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第=page11页,共=sectionpages11页2023-2024学年湖南省长沙一中高一(下)第三次月考数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若复数a+3i2+i是纯虚数,则实数a=(
)A.−32 B.32 C.−2.某校举行“勇士杯”学生篮球比赛,统计高一年级部分班级的得分数据如下:班级12345678得分2834343026282832则下列说法正确的是(
)A.得分的众数为34 B.得分的中位数为28
C.得分的75%分位数为33 D.得分的极差为63.已知平面α、β,直线l⊂α,直线m不在平面α上,下列说法正确的是(
)A.若α//β,m//β,则l//m B.若α//β,m⊥β,则l⊥m
C.若l//m,α//β,则m//β D.若l⊥m,m//β,则α⊥β4.已知a>0,b>0,则“a+b>1”是“ab>14”(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1A.12
B.64
C.16.已知cos(α+π8)+2cos(α−3πA.12 B.43 C.−1 7.已知m∈R,若函数f(x)=1x+1−mx−m−3(−1<x≤0)在定义域内有且仅有两个不同的零点,则m的取值范围是A.(−94,−2) B.(−94,−2]8.已知集合I⊆{a|a=(x,y),x,y∈R},若对于任意m,n∈I,以及任意λ∈[0,1],满足λm+(1−λ)n∈I,则称集合I为“类圆集”.下列说法正确的是(
)A.集合A={a|a=(x,y),y≥x3}为“类圆集”
B.集合B={a|a=(x,y),y≤lnx}为“类圆集”
C.集合C={a|a=(x,y),y≥x2}不为“类圆集”
D.若二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.在如图所示的网格中,每一个小正方形的边长均为1,则下列说法正确的是(
)A.AB⊥CD
B.CD在AC方向上的投影向量为AC
C.AD与CD的夹角为30°
10.某学校为了解学生身高(单位:cm)情况,采用分层随机抽样的方法从4000名学生(该校男女生人数之比为3:2)中抽取了一个容量为100的样本.其中,男生平均身高为175,方差为184,女生平均身高为160,方差为179.则下列说法正确的是参考公式:总体分为2层,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为:n1,x−,s12,n2,y−,s22.记总的样本平均数为ωA.抽取的样本里男生有60人 B.每一位学生被抽中的可能性为140
C.估计该学校学生身高的平均值为170 D.估计该学校学生身高的方差为11.化学中经常碰到正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体),如六氟化硫(化学式SF6)、金刚石等的分子结构.将一个正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体E−ABCD−F(如图),已知正方体棱长为22A.正八面体E−ABCD−F的内切球表面积8π3
B.正八面体E−ABCD−F的外接球体积为8π3
C.若点P为棱EB上的动点,则三棱锥F−ADP的体积为定值223
D.若点P为棱EB上的动点(包括端点),则直线三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.设a>0,b>0,已知log2a+log4b213.在△ABC中,其内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=3π4,b=6,a2+c14.定义轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥,轴截面为正方形的圆柱为等边圆柱,已知一个等边圆锥的底面圆的直径为2,在该圆锥内放置一个等边圆柱,并且圆柱在该圆锥内可以任意转动,则该圆柱的体积的最大值为______.四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)
已知向量a=(cos3x2,sin3x2),b=(cosx2,sinx2),c=(sinx16.(本小题15分)
某校高一年级进行数学计算能力大赛,数学备课组从全年级的1000名学生的成绩中抽取容量为n的样本,构成频率分布直方图,且成绩在区间(50,60)的人数为5.
(1)求样本容量n以及频率分布直方图中的x;
(2)估计全年级学生竞赛成绩的平均数;
(3)从样本中得分在[80,100]的学生中随机抽取两人,问所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是多少?17.(本小题15分)
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA2+cosA=1,acsinA+4sinC=4csinA.
(1)求边长a和角A;
(2)若△ABC的面积为32,求中线AD的长度;
(3)若18.(本小题17分)
在多面体ABCDEF中,AD//BC//EF,且AD=CD=DE=4,BC=EF=2,∠BCD=∠FED=π3.
