【人教A版】高中数学必修三：全册作业与测评 单元质量评估(二)（附答案）

单元质量评估（二）（第二章）

（120分钟150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的）

1.为了解2000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40

的样本，则分段的间隔为（）

A.40B.50C.80D.100

【解析】选B.将总体分成均衡的若干份，然后按照预先制定的规则，从每一部

分抽取一个个体，得到所需的样本，就是系统抽样，故2000+40=50.

2.下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必须是正数；

③将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；④在

频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率.其中错误的有

（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【解析】选C.一组数据的众数可能不唯一，即①不对；一组数据的方差必须是

非负数，即②不对；根据方差的定义知③正确；根据频率分布直方图的概念知

④正确.

【补偿训练】下列说法中，正确的是（）

①数据4,6,6,7,9,4的众数是4和6；

②平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势；

③平均数是频率分布直方图的“重心”；

④频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数.

A.①②③B.②③C.②④D.①③④

【解析】选A.结合众数、平均数及频率分布直方图的基本概念可知①②③正确，

对于④频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，而不是频数.

3.某大学数学系共有学生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为

4：3：2：1,要用分层抽样的方法从数学系所有学生中抽取一个容量为200的

样本，则应抽取三年级的学生人数为（）

A.80B.40C.60D.20

【解析】选B.由题意知，应抽取三年级的学生人数为200X错误！未找到引用源。

=40.

4.已知某高中高一800名学生某次考试的数学成绩，现在想知道不低于120分,

90~120分，75~90分，60〜75分，60分以下的学生分别占多少，需要做的工

作是（）

A.抽取样本，据样本估计总体

B.求平均成绩

C.进行频率分布

D.计算方差

【解析】选C.由统计知识可知：想知道不低于120分，90〜120分，75〜90分,

60〜75分，60分以下的学生分别占多少，需要做的工作只能是进行频率分布.

5.如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的

平均重量为（）

A.10B.11C.12D.13

【解析】选C.错误！未找到引用源。=7.5X0.3+12.5X0.5+17.5X0.2=12.

6.（2015•滁州高一检测）根据某市环境保护局公布2010〜2015这六年的空气质

量优良的天数，绘制成折线图如图，根据图中的信息可知，这六年的每年空气

质量优良天数的中位数是（）

A.300B.302.5C.305D.310

【解析】选B.该组数据为290、295、300、305、305、315,共六个数据，所以

其中位数为错误!未找到引用源。（300+305）=302.5.

7.（2015•惠州高一检测）在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中

间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的错误!未找到引用源。，

且样本容量为140,则中间一组的频数为（）

A.28B.40C.56D.60

【解析】选B.设中间一组的频数为x,则其他8组的频数和为错误！未找到引用

源。x,所以x+错误！未找到引用源。x=140,解得x=40.

8.甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2,

全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数是1.8,全年进球数的标

准差为0.3.下列说法中，正确的个数为（）

①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；

③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏.

A.1B.2C.3D.4

【解析】选D.因为甲队的平均进球数比乙队多，所以甲队技术较好，①正确；

乙队的标准差比甲队小，标准差越小越稳定，所以乙队发挥稳定，②也正确；

乙队平均每场进球数为1.8,所以乙队几乎每场都进球，③正确；由于s甲=3,

s乙=0.3,所以甲队与乙队相比，不稳定，所以甲队的表现时好时坏，④正确.

9.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：

父亲身高x/cm174176176176178

儿子身高y/cm175175176177177

则y对x的回归方程为（）

A.y=x-lB,y=x+l

C.尸88+错误!未找到引用源。xD.y=176x

【解析】选C.由题中数据可得错误！未找到引用源。=176,错误！未找到引用源。

=176,所以样本中心点为（176,176）,因为回归直线方程过样本中心点，所以

把点（176,176）代入验证可知C正确.

10.（2015•濮阳高一检测）一组数据中的每一个数据都乘2,再减去80,得到一

组新数据，若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和

方差分别是（）

A.40.6,1.1B.48.8,4.4

C.81.2,44.4D.78.8,75.6

【解析】选A.设原数据的平均数为错误！未找到引用源。，则2错误！未找至4引用

源。-80=1.2,解得错误！未找到引用源。=40.6.设原数据的方差为s2,则4s2=4.4,

即s2=l.1.

11.某工厂对一批产品进行了抽样检测，是根据抽样检测后的产品净重(单位：

克)数据绘制了频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106],样本数据

分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106].已知样

本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于

104克的产品个数是()

A.90B.75C.60D.45

【解析】选A.产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)X2=0.3,设样本容

量为n,由已知得错误！未找到引用源。=0.3,所以n=120.而净重大于或等于98

克而小于104克的产品的频率为(0.100+0.150+0.125)义2=0.75.所以个数为

0.75X120=90.

