第一章 全等三角形（知识归纳+题型突破）-苏科版八年级《数学》上学期单元精讲速记巧练（解析版）

第第页第一章全等三角形（知识归纳+题型突破）了解全等三角形的概念和性质，能够准确的辨认全等三角形中的对应元素。掌握并应用“边角边”、“角角边”、“角边角”、“边边边”、“HL”五种方法证明全等。【知识点1】全等图形1、全等图形：能完全重合的图形叫做全等图形．2、全等图形的性质：如果两个图形全等，它们的形状和大小一定相同．【知识点2】图形的全等变换1、全等变换：只改变图形的位置，不改变其形状、大小的图形变换叫做全等变换．2、全等变换有平移、翻折、旋转，变换后得到的新图形与原图形全等．例如：如图所示，图①经过___平移___变换可以得到图②，图③是由图形①经过___旋转___变换得到，图④是由图①___翻折___变换得到的．【知识点3】全等三角形全等三角形定义能够___完全重合___的两个三角形．表示用__≌__表示，左图记作：___△ABC≌△DFE___读法读作：___△ABC全等于△DFE___对应顶点全等三角形___重合___的顶点，如左图，点A对应__点D__，点B对应__点F__，点C对应__点E__．对应边全等三角形___重合___的边，如左图，AB对应__DF__，BC对应__FE__，AC对应__DE__．对应角全等三角形___重合___的角，如左图，∠A对应__∠D__，∠B对应__∠F__，∠C对应__∠E__．【知识点4】全等三角形的性质全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．你还能想到哪些呢？周长和面积相等【知识点5】“SAS”判定方法两边及其___夹角___分别相等的两个三角形全等．判定三角形全等的方法1：简写为___边角边___或___SAS___．书写格式（三步法）第一步：∵在△ABC和△DEF中第二步：第三步：∴△ABC≌___△DEF___（___SAS___）【知识点6】“ASA”判定方法两角及其___夹边___分别相等的两个三角形全等．判定三角形全等的方法2：简写为___角边角___或___ASA___．书写格式（三步法）∵在△ABC和△DEF中∴△ABC≌___△DEF___（___ASA___）【知识点7】“AAS”判定方法___两角___且其中一组等角的___对边___相等的两个三角形全等．（由___ASA___得到的推论）判定三角形全等的方法3：简写为___角角边___或___AAS___．书写格式（三步法）∵在△ABC和△DEF中∴△ABC≌___△DEF___（___AAS___）【知识点8】“SSS”判定方法___三边___分别相等的两个三角形全等．判定三角形全等的方法4：简写为___边边边___或___SSS___．书写格式（三步法）∵在△ABC和△DEF中∴△ABC≌___△DEF___（___SSS___）【知识点9】“HL”判定方法___斜边___与一条___直角边___分别相等的两个三角形全等．判定三角形全等的方法5：简写为___斜边直角边___或___HL___．书写格式（三步法）∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠B=∠B′=90°∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（___HL___）【知识点10】证明的书写步骤①准备条件：证全等时需要用的条件要先证好；②三角形全等书写三步骤：A、写出在哪两个三角形中；B、摆出三个条件用大括号括起来，并在后面标注“已知”或“已证”；C、写出全等结论（字母一定要对应）题型一全等图形的识别【例1】1．下列各项中，两个图形属于全等图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；故选：C．【例2】对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等．其中能获得这两个图形全等的结论共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】解：①周长相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等；②如果面积相同而形状不同也不全等；③如果周长相同面积相同而形状不同，则不全等，④两个图形的形状相同，大小也相等，则二者一定重合，正确．所以只有1个正确，故选A．巩固训练：1．下列各组图形中，属于全等图形的是（

）A．

B．

、C． D．

【答案】C【解析】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意；D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；故选：C．2．对于“全等图形”的描述，下列说法正确的是（

