相等的正五边形ABCDE和正方形DEFG按如图方式拼在一起,延长AE交FG于点H,则∠FEH的度数为(
)A.10°
B.15°
C.18°
D.20°10.如图,△ABC中,点D在BC边上,过D作DE⊥BC交AB于点E,P为DC上的一个动点,连接PA、PE,若PA+PE最小,则点P应该满足(
)A.PA=PC B.PA=PE
C.∠APE=90° D.∠APC=∠DPE二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分。11.十边形的外角和的度数是______.12.如图,AC⊥BE,DE⊥BE,垂足分别为点C、E.若△ABC≌△BDE,AC=5,DE=2,则CE=______.13.如图,△ABC沿射线AC的方向平移,得到△CDE.若AE=6,则B,D两点的距离为______.
14.已知关于x、y的方程组2x+m=1,y=m+3若用含x的代数式来表示y,则y=______.15.整式mx+2n的值随x的取值不同而不同,下表是当x取不同值时对应的整式的值,则关于x的方程2mx+4n=−4的解是______.x−2−1012mx+2n20−2−4−616.有一条65cm长的塑料卷尺.若在刻度4cm处折叠(如图1所示),上层(阴影层)与下层的整数刻度就会叠合在一起,如刻度0与8,1与7,2与6,3与5叠合.若沿上层刻度2cm的位置用剪刀剪开(如图2所示),并将中间叠合的那段展开铺平,可得到三段卷尺.小明同学选择在刻度30cm处将该卷尺折叠,并在上层某整数刻度处剪开并展平,得到三段卷尺,若其中一段长是另一段长的3倍,则上层剪开处的刻度是______cm.
三、解答题:本题共9小题,共86分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)
解方程:x−32−18.(本小题8分)
解方程组:x−y=2①2x+y=16②.19.(本小题8分)
解不等式组,并把不等式①、②的解集在同一数轴上表示出来.
x−1>4x+11①3(x−2)−1≤2(1+x)②20.(本小题8分)
某校为提高学生的阅读品味,现决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书共100本.已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元;购买3本甲种书和2本乙种书共需165元.
(1)求甲、乙两种书的单价分别为多少元;
(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元,那么该校最多可以购买甲种书多少本?21.(本小题8分)
如图,在△ABC中,∠A=∠B=2∠ACB,∠ACD是△ABC的外角,CE平分∠ACD.
(1)求∠A的度数;
(2)AB与EC平行吗?请说明理由.22.(本小题10分)
在如图所示的方格图中,每个小正方形的顶点称为“格点”,△ABC的三个顶点均在“格点”上,每个小正方形的边长均为1.
(1)在方格图中,将△ABC沿着射线BB′方向平移,使点B与点B′对应,请画出平移后的△A′B′C′;
(2)请直接写出直线BB′与线段A′C′的位置关系,不必说明理由;
(3)试求出在平移过程中,线段BC所扫过部分的面积.23.(本小题10分)
如图,在△ABC中,∠B=40°,∠BAC=80°,将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△ADE.
(1)求∠E的度数;
(2)当AB//DE时,求∠DAC的度数.24.(本小题13分)
阅读理解:
定义:若一个方程(组)的解也是一个不等式(组)的解,我们称这个方程(组)的解是这个不等式(组)的“友好解”.例如,方程2x−1=1的解是x=1,同时x=1也是不等式x+1>0的解,则称方程2x−1=1的解x=1是不等式x+1>0的“友好解”.
(1)试判断方程32x−2=12x+1的解是不是不等式x−32>0的“友好解”?不必说明理由;
(2)若关于x、y的方程组2x+3y=5k+2,5x−y=4k+5的解是不等式32x−2y>7的“友好解”,求k的取值范围;
(3)25.(本小题13分)
在△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分别在直线AC、AB上,∠ADE=∠ABC.
(1)如图1,当点D在边AC上,点E在边AB上时,试说明:DE⊥AB;
(2)如图2,当点D在CA的延长线上,点E在BA的延长线上时,直线DE与BC交于点F,点G在EF上,且∠F=2∠DGA,AG平分∠EAC吗?请说明理由;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接BG,当BG平分∠ABC时,将△AGB沿AG折叠至△AGH,试判断∠HGD与∠F之间的数量关系,并说明理由.
答案解析1.A
【详解】解:3a−1=2a,
3a−2a=1,
a=1,
故选:A.