12.如图1是某高三学生进入高中-二年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第

14次的考试成绩依次记为A”M…,A..如图2是统计茎叶图中成绩在一定范

围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是()

茎叶

79

8638

93988415

1031

114

图1

/输出”/

图2

A.7B.8C.9D.10

【解题指南】本题考查循环结构以及茎叶图.解决此类问题的关键是弄清算法流

程图的含义，分析程序中各变量、各语句的作用.

【解析】选D.根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩

超过90分的次数.根据茎叶图可得超过90分的次数为10.

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线

±）

13.某校选修篮球课程的学生中，高一学生有30名，高二学生有40名，现用分

层抽样的方法在这70名学生中抽取一个容量为n的样本，已知在高一学生中抽

取了6人，则在高二学生中抽取人.

【解析】由高一学生有30名，抽取了6人，可得每个个体被抽到的概率为错误!

未找到引用源。，所以在高二学生中抽取40X错误！未找到引用源。=8.

答案：8

14.（2015•宝鸡高一检测）随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间

购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图，这12位同学购书费用的中位数

是.

1357

222469

31557

【解析】因为错误!未找到引用源。=25,所以中位数为25.

答案：25

15.（2015•苏州高一检测）已知样本6,7,8,9,m的平均数是8,则标准差是

【解析】由题意得8=错误！未找到引用源。，m=10,所以标准差是

错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.

答案：错误！未找到引用源。

【补偿训练】将容量为50的样本数据，按从小到大的顺序分成4组如下表，则

第3组的频率为.（要求将结果化为最简分数）

组号1234

频数111413

【解析】第3组的频数为50717473=12,故频率为错误！未找到引用源。二错

误！未找到引用源。.

答案：错误！未找到引用源。

16.许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一，在研究这两个因素的关系时

收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比（x）和收入低于官方

规定的贫困线的人数占本州人数的百分比（y）的数据，建立的回归直线方程为

=0.8x+4.6,斜率的估计值等于0.8说明,成年人受过9年或更少教

育的百分比（x）和收入低于官方的贫困线的人数占本州人数的百分比（y）之间的

相关系数（填“大于0”或“小于0”）.

【解析】根据回归直线方程=0.8x+4.6是反映美国50个州的成年人受过9年或

更少教育的百分比（x）和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分

比（y）这两个变量的，而0.8是回归直线的斜率，又0.8>0,即>0,根据与r

同号的关系知r>0.

答案：受过9年或更少教育的人数每增加1个百分比，那么低于官方规定的贫

困线的人数占本州人数就增加0.8个百分比大于0

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证

明过程或演算步骤）

17.（10分）2015年春节前，有超过20万名来自广西、四川的外来务工人员选择

驾乘摩托车沿321国道返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶而引

发交通事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个休息站，让过往

的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所.交警小李在某休息站连续5天对进站

休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就对其省籍询问一次，询问结果如图所示：

（1）交警小李对进休息站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？

（2）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，

则四川籍的应抽取几名？

【解析】（1）根据题意，因为有相同的间隔，符合系统抽样的特点，所以交警小

李对进体息站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法.

（2）从题干图中可知，被询问了省籍的驾驶人员中

广西籍的有5+20+25+20+30=100（人），

四川籍的有15+10+5+5+5=40（人）,

设四川籍的驾驶人员应抽取x名，依题意得错误！未找到引用源。=错误！未找到

引用源。，

解得x=2,即四川籍的应抽取2名.

18.（12分）为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A、B两位同学在学校

学习基地现场进行加工直径为20mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的

相关数据如图1所示.（单位：mm）

零件直径/mm

图1

平均数方差完全符合要求的个数

A200.0262

B205

SR

根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：

(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些.

⑵计算出错误!未找到引用源。的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好

些.

(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认

为派谁去参赛较合适?说明你的理由.

【解析】(1)因为A、B两位同学成绩的平均数相同，B同学加工的零件中完全符

合要求的个数较多，由此认为B同学的成绩好些.

⑵因为错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。X[5X(20-20)2+3X

(19.9-20)2+(20.1-20)2+(20.2-20)2]=0.008,且错误！未找到引用源。=0.026,

所以错误！未找到引用源。＞错误！未找到引用源。在平均数相同的情况下，B同

学的波动小，所以B同学的成绩好些.

⑶从题干图中折线走势可知，尽管A同学的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，

误差小，预测A同学的潜力大，而B同学比较稳定，潜力小，所以选派A同学

去参赛较合适.

19.（12分）（2015•赤峰高一检测）如图是调查某地某公司1000名员工的月收入

后制作的直方图.根据直方图估计：

（1）该公司月收入在1000元到1500元之间的人数.

