2022-2022学年新教材高中数学章末质量检测三新人教A版必修第二册

PAGE9-章末质量检测(三)立体几何初步一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．以下结论正确的选项是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，那么此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图2，假设△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．假设六棱锥的所有棱长都相等，那么底面多边形是正六边形．由几何图形知，假设以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案：D2．关于直观图画法的说法中，不正确的选项是()A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x′轴，其长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y′轴，其长度不变C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可画成135°D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同解析：根据斜二测画法的规那么可知B不正确．答案：B3．假设圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，那么它的一个底面面积是()A．4SB．4πSC．πSD．2πS解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R，那么2R·2R＝4S，得R2＝S.所以底面面积为πR2＝πS.答案：C4．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9cm3，那么其外表积为()A．18eq\r(3)cm2B．18cm2C．12eq\r(3)cm2D．12cm2解析：设正四面体的棱长为acm，那么底面积为eq\f(\r(3),4)a2cm2，易求得高为eq\f(\r(6),3)acm，那么体积为eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2×eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(2),12)a3＝9，解得a＝3eq\r(2)，所以其外表积为4×eq\f(\r(3),4)a2＝18eq\r(3)(cm2)．答案：A5．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，eq\r(6)，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，那么这个球的外表积为()A．16πB．32πC．36πD．64π解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为eq\r(12＋\r(6)2＋32)＝4，即球的半径为2，故这个球的外表积为4πr2＝16π.答案：A6．假设平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B在平面β内，那么在平面β内且过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线解析：当直线a⊂平面β，且点B在直线a上时，在平面β内且过点B的所有直线中不存在与a平行的直线．应选A.答案：A7．假设α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，且AB＋CD＝28，AB、CD在β内的射影长分别为9和5，那么AB、CD的长分别为()A．16和12B．15和13C．17和11D．18和10解析：如图，作AM⊥β，CN⊥β，垂足分别为M、N，设AB＝x，那么CD＝28－x，BM＝9，ND＝5，∴x2－81＝(28－x)2－25，∴x＝15,28－x＝13.答案：B8.如图，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1＝eq\f(1,4)A1B1，那么多面体P－BCC1B1的体积为()A.eq\f(8,3)B.eq\f(16,3)C．4D．5解析：V多面体P－BCC1B1＝eq\f(1,3)S正方形BCC1B1·PB1＝eq\f(1,3)×42×1＝eq\f(16,3).答案：B9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝2eq\r(5)，那么异面直线BD与AC所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，那么AC∥A1C1∥DE，那么∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角(或其补角)．由条件可知BD＝DE＝EB＝eq\r(5)，所以∠BDE＝60°，应选C.答案：C10．如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，应选B.答案：B11．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，那么二面角C－BM－A的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°解析：如下图，由AB＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝eq\r(2).∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝eq\f(\r(2),2)，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．∵AC＝1，MC＝AM＝eq\f(\r(2),2)，∴∠CMA＝90°.答案：C12．在矩形ABCD中，假设AB＝3，BC＝4，PA⊥平面AC，且PA＝1，那么点P到对角线BD的距离为()A.eq\f(\r(29),2)B.eq\f(13,5)C.eq\f(17,5)D.eq\f(\r(119),5)解析：如图，过点A作AE⊥BD于E，连接PE.∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAE，∴BD⊥PE.∵AE＝eq\f(AB·AD,BD)＝eq\f(12,5)，PA＝1，∴PE＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)))2)＝eq\f(13,5).答案：B二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________．解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．答案：两个同底的圆锥组合体14．假设某空间几何体的直观图如下图，那么该几何体的外表积是________．解析：根据直观图可知该几何体是横着放的直三棱柱，所以S侧＝(1＋eq\r(2)＋eq\r(3))×eq\r(2)＝2＋eq\r(2)＋eq\r(6)，S底＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2)，故S表＝2＋eq\r(2)＋eq\r(6)＋2×eq\f(\r(2),2)＝2＋2eq\r(2)＋eq\r(6).答案：2＋2eq\r(2)＋eq\r(6)15．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．假设EF∥平面AB1C，那么线段EF的长度等于________．解析：∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点．故EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).答案：eq\r(2)16．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(2)，PA⊥平面ABCD，PA＝1，那么PC与平面ABCD所成的角是________．解析：tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠PCA＝30°.答案：30°三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图是由正方形ABCE和正三角形CDE所组成的平面图形，试画出其水平放置的直观图．解析：(1)以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图(1)，再建立坐标系x′O′y′，使两轴的夹角为45°，如图(2)．(2)以O′为中点，在x′轴上截取A′B′＝AB，分别过A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′＝eq\f(1,2)AE，B′C′＝eq\f(1,2)BC.在y′轴上截取O′D′＝eq\f(1,2)OD.(3)连接E′D′，E′C′，C′D′，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图，如图(3)．18．(12分)如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A′－BC′D的外表积与正方体外表积的比值；(2)三棱锥A′－BC′D的体积．解析：(1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝eq\r(2)a，∴三棱锥A′－BC′D的外表积为4×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)a＝2eq\r(3)a2.而正方体的外表积为6a2，故三棱锥A′－BC′D的外表积与正方体外表积的比值为eq\f(2\r(3)a2,6a2)＝eq\f(\r(3),3).(2)三棱锥A′－ABD，C′－BCD，D－A′D′C′，B－A′B′C′是完全一样的．故V三棱锥A′－BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′－ABD＝a3－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(a3,3).19．(12分)如图，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)设DF与GN交于点O，连接AE，那么AE必过点O，且O为AE的中点，连接MO，那么MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为AD，EF的中点，四边形ADEF为平行四边形，所以DE∥GN.因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG.因为DE∩BD＝D，BD，DE⊂平面BDE，所以平面BDE∥平面MNG.20．(12分)S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)假设AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如下图，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，那么BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.21．(12分)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点．(1)求证：OE∥平面BCC1B1；(2)假设AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.证明：(1)连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.(2)因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC⊂平面A1BC，所以AC1⊥BC.22．(12分)如下图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB.(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值．解析：(1)证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．所以△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°.同理∠C1EC＝45°.所以∠DEC＝90°，即DE⊥EC.在长方