高一数学新教材同步配套教学讲义(人教A版必修第二册)8.5空间直线、平面的平行(原卷版+解析)

8.5空间直线、平面的平行【知识点梳理】知识点一、平行线的传递性基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示:a∥b，b∥c⇒a∥c.知识点二、等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.知识点三、直线和平面平行的判定文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.图形语言：符号语言：、，.知识点诠释：（1）用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件：①直线a在平面外，即；②直线b在平面内，即；③直线a，b平行，即a∥b．这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．知识点四、两平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.图形语言：符号语言：若、，，且、，则.知识点诠释：（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行面面平行．知识点五、判定平面与平面平行的常用方法1．利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法．2．利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．3．平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行．知识点六、直线和平面平行的性质文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行.符号语言：若，，，则.图形语言：知识点诠释：直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥，，，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即；（3）直线a在平面内，即．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误．知识点七、平面和平面平行的性质文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号语言：若，，，则.图形语言：知识点诠释：（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．知识点八、空间平行关系的注意事项直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示.【典型例题】题型一基本事实4的应用例1．（2023·全国·高一课时练习）已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形．解题技巧（证明两直线平行的常用方法）(1)利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边;(2)定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;(3)利用基本事实4:找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.例2．（2023·全国·高一课时练习）如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行．例3．（2023·全国·高一课时练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画?并说明理由.题型二等角定理的应用例4．（2023·全国·高一课时练习）若，且，与方向相同，则下列结论正确的有（）A．且方向相同 B．，方向可能不同C．OB与不平行 D．OB与不一定平行解题技巧(应用等角定理的注意事项)空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.注意观察两角的方向是否相同，若相同，则两角相等；若不同，则两角互补.例5．（2023·全国·高一课时练习）设和的两边分别平行，若，则的大小为___________.例6．（2023·全国·高一课时练习）空间中有两个角、，且角、的两边分别平行.若，则________.例7．（2023·全国·高一课时练习）如图，三棱柱中，，，分别为，，的中点.求证：.题型三直线与平面平行的判断定理的理解例8．(2023·湖北·武汉市第十五中学高二期末）若直线a不平行于平面，则下列结论正确的是（）A．内的所有直线均与直线a异面 B．直线a与平面有公共点C．内不存在与a平行的直线 D．内的直线均与a相交解题技巧（判定定理理解的注意事项）(1)明确判定定理的关键条件.(2)充分考虑各种可能的情况.(3)特殊的情况注意举反例来说明.例9．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）如图，点，，，，是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中不能满足平面的是（）A． B．C． D．例10．（2023·全国·高一课时练习）对于直线m，n和平面α，下列命题中正确的是（）A．如果m⊂α，nα，m，n是异面直线，那么nαB．如果m⊂α，nα，m，n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，nα，m，n共面，那么mnD．如果mα，nα，m，n共面，那么mn题型四直线与平面平行的判定例11．(2023·陕西汉中·高一期末）如图，在直三棱柱中，点为的中点，，，.证明：平面.解题技巧：(判定定理应用的注意事项)(1)欲证线面平行可转化为线线平行解决.(2)判断定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求.常常利用平行四边形、三角形中位线、等比例线段、相似三角形.例12．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点.求证：平面BDE.例13．（2023·全国·高一课时练习）如图，在正方体中，M，N分别为和的中点.求证：平面ABCD.题型五：补全直线与平面平行的条件例14．（2023·全国·高一课时练习）在三棱柱中，D，E分别是线段的中点，在线段上是否存在一点M，使直线平面？请证明你的结论．解题技巧：(判断或证明线面平行的常用方法)（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；（4）利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．例15．（2023·广东顺德·高一阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点，，分别为线段，，的中点．（1）证明：平面；（2）在线段上找一点，使得平面，并说明理由．例16．