第1节数列的概念与简单表示法-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)

第1节数列的概念与简单表示法高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025领航备考路径新课标核心考点2020202120222023Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.等差数列模型第14题第15题第17题第17题

第3题第7题第20题第18题2.等比数列模型第18题第18题

第8题3.等差数列与等比数列的交汇模型

第17题

4.数列求和问题第18题第18题第16题

第17题

第18题优化备考策略考情分析:从题型和题量上看,高考对本章考查多为“一大一小”的形式,有时也只考一道解答题.从内容上看,小题主要考查等差、等比数列基本量的运算,等差、等比数列的性质以及数列的递推关系等.解答题主要考查数列通项公式的求解、等差(等比)数列的判断与证明、数列求和等综合问题.复习策略:1.熟记公式:要熟练记忆等差、等比数列的通项公式、前n项和公式、性质等,并要注意各个公式应用的条件.2.重视提高运算正确率:本单元中数学运算素养无处不在,需要加强训练,如乘公比错位相减法求和等,要掌握方法,规避易错点,不但要会做,还要做对.3.注重归纳规律:本章知识结构清晰,题型规律明显,要通过题目总结方法,并了然于胸,如什么情况下选择什么样的方法求数列的通项或前n项和,要对症下药,事半功倍.4.关注数学文化背景的数列试题:数列非常适宜与数学文化结合命题,尤其是中国古代数学名著中涉及的一些常见数列题,解决此类问题的关键是理解题意,转化为等差或等比数列等模型.课标解读1.掌握数列的有关概念和表示方法.2.能利用an与Sn的关系以及递推关系求数列的通项公式.3.理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题.1强基础固本增分2研考点精准突破目录索引

1强基础固本增分知识梳理1.数列的有关概念

概念含义数列按照

排列的一列数

数列的项数列中的

数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,这个式子叫做数列的通项公式前n项和数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an叫做数列{an}的前n项和并非每一个数列都有通项公式,数列有通项公式时也不一定是唯一的

确定的顺序

每一个数微点拨1.从函数观点看,数列{an}可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.2.对于一个数列,如果只知道它的前几项,而没有指出它的变化规律,是不能确定这个数列的.微思考数列的通项公式an=3n+5与函数y=3x+5有何区别与联系?提示

数列的通项公式an=3n+5是特殊的函数,其定义域为N*,而函数y=3x+5的定义域是R,an=3n+5的图象是离散的点,且排列在y=3x+5的图象上.2.数列的表示方法

列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n,an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项用公式表示递推公式使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a2和an+1=f(an,an-1)等表示数列的方法给出了数列相邻两项或多项之间的关系

数列的图象是坐标系中的一些孤立的点

3.an与Sn的关系

误区警示1.切记公式an=Sn-Sn-1成立的条件是n≥2,当n=1时,只能用a1=S1求解,根据Sn求an时一定要注意检验a1的值是否适合an=Sn-Sn-1.2.类比an与Sn的关系,若设数列{an}前n项的积为Tn(Tn≠0),则有S1Sn-Sn-14.数列的分类

分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an+1>ann∈N*递减数列an+1<an常数列an+1=an摆动数列从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项微思考数列的单调性与对应函数的单调性相同吗?提示

不同.数列作为特殊的函数,也具有单调性,但其单调性与对应函数的单调性又有所不同,由于数列中项数n只能取正整数,所以当函数f(x)在[1,+∞)上单调时,数列{f(n)}也是单调数列,但当数列{f(n)}是单调数列时,函数f(x)不一定是单调函数,例如函数f(x)=(x-)2在[1,+∞)上不单调,但数列{an}(an=f(n))是递增数列.常用结论

自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.(

)2.1,1,1,1,…,不能构成一个数列.(

)3.相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(

)4.如果数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.(

)√××√题组二回源教材5.(人教A版选择性必修第二册4.1节第8页练习第4题改编)已知数列{an}的前n项和公式为Sn=-2n2,则{an}的通项公式是

.