）A．边长相等的图形 B．面积相等的图形C．周长相等的图形 D．能够完全重合的图形【答案】D【解析】解：A.边长相等的两个图形不一定是全等图形，故本选项不符合题意；B.面积相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意；C.周长相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意；D.能够完全重合的两个图形是全等图形，该说法正确，故本选项符合题意．故选：D．题型二全等三角形的概念【例3】下列说法正确的是（

）A．两个直角三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等C．全等三角形的面积一定相等 D．面积相等的两个三角形全等【答案】C【解析】解：A、两个直角三角形不一定全等，故错误，不符合题意；B、形状相同的两个三角形不一定全等，故错误，不符合题意；C、全等三角形的面积一定相等，故正确，符合题意；D、面积相等的两个三角形不一定全等，故错误，不符合题意；故选：C．【例4】下列说法正确的是（

）A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形【答案】D【解析】A、形状相同且大小相同的两个三角形一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；D、边长为的等边三角形都是全等三角形，原说法正确，符合题意；故选：D．巩固训练：3．下列说法正确的是（

）A．周长相等的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等【答案】C【解析】解：A．全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；B．全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；C．正确，符合全等三角形的定义；D．边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误．故选：C．4．下列说法正确的是（

）A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形C．全等三角形的周长和面积分别相等 D．所有的等边三角形是全等三角形【答案】C【解析】解：A、全等三角形的形状相同，但形状相同的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；B、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；C、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，则全等三角形的周长和面积一定相等，故该选项正确；D、两个等边三角形，形状相同，但不一定能完全重合，不一定全等．故该选项错误．故选：C．题型三全等三角形的性质【例5】如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（）A．76° B．62° C．42° D．76°、62°或42°都可以【答案】B【解析】∵两个三角形全等，∴∠1=62°．【例6】如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A=30°，∠CGF=88°，则∠E的度数是（C）A．50° B．44° C．34° D．30°【答案】C【解析】∵CD平分∠BCA，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．【例7】（1）已知△ABC≌△DEF，若AB=10cm，BC=5cm，AC=7cm，则DF等于______．（2）已知△ABC与△DEF，若AB=10cm，BC=5cm，AC=7cm，则DF等于______．【答案】7cm、5cm或7cm或10cm【解析】（1）∵△ABC≌△DEF，∴DF=AC=7cm．（2）①当△ABC≌△DEF时，DF=AC=7cm，②当△ABC≌△FDE时，DF=AB=10cm，③当△ABC≌△EFD时，DF=BC=5cm，∴DF=5cm或7cm或10cm．【例8】一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，，，若这两个三角形全等，则的值是_____．【答案】5或4【解析】由题意得，或，解得：或，x+y=5或x+y=4，故答案为5或4．巩固训练：5．如图，，其中，，，则的周长为．【答案】15【解析】解：∵，，，，∴，，∴的周长为，故答案为：15．6．如图，，，则．

【答案】1【解析】【详解】∵，，∴，∴（）．故答案为：1．题型四“SAS”判定方法【例9】已知A、D、C、F在一条直线上，BC与DE交于点G，AD=CF，BC∥EF且BC=EF，求证：△ABC≌△DEF．【答案】见解析【解析】∵AD=CF，∴AD+DC=CF+DC，∴AC=DF，∵BC∥EF，∴∠ACB=∠DFE，在△ACB和△DFE中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【例10】如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC边上，点D是BC边的中点，且DF∥AB，BE=DF．求证：△BED≌△DFC．【答案】见解析【解析】∵点D是BC边的中点，∴BD=CD，∵DF∥AB，∴∠B=∠FDC，在△BED和△DFC中，，∴△BED≌△DFC（SAS）．【例11】已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB=DE，∠B=∠E，BF=EC．求证：AC∥DF．【答案】见解析【解析】∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACF=∠DFE，∴AC∥DF．【例12】如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且AC=DB，过点D作DE∥AC，并截取AB=DE，且点C、E在AB同侧，连接BE．求证：BC=EB．【答案】见解析【解析】∵DE∥AC，∴∠EDB=∠A．在△DEB与△ABC中，，∴△DEB≌△ABC（SAS），∴EB=BC．巩固训练：7．如图，已知在和中，，，能直接判定的依据是（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】解：在和中，，∴．故选：D．8．如图，与相交于点，且是的中点，则与全等的理由是．