（2023·河南·高一阶段练习）如图所示，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点，分别是棱，上的点，点是线段上的动点，．（1）当点在何位置时，平面？（2）若平面，判断与的位置关系，说明理由；并求与所成的角的余弦值．题型六：直线与平面平行的性质例17．（2023·全国·高一课时练习）有一块木料如图所示，已知棱BC平行于平面A′B′C′D′，要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线和平面ABCD有什么关系？解题技巧(性质定理应用的注意事项)(1)欲证线线平行可转化为线面平行解决，常与判定定理结合使用.(2)性质定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求.常利用中位线性质.例18．（2023·全国·高一课时练习）如图，在四棱锥的底面ABCD中，．回答下面的问题：(1)在侧面内能否作一条线段，使其与DC平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由；(2)在侧面PBC中能否作出一条线段，使其与AD平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由．例19．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，已知是所在平面外一点，分别是的中点，平面平面．求证：（1）；（2）平面．题型七：由线面平行的性质判断比例关系或点的位置关系例20．（2023·全国·高一课时练习）如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，点在棱上，平面．求证：为的中点；例21．（2023·山东师范大学附中高一期中）如图，四棱锥中，平面，，，，，在线段上，，．（1）求三棱锥的体积；（2）线段上是否存在一点，使平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．（3）若为的中点，在（2）的条件下，过的平面交平面于直线，求证：例22．（2023·全国·高一课时练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点，点在侧棱上，且，若平面，试确定实数的值.题型八：由线面平行的性质求长度问题例23．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点在上移动，点在上移动，，连接.（1）证明：对任意，总有平面；（2）当为何值时，的长度最小？例24．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，在三棱柱中，分别是线段的中点.（1）在线段上是否存在一点，使直线平面？（2）在问题（1）中，若存在点，则点在什么位置？如何证明你的结论？题型八、平面与平面平行的判定定理的理解例25．（2023·全国·高一课时练习）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，则例26．（2023·全国·高一课时练习）设a，b是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则题型九、平面与平面平行的判定例27．（2023·陕西·西安中学高一阶段练习）如图所示，已知点P是平行四边形所在平面外一点，M，N，Q分别，，的中点，平面平面．(1)证明平面平面；(2)求证：．例28．（2023·全国·高一课时练习）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱BB1的中点．(1)求证：B1D∥平面ACE．(2)若F是棱CC1的中点，求证：平面B1DF∥平面ACE．例29．（2023·全国·高一课时练习）如图，在正方体中，P，Q，R分别为棱，BC，上异于顶点的点，M，N，K分别为线段AP，PQ，QR的中点．求证：平面平面ABCD．题型十、补全平面与平面平行的条件例30．（2023·全国·高一课时练习）已知正方体中，P､Q分别为对角线BD､上的点，且.(1)作出平面PQC和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面；(2)若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明.例31．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面平面？例32．（2023·重庆市第三十七中学校高一期中）如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）；（1）求证：平面.（2）在上确定一点，使平面平面.题型十一、平面与平面平行的性质例33．（2023·全国·高一课时练习）如图，在三棱锥中，，，分别是，，的中点．是上一点，连接，是与的交点，连接，求证：．解题技巧（性质定理应用的注意事项）面面平行的性质定理是由面面平行得到线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个平面:即两个平行平面，一个经过两直线的平面，有时需要添加辅助面.例34．（2023·全国·高一课时练习）在三棱柱中，（1）若分别是的中点，求证：平面平面.（2）若点分别是上的点，且平面平面，试求的值．题型十二、由面面平行证线面平行例35．（2023·全国·高一课时练习）如图①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P-ABCD，如图②.求证:在四棱锥P-ABCD中，AP平面EFG.例36．（2023·广东·珠海市艺术高级中学高一期中）如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M､N分别是AB､PC的中点（1）求证：MN平面PAD；（2）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ平面PAD.题型十三、空间平行的转化例37．（2023·全国·高一课时练习）在长方体中，经过与能否作长方体的截面？为什么？例38．（2023·全国·高一课时练习）如图，在正方体中，M为棱的中点．（1）试作出平面与平面的交线l，并说明理由；（2）用平面去截正方体，所得两部分几何体的体积分别为，，求的值．题型十四、线面、面面平行的判定与性质的综合应用例39．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，矩形和矩形中，，点M，N分别位于上，且，矩形可沿任意翻折．（1）求证：当F，A，D不共线时，线段总平行于平面．（2）“不管怎样翻折矩形，线段总和线段平行，”这个结论对吗？如果对，请证明；如果不对，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立．解题技巧(空间平行关系的注意事项)直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示.例40．（2023·全国·高一课时练习）如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．求证：（1）EG平面BB1D1D；（2）平面BDF平面B1D1H.例41．