2.D
【详解】解:A.不是中心对称图形,不符合题意;
B.不是中心对称图形,不符合题意;
C.不是中心对称图形,不符合题意;
D.是中心对称图形,符合题意;
故选:D.
3.C
【详解】解:∵三角形的三边长分别为4,8,x,
∴8−4<x<8+4,
即4<x<12,
故选:C.
4.B
【详解】解:A.正五边形每个内角为108°,不能整除360°,所以不能铺满地面;
B.正六边形每个内角为120°,能整除360°,所以能铺满地面;
C.正八边形每个内角为135°,不能整除360°,所以不能铺满地面;
D.正十二边形每个内角为150°,不能整除360°,所以不能铺满地面;
故选:B.
5.B
【详解】解:∵a>b,
∴a−1>b−1,
∴选项A错误,不符合题意;
a>b,
b−a<0一定成立,例如:a=2,b=−4时,−4−2<0,故B正确,符合题意;
∵a>b,
a2>b2,
∴选项C错误,不符合题意;
∵a>b,
∴−a<−b,故D错误,不符合题意;
6.A
【详解】解:设他第一天读x个字,
根据题意可得:x+2x+4x=34685,
故选:A.7.C
【详解】解:由题知,
360°÷5=72°,
所以当正五角星绕着它的中心点O顺时针旋转72°的整数倍后,能与原图形重合,
显然四个选项中只有C选项符合题意.
故选:C.
8.A
【详解】解:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,
∴S△ABC=12AB⋅AC=12×3×4=6;
在Rt△ABC中,AD是BC边上的中线,9.C
【详解】解:正五边形ABCDE的外角∠DEH=360°5=72°,
正方形DEFG的内角∠DEF=90°,
∴∠FEH=90°−72°=18°,
故选:10.D
【详解】解:如图,作点E关于直线BC的对称点F,连接AF交BC于P,此时PA+PE的值最小.
由对称性可知:∠EPD=∠FPD,
∵∠CPA=∠FPD,
∴∠APC=∠DPE,
∴DP+PB最小时,点P应该满足∠APC=∠DPE,
故选D.11.360°
【详解】解:∵任意多边形的外角和等于360°,
∴十边形的外角和的度数为360°.
故答案为:360°.
12.3
【详解】解:∵△ABC≌△BDE,AC=5,DE=2,
∴BE=AC=5,BC=DE=2,
∴CE=BE−BC=5−2=3,
故答案为:3.
13.3
【详解】解:∵△ABC沿射线AC的方向平移,得到△CDE,
∴AC=CE,
∵AE=6,
∴AC=3,
∴BD=AC=3,
故答案为:3.14.−2x+4
【详解】解:2x+m=1①y=m+3②,
由①得,m=1−2x③,
将③代入②得,y=1−2x+3,
即y=−2x+4,
故答案为:−2x+4.15.x=0
【详解】解:由表中可知:当x=−1时,mx+2n=0,当x=0时,mx+2n=−2,
所以−m+2n=02n=−2,
解得:m=−2n=−1,
代入方程2mx+4n=0得:−4x−4=−4,
解得:x=0,
故答案为:x=016.9或12或25
【详解】解:设上层剪开处的刻度是x cm,则得到三段卷尺的长度分别为x cm,2(30−x)cm,[65−x−2(30−x)]=(5+x)cm,
当x=3×2(30−x)时,x=1807(不符合题意,舍去)
当x=3(5+x)时,x=152(不符合题意,舍去);
当2(30−x)=3x时,x=12;
当5+x=3x时,x=52(不符合题意,舍去);
当2(30−x)=3(5+x)时,x=9;
当5+x=3×2(30−x)时,x=25.
综上所述,上层剪开处的刻度是9或12或25.17.解:去分母,得3(x−3)−2(2x+1)=−6,
去括号,得3x−9−4x−2=−6,
移项、合并同类项,得−x=5,
两边同时乘以−1,得x=−5.
【详解】先去分母,再去括号,移项,合并同类项,把x的系数化为1即可.
18.解:x−y=2①2x+y=16②,
①+②,可得3x=18,
解得x=6,
把x=6代入①,可得:6−y=2,
解得y=4,
∴原方程组的解是x=6y=4【详解】应用加减消元法,求出方程组的解即可.