(1)证明:AD⊥CE;
(2)若平面ADEF⊥平面ABCD,求二面角A−BF−D的余弦值;
(3)在(2)的条件下,求该多面体ABCDEF的体积.19.(本小题17分)
对于函数f(x),若存在实数m,使得ℎ(x)=f(x+m)−f(m)为R上的奇函数,则称f(x)是位差值为m的“位差奇函数”.
(1)若f(x)=sin(x+φ)是位差值为π3的位差奇函数,求φ的值;
(2)已知f(x)=2x−t⋅2−x,g(x)=4x+4−xt,若存在m∈[0,+∞),使得f(x)是位差值为m的“位差奇函数”.
①求实数t的取值范围;
②设直线x=x1,x=x2与函数ℎ(x)=f(x+m)−f(m)的图象分别交于A、B两点,直线x=x1参考答案1.A
2.C
3.B
4.B
5.C
6.D
7.B
8.B
9.AD
10.ABD
11.ACD
12.8
13.3
14.2π(215.解:(1)当x=π2时,a=(cos3π4,sin3π4)=(−22,22),
b=(cosπ4,sinπ4)=(22,22)16.解:(1)成绩在区间(50,60)的频率为0.2,n=50.2=25,
由频率分布直方图可得第4组的频率为:
1−0.2−0.24−0.36−0.08=0.12,故x=0.012.
(2)先估计所抽取的25名学生成绩的平均数为:
(55×0.02+65×0.024+75×0.036+85×0.012+95×0.008)×10=71.4(分),
估计全年级学生竞赛成绩的平均数为71.4;
(3)得分成绩在[80,90)有0.012×10×25=3(人),
这组的3名学生分别为a,b,c,
得分在区间[90,100]有0.008×10×25=2(人),
这组的2名学生分别为d,e,
随机抽取两人,所以可能的结果为:
(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10种,
所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的结果为:
(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共7种,
故所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是17.解:(1)由acsinA+4sinC=4csinA,得a2c+4c=4ac,
结合c≠0,化简得a2+4=4a,即(a−2)2=0,可得a=2.
根据sinA2+cosA=1,可得sinA2+1−2sin2A2=1,
即sinA2(2sinA2−1)=0,所以sinA2=12或sinA2=0,结合A2∈(0,π2),可得A=π3;
(2)由S△ABC=12bcsinA=34bc=32,解得bc=2,
由余弦定理a2=b2+c2−2bccosπ18.解:(1)证明:在△BCD中,CD=4,BC=2,∠BCD=π3,
由余弦定理可得BD2=CD2+BC2−2CD⋅BCcosπ3=12,即BD=23;
满足BD2+BC2=CD2,即BD⊥BC;
又AD//BC,所以BD⊥AD;
同理可得DF⊥AD,
因为BD⊥AD,DF⊥AD,BD,DF⊂平面BDF,BD∩DF=D,
所以AD⊥平面BDF,
又BF⊂平面BDF,所以AD⊥BF;
又因为BC//EF,BC=EF=2,所以四边形BCEF是平行四边形;
因此BF//CE,
所以AD⊥CE.
(2)若平面ADEF⊥平面ABCD,由(1)知BD⊥AD,DF⊥AD,
所以可得BD⊥平面ADEF,DF⊂平面ADEF,所以BD⊥DF,
且BD=DF=23,BF=26,
由勾股定理可知AB=AF=27,
取BF的中点为G,连接AG,DG,如下图所示:
易知AG⊥BF,DG⊥BF,即可得∠AGD即为二面角A−BF−D的平面角,
显然AG=AB2−BG2=22,DG=6,又AD=4,
在△ADG中,cos∠AGD=AG2+DG2−A19.解:(1)∵y=f(x+π3)−f(π3)=sin(x+π3+φ)−sin(π3+φ)
=cos(π3+φ)sinx+sin(π3+φ)cosx−sin(π3+φ),
又∵f(x)=sin(x+φ)是位差值为π3的位差奇函数,
即y=cos(π3+φ)⋅sinx+sin(π3+φ)⋅cosx−sin(π3+φ)为R上的奇函数,
易知y=cos(π3+φ)sinx为R上的奇函数,
y=sin(π3+φ)cosx−sin(π3+φ)为R上的偶函数,
可知sin(π3+φ)=0,则π3+φ=kπ,k∈Z,
解得φ=kπ−π3,k∈Z;
(2)①∵ℎ(x)=f(x+
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