（2023·浙江·台州市路桥区东方理想学校高一阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，．求证：（1）平面；（2）平面平面．【同步练习】一、单选题1．（2023·全国·高一课时练习）在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023·全国·高一课时练习）如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是边AC，CD，BD，AB的中点，且AD=BC，那么四边形EFGH是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形3．（2023·湖北·高一期末）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有（）个①．②．③．④．A． B． C． D．4．（2023·全国·高一课时练习）在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且，H，G分别为BC，CD的中点，则（）A．平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B．平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D．平面ADC，且四边形EFGH是梯形5．（2023·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，∥平面，则的值为（）A．1 B． C．3 D．26．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，正方体，E在上，F在上，且，过E作交BD于H，则平面EFH与平面的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．垂直 D．以上都有可能7．（2023·全国·高一课时练习）正方体的棱长为2，E，F，G，H分别为，AD，，的中点，则过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面的面积为（）A． B．2 C． D．48．（2023·全国·高一课时练习）在三棱台中，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（）A．三角形边界的一部分 B．一个点C．线段的一部分 D．圆的一部分二、多选题9．（2023·全国·高一课时练习）(多选题)下列命题中，错误的结论有（）A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行10．（2023·全国·高一课时练习）已知表示两条直线，表示三个不重合的平面，给出下列命题，正确的是（）A．若，且，则B．若相交，且都在外，，则C．若，且，则D．若，则11．（2023·全国·高一课时练习）(多选题)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下说法正确的是（）A．BM∥平面ADE B．CN∥平面BAF C．平面BDM∥平面AFN D．平面BDE∥平面NCF12．（2023·浙江浙江·高一期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面内（包括边界）一动点，且平面EFG，则（）A． B．平面EFGC．三棱锥的体积为 D．P点的轨迹长度为2三、填空题13．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，直线平面，点平面，并且直线a和点A位于平面两侧，点B，C，，AB，AC，AD分别交平面于点E，F，G，若，，，则EG=______.14．（2023·全国·高一课时练习）如图所示﹐在三棱柱中，截面与平面ABC交于直线a，则直线a与直线的位置关系为______.15．（2023·全国·高一课时练习）如图，在正方体中，，，，分别是棱、、、的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则满足________时，有平面．16．（2023·山西柳林·高一阶段练习）在斜三棱柱中，点，分别为，上的点，若平面平面，则_______．四、解答题17．（2023·全国·高一课时练习）长方体中，分别为棱的中点.（1）求证：；（2）求证：.18．（2023·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，，D为AC的中点，，.(1)求证：平面；(2)求三棱柱的表面积19．（2023·浙江·诸暨中学高一期中）如图，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，M为上一点，且．(1)求证：平面；(2)若为正三角形，，求异面直线与所成角的余弦值；(3)若点P到底面的距离为3，求三棱锥的体积．20．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l.求证:（1）l∥BC;（2）MN∥平面PAD．21．（2023·安徽·舒城育才学校高一阶段练习（理））如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E是AB的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且．（1）设平面EFG∩AD=H，AD=λAH，求λ的值（2）试证明四边形EFGH是梯形．22．（2023·山东任城·高一期中）如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点．求证：（1）直线平面；（2）平面平面；（3）若正方体棱长为1，过，，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．23．（2023·山西柳林·高一阶段练习）如图，在正三棱柱中，为棱的中点．（1）若是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为多少？（2）在线段上确定一点，使得平面，并说明理由．24．（2023·重庆南开中学高一阶段练习）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点.（1）求证：；（2）求证：平面；（3）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由.8.5空间直线、平面的平行【知识点梳理】知识点一、平行线的传递性基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示:a∥b，b∥c⇒a∥c.知识点二、等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.知识点三、直线和平面平行的判定文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.图形语言：符号语言：、，.知识点诠释：（1）用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件：①直线a在平面外，即；②直线b在平面内，即；③直线a，b平行，即a∥b．