19.解:解不等式①得:x<−4,
解不等式②得:x≤9,
则不等式组的解集为x<−4,
将不等式①、②的解集在同一数轴上表示出来如下:
【详解】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.
20.解:设甲、乙两种书的单价分别为x元和y元,依题意得,
2x+y=100,3x+2y=165.
解得
x=35,y=30.
答:甲种书的单价为35元,乙种书的单价为30元.;
(2)设该校购买甲种书a本,则购买乙种书(100−a)本,依题意得,
35a+30(100−a)≤3200,
解得
a≤40.
所以该校最多可以购买甲种书40【详解】(1)设甲种书的单价是x元,乙种书的单价是y元,根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元;购买1本甲种书和2本乙种书共需165元”,可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设该校购买甲种书m本,则购买乙种书(100−m)本,利用总价=单价×数量,结合总价不超过3200元,可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最大值,即可得出结论.
21.解:(1)根据三角形内角和定理得:∠A+∠B+∠ACB=180°,
∵∠A=∠B=2∠ACB,
∴2∠ACB+2∠ACB+∠ACB=180°,
∴∠ACB=36°,
∴∠A=2∠ACB=72°;
(2)AB与EC平行,理由如下:
由(1)可知:∠A=∠B=72°,
∴∠ACD=∠A+∠B=144°,
∵CE平分∠ACD,
∴∠DCE=ACE=12∠ACD=72°,
∴∠DCE=∠B=72°,
【详解】(1)根据三角形内角和定理及∠A=∠B=2∠ACB得∠ACB=36°,进而可得∠A的度数;
(2)由(1)可知∠A=∠B=72°,则∠ACD=∠A+∠B=144°,再由角平分线定义得∠DCE=ACE=12∠ACD=72°,由此得22.解:(1)如图,△A′B′C′即为所求.
(2)由图可得,直线BB′⊥A′C′.
(3)在平移过程中,线段BC所扫过部分的面积为S四边形BB′C′C=4×3=12.【详解】(1)根据平移的性质作图即可.
(2)由图可得出答案.
(3)求出四边形BB′C′C的面积即可.
23.解:(1)由图形旋转的特征可得:∠E=∠C.
∵∠B=40°,∠BAC=80°,
∴∠C=180°−∠B−∠BAC=60°.
∴∠E=60°.
(2)如图1,当DE在AB下方时.
由图形旋转的特征可得:∠D=∠B=40°.
∵AB//DE,
∴∠BAD=∠D=40°.
∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=80°−40°=40°.
如图2,当DE在AB上方时.
∵AB//DE,
∴∠BAD+∠D=180°,
∴∠BAD=180°−∠D=180°−40°=140°.
∴∠DAC=360°−∠BAC−∠BAD=360°−80°−140°=140°.
综上所述,∠DAC的度数为40°或140°.
【详解】(1)依据题意,由图形旋转的特征可得:∠E=∠C,再由∠B=40°,∠BAC=80°,可得∠C=180°−∠B−∠BAC=60°,进而可以得解;
(2)依据题意,根据当DE在AB下方时和当DE在AB上方时.分别进行分析即可得解.
24.解:(1)解方程32x−2=12x+1,得x=3,
解不等式x−32>0,得x>3,
所以方程32x−2=12x+1的解不是不等式x−32>0的“友好解”;
(2)解法一:2x+3y=5k+2①5x−y=4k+5②,
由②−①,得
3x−4y=3−k,
由32x−2y>7,得:3x−4y>14,
∴3−k>14,
解得k<−11;
解法二:2x+3y=5k+2①5x−y=4k+5②,
由②×3+①,得17x=17k+17,
x=k+1,
把x=k+1代入②,得y=k,
∵方程组2x+3y=5k+2,5x−y=4k+5的解是不等式32x−2y>7的“友好解”,
∴32(k+1)−2k>7,
解得k<−11;
(3)解法一:由3(x−1)=k,得x=k3+1,
∵k<3,
∴k3<1,
∴k3+1<2,即x<2,
由4x−1<x+2m,得
x<2m+13,
∵方程3(x−1)=k的解是不等式4x−1<x+2m的“友好解”,
∴2m+13≥2,
解得
m≥52,
∴m的最小整数值为【详解】(1)根据若一个方程(组)的解也是一个不等式(组)的解,我们称这个方程(组)的解是这个不等式(组)的“友好解”判断即可;
(2)根据“定义”解答即可;
(3)根据“定义”解答即可.
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