（2）该公司员工的月平均收入.

（3）该公司员工收入的众数.

（4）该公司员工月收入的中位数.

【解题指南】（1）直方图类的题，核心是要抓住频率之和为1,图中仅有欲求频

率未知，所以用1减去其余各组频率之和即可，然后乘于总人数可得所求.

⑵由直方图求平均数只需用频率分布直方图各个小矩形的面积（即频率）乘底

边中点的横坐标，然后求和可得.

⑶众数在频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标.

⑷直方图中，中位数左边和右边的面积相等，都是0.5,据此易得所求.

【解析】（1）根据频率分布直方图知，满足条件的频率为：

1-500（0.0001+0.0003+0.0004+0.0005X2）=1-0.9=0.1,

所以满足条件的人数为：1000X0.1=100（人）.

⑵据题意该公司员工的平均收入为：

500X0.0002X1250+500X0.0004X1750+500X0.0005X2250+500X0.0005X

2750+500X0,0003X3250+500X0.0001X3750=2400（元）.

⑶根据频率分布直方图知，最高矩形（由两个频率相同的矩形构成）的底边中点

的横坐标为2500,即公司员工收入的众数为2500元；

（4）根据频率分布直方图知，

中位数介于2000元至2500元之间，

故可设中位数为X,

则由0.0002X500+0.0004X500+0.0005X（x-2000）=0.5nx=2400,

即公司员工收入的中位数为2400元.

20.（12分）（2014•北京高考）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外

阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布和频率分布直方

图：

组号分组频数

1[0,2)6

2[2,4)8

3[4,6)17

4[6,8)22

5[8,10)25

6[10,12)12

7[12,14)6

8[14,16)2

9[16,18)2

合计100

（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时

的概率.

（2）求频率分布直方图中的a,b的值.

（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100

名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）.

【解析】（1）根据频数分布表，100名学生中，课外阅读时间不少于12小时的学

生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1-

错误！未找到引用源。=0.9.

从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.

⑵课外阅读时间落在［4,6）的人数为17人，频率为0.17,所以，a二错误！未找

到引用源。二错误！未找到引用源。=0.085,同理，b二错误！未找到引用源。=0.125.

⑶样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.

21.（12分）某零售店近5个月的销售额和利润额资料如下表：

商店名称ABCDE

销售额X/千万元35679

利润额y/百万元23345

⑴画出散点图.观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系.

（2）用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的回归直线方程.

（3）当销售额为4千万元时，利用⑵的结论估计该零售店的利润额（百万元）.

_

Z（Xi-x）（y-y）__

[参考公式：b=上―----=---,a=y-x]

£区-

1=1

【解析】（1）散点图如图所示，两个变量有线性相关关系.

V百万元

5­・

4■•

3■••

2­•

Pi3g：567：6；/千万元

⑵设回归直线方程是产6x+A.

由题中的数据可知错误！未找到引用源。=3.4,错误！未找到引用源。=6.

所以6二错误！未找到引用源。=

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=0.5.

齐错误！未找到引用源。-G错误!未找到引用源。=3.4-0.5X6=0.4.

所以利润额y关于销售额x的回归直线方程为

产0.5x+0.4.

（3）由（2）知，当x=4时，尸0.5X4+0.4=2.4,所以当销售额为4千万元时，可

以估计该商场的利润额为2.4百万元.

22.（12分）（2015•淄博高一检测）已知某池塘养殖着鲤鱼和鲫鱼，为了估计这两

种鱼的数量，养殖者从池塘中捕出这两种鱼各1000条，给每条鱼做上不影响其

存活的标记，然后放回池塘，待完全混合后，再每次从池塘中随机地捕出1000

条鱼，记录下其中有记号的鱼的数目，立即放回池塘中.这样的记录做了10次,

并将记录获取的数据制作成如图所示的茎叶图.

（1）根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数，并估计池塘中的鲤鱼和

鲫鱼的数量.

⑵为了估计池塘中鱼的总重量，现按照⑴中的比例对100条鱼进行称重，根

据称重鱼的重量介于［0,4.5］（单位：千克）之间，将测量结果按如下方式分成

九组：第一组［0,0.5）,第二组［0.5,1）,…，第九组［4,4.5］.如图是按上述

分组方法得到的频率分布直方图的一部分.

①估汁池塘中鱼的重量在3千克以上（含3千克）的条数;

②若第三组鱼的条数比第二组多7条、第四组鱼的条数比第三组多7条，请将

频率分布直方图补充完整;

③在②的条件下估计池塘中鱼的重量的众数及池塘中鱼的总重量.

鲤鱼鲫鱼

1679

20001133