6.(人教A版选择性必修第二册4.1节第8页练习第2(2)题改编)已知数列{an}满足a1=3,an=+1(n≥2),则a12=

.

an=-4n+2

解析

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n2-[-2(n-1)2]=-4n+2.当n

=1时,a1=S1=-2,适合上式,故数列{an}的通项公式为an=-4n+2.3

题组三连线高考

B8.(2007·广东,文13)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-9n,则其通项公式an=

;若它的第k项满足5<ak<8,则k=

.

2n-108

解析

当n=1时,a1=1-9=-8,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10,经检验当n=1时,也满足上式,因而an=2n-10.由5<ak=2k-10<8,得7.5<k<9,k∈N*,所以k=8.2研考点精准突破考点一

由an与Sn的关系求通项公式(多考向探究预测)考向1已知Sn求an例1已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3n2+2n,则数列{an}的通项公式an=

.

6n-1

解析

由题知Sn=3n2+2n,则Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)=3n2-4n+1(n≥2),所以an=Sn-Sn-1=6n-1(n≥2).又a1=S1=5,符合上式,所以an=6n-1(n∈N*).变式探究(变条件)本例中将“Sn=3n2+2n”改为“Sn=3n2+2n+1”,其余不变,则{an}的通项公式an=

.

解析

由题知Sn=3n2+2n+1,则Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)+1=3n2-4n+2(n≥2),所以an=Sn-Sn-1=6n-1(n≥2).又a1=S1=6,不符合上式.所以an=[对点训练1](2024·四川成都模拟)已知数列{an}满足2a1+22a2+23a3+…+2nan=n·2n,则{an}的通项公式为(

)B解析

当n=1时,有2a1=1·21,所以a1=1.由2a1+22a2+23a3+…+2nan=n·2n,2a1+22a2+23a3+…+2n-1an-1=(n-1)·2n-1,n≥2,两式相减得2nan=n·2n-(n-1)2n-1考向2已知Sn与an的关系式求an例2数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=5Sn(n≥1),则an=(

)A.5×6n

B.5×6n+1C

变式探究(变条件)在本例中,若其他条件不变,将“an+1=5Sn(n≥1)”改为“an+1=5Sn+1(n≥1)”,再求an.解

由已知an+1=5Sn+1(n≥1),得当n≥2时,an=5Sn-1+1,两式相减得an+1-an=5an,即an+1=6an,因此数列{an}是首项为1,公比为6的等比数列,因此其通项公式为an=6n-1.考点二由数列的递推关系求通项公式(多考向探究预测)例3(1)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+),则an等于(

)A.2+ln

n B.2+(n-1)ln

nC.2+nln

n D.1+n+ln

nA解析

因为an+1-an==ln(n+1)-ln

n,所以a2-a1=ln

2-ln

1,a3-a2=ln

3-ln

2,a4-a3=ln

4-ln

3,…,an-an-1=ln

n-ln(n-1)(n≥2).把以上各式分别相加得an-a1=ln

n-ln

1,则an=2+ln

n,n≥2.又a1=2也符合上式,因此an=2+ln

n.(2)已知在数列{an}中,a1=1,=n+1,则数列{an}的通项公式an=

.

考向2累乘法例4(2024·辽宁葫芦岛模拟)在数列{an}中,a1=4,nan+1=(n+2)an,则数列{an}的通项公式为an=

.

2n(n+1)

[对点训练2](1)数列{an}的前五项分别是下列各数:1,3,6,10,15,则{an}的一个通项公式为(

)C解析

依题意a2-a1=3-1=2,a3-a2=6-3=3,a4-a3=10-6=4,a5-a4=15-10=5,(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=(n+1)2an-3,则{an}的通项公式为

.

考点三数列的性质(多考向探究预测)考向1数列的周期性

A

[对点训练3]斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列{an}可以用如下方法定义:an+2=an+1+an,且a1=a2=1,若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{bn},则数列{bn}的前2022项和为(

)A.2698 B.2697 C.2696 D.2695C解析

∵an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),a1=a2=1,∴数列{an}为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,此数列各项除以4的余数依次构成的数列{bn}为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…,所以数列{bn}是以6为周期的周期数列,考向2数列的单调性例6(2024·北京