这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．知识点四、两平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.图形语言：符号语言：若、，，且、，则.知识点诠释：（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行面面平行．知识点五、判定平面与平面平行的常用方法1．利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法．2．利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．3．平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行．知识点六、直线和平面平行的性质文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行.符号语言：若，，，则.图形语言：知识点诠释：直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥，，，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即；（3）直线a在平面内，即．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误．知识点七、平面和平面平行的性质文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号语言：若，，，则.图形语言：知识点诠释：（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．知识点八、空间平行关系的注意事项直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示.【典型例题】题型一基本事实4的应用例1．（2023·全国·高一课时练习）已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形．【解析】证明：如图所示：连接AC，由正方体的性质可知：AA′=CC′，AA′CC′，∴四边形AA′C′C为平行四边形，∴A′C′=AC．A′C′AC，又∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN∥AC，且MN＝AC，∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．∴四边形MNA′C′是梯形．解题技巧（证明两直线平行的常用方法）(1)利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边;(2)定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;(3)利用基本事实4:找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.例2．（2023·全国·高一课时练习）如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行．【解析】在三棱锥中，M，N分别为棱SA，SC的中点，则有MN//AC，而E，F分别为棱AB，BC的中点，则有EF//AC，由平行公理得：MN//EF，所以直线MN与直线EF平行．例3．（2023·全国·高一课时练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画?并说明理由.【解析】如图，在平面A1B1C1D1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于E，交C1D1于F，∴直线EF即为所求.理由如下：由EF∥B1C1，BC∥B1C1，则EF∥BC.题型二等角定理的应用例4．（2023·全国·高一课时练习）若，且，与方向相同，则下列结论正确的有（）A．且方向相同 B．，方向可能不同C．OB与不平行 D．OB与不一定平行答案：D【解析】解：如图，；当∠AOB=∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，OB与O1B1是不一定平行．故选：D．解题技巧(应用等角定理的注意事项)空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.注意观察两角的方向是否相同，若相同，则两角相等；若不同，则两角互补.例5．（2023·全国·高一课时练习）设和的两边分别平行，若，则的大小为___________.答案：45°或135°【解析】【详解】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补.故答案为：45°或135°.例6．（2023·全国·高一课时练习）空间中有两个角、，且角、的两边分别平行.若，则________.答案：或【解析】因为角与两边对应平行，但方向不确定，所以与相等或互补，故或.故答案为：或.例7．（2023·全国·高一课时练习）如图，三棱柱中，，，分别为，，的中点.求证：.【解析】证明：因为，分别是，的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以.同理可证，又与方向相同，所以.题型三直线与平面平行的判断定理的理解例8．(2023·湖北·武汉市第十五中学高二期末）若直线a不平行于平面，则下列结论正确的是（）A．内的所有直线均与直线a异面 B．直线a与平面有公共点C．内不存在与a平行的直线 D．内的直线均与a相交答案：B【解析】若直线a不平行与平面，则直线a与平面相交或在平面内.A：内的所有直线均与直线a异面错误，也可能相交，故A错误；B：直线a与平面相交或直线a在平面内都有公共点，故B正确；C：平面内不存在与a平行的直线，错误，当直线a在平面内就存在与a平行的直线，故C错误；D：平面内的直线均与a相交，错误，也可能异面，故D错误.故选：B解题技巧（判定定理理解的注意事项）(1)明确判定定理的关键条件.(2)充分考虑各种可能的情况.(3)特殊的情况注意举反例来说明.例9．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）如图，点，，，，是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中不能满足平面的是（）A． B．C． D．答案：B【解析】对于A选项，由下图可知，平面，平面，所以平面，故选项A不符合题意.对于B选项，设是的中点，由下图，结合正方体的性质可知，，所以六点共面，故平面，因此选项B符合题意.对于C选项，由下图可知，平面，平面，所以平面，故选项C不符合题意.对于D选项，设，由于四边形是矩形，所以是中点，由于是中点，所以，由于平面，平面，所以平面，故选项D不符合题意.故选：B例10．（2023·全国·高一课时练习）对于直线m，n和平面α，下列命题中正确的是（）A．如果m⊂α，nα，m，n是异面直线，那么nαB．如果m⊂α，nα，m，n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，nα，m，n共面，那么mnD．如果mα