【答案】SAS【解析】解：∵是的中点，∴在和中，∴，故答案为：．9．如图，已知点，，，在一条直线上，，，．求证：【答案】见解析【解析】解：∵∴即：在和中∴.题型五“ASA”判定方法【例13】已知：如图，AB=AE，AB∥DE，∠ECB+∠D=180°．求证：△ABC≌△EAD．【答案】见解析【解析】∵AB∥DE，∴∠CAB=∠E，∵∠ECB+∠D=180°，∠ECB+∠ACB=180°，∴∠D=∠ACB，在△ABC与△EAD中，，∴△ABC≌△EAD（ASA）．【例14】如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BD=BE．【答案】见解析【解析】在△ADC和△AEC中，，∴△ADC≌△AEC（ASA），∴AD=AE，在△ADB和△AEB中，，∴△ADB≌△AEB（SAS），∴BD=BE．【例15】如图所示，∠E=∠F，∠1=∠2，AE=AF，求证：△ACN≌△ABM．【答案】见解析【解析】∵∠1=∠2，∴∠CAF=∠BAE在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AB=AC，∠B=∠C，在△ACN和△ABM中，，∴△ACN≌△ABM（ASA）．巩固训练：10、如图，已知AE=CF，DF∥BE，AD∥BC，求证：△ADF≌△CBE．【答案】见解析【解析】∵AE=CF，∴AF=CE；∵AD∥BC，∴∠A=∠C；∵DF∥BE，∴∠AFD=∠CEB；在△ADF与△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（ASA）．11．如图，七1班同学要测量河两岸相对的两点、的距离，用合适的方法使，，因此测得的长就是的长，在这里判定，最恰当的理由是（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵若要证明，用到的条件是：，，，∴用到的是两角及两角的夹边对应相等，即这一方法，故选：D．12．如图，点B是的中点，，，试说明：．【答案】见解析【解析】解：因为点B是的中点，所以，因为，所以，即．在和中，因为，，，所以题型六“AAS”判定方法【例16】如图，∠A=∠B，AC=BD，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O，求证：△AEC≌△BED．【答案】见解析【解析】∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD=∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO，∴∠AEC=∠BED．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（AAS）．【例17】如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD，求证：AB=BE．【答案】见解析【解析】∵∠1=∠2，∴∠ABD=∠EBC，

在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC，∴AB=BE．【例18】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别为点D，E．求证：DE=AD+BE．【答案】见解析【解析】∵∠ACB=90°，AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠BEC=∠ACB=∠ADC=90°，∴∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴BE=CD，AD=CE，∵CD+CE=DE，∴DE=AD+BE．题型七“SSS”判定方法【例19】如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF．求证：（1）∠D=∠B；（2）OE=OF．【答案】见解析【解析】（1）在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SSS），∴∠D=∠B．（2）在△ADO和△CBO中，，∴△ADO≌△CBO（AAS），∴DO=BO，∴DO−DE=BO−BF，∴EO=FO．【例20】如图，已知点B，C，D，E在同一条直线上，AB=FC，AD=FE，BC=DE．求证：△ABD≌△FCE．【答案】见解析【解析】∵BC=DE，∴BC+CD=DE+CD，即BD=CE，在△ABD和△FCE中，，∴△ABD≌△FCE（SSS）．【例21】人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线，请说明理由．【答案】见解析【解析】射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：在△OMP和△ONP中∴△OMP≌△ONP（SSS），∴∠MOP=∠NOP，∴OP平分∠AOB．巩固训练：13．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵，点D，E分别是，的中点，∴，在和中，，∴，故选：C．14．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由“”可以判定两个三角形全等，，，，故选：C．题型八“HL”判定方法【例22】如图，点C在BE上，AB⊥BE，DE⊥BE，且AB=BE，BC=DE，AC交BD于F．（1）求证：△ABC≌△BED；（2）求∠BFC的度数．【答案】见解析【解析】（1）∵AB⊥BE，DE⊥BE，∴∠ABC=∠BED=90°，在△ABC和△BED中，∴△ABC≌△BED（SAS）；（2）∵△ABC≌△BED，∴∠DBE=∠CAB，∵∠ABC=90°，∴∠CAB+∠ACB=90°．∴∠DBE+∠ACB=90°．∴在△BFC中，∠BFC=90°．【例23】如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：（1）BC=AD；（2）OA=OB．【答案】见解析【解析】（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠ADB=∠ACB=90°，在Rt△ABC和Rt△BAD中，∵∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴BC=AD，（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB．【例24】如图，AB=AC，AE=AF，AE⊥EC于E，AF⊥FB于F，求证：∠1=∠2．【答案】见解析【解析】∵AE⊥EC，AF⊥BF，∴∠AEC=∠AFB=90°，在Rt△AEC与Rt△AFB中，，∴Rt△AEC≌Rt△AFB（HL），∴∠EAC=∠FAB，∴∠EAC−∠BAC=∠FAB−∠BAC，即∠1=∠2．巩固训练：15．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角对应相等 B．斜边和一直角边分别对应相等C．两条直角边分别对应相等 D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等【答案】A【解析】解：A．两锐角对应相等的两个直角三角形，不能判定全等，故此选项符合题意；B．斜边和一直角边分别对应相等的两个直角三角形，根据能判定全等，故此选项不符合题意；C．两条直角边对应相等的两个直角三角形，根据能判定全等，故此选项不符合题意；D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等，先根据，再用可判定全等，故此选项不符合题意．故选：A．16．如图，，，要使得．若以“”为依据，需添加的条件是（）

A． B．C．D．【答案】A【解析】【详解】解：∵，，∴，∴和是直角三角形，∵和有公共直角边，∴以“”为依据判断，需要使，故A正确．故选：A．17．如图，在中，，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，要使和全等，则．【答案】6或12【解析】解：①当时，∵，在与中，∴，∴；②当P运动到与C点重合时，，在与中，∴，∴，∴当点P与点C重合时，才能和全等，综上所述，或12，故答案为：6或12．题型九全等三角形判定与性质综合【例25】如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，添加下列条件，不能判定△EAB≌△BCD的是（）A．EB=BD B．∠E+∠D=90° C．AC=AE+CD D．∠EBD=60°【答案】D【解析】∵∠A=∠C=90°，AB=CD，∴当添加EB=BD时，则可根据“HL”判定△EAB≌△BCD；当添加AE=BC，即AC=AE+CD，则可根据“SAS”判定△EAB≌△BCD；当添加∠ABE=∠D时，此时∠D+∠E=90°，∠EBD=90°，则可根据“SAS”判定△EAB≌△BCD．【例26】如图，∠ABC=∠ABD，要使△ABC≌△ABD，还需添加一个条件，那么在①AC=AD；②BC=BD；③∠C=∠D；④∠CAB=∠DAB这四个关系中可以选择的是______．【答案】②③④【解析】①∵AD=AC，∠ABC=∠ABD，AB=AB，∴根据SSA不能推出△ABC≌△ABD，故错误；②根据BD=BC，AB=AB，∠ABC=∠ABD能推出△ABC≌△ABD（SAS），故正确；③∵∠D=∠C，∠ABC=∠ABD，AB=AB，∴根据AAS能推出△ABC≌△ABD，故正确；④∵∠DAB=∠CAB，AB=AB，∠ABC=∠ABD，∴根据ASA能推出△ABC≌△ABD，故正确．【例27】如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，下列条件中，能判断△ABC≌△DEF的是（）A．BE=CE B．∠A=∠D C．EC=CF D．BE=CF【答案】D【解析】∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B=∠DEF，∠F=∠ACB，A、添加BE=CE，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；B、添加∠A=∠D，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；C、添加EC=CF，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；D、添加BE=CF，可利用ASA定理判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意．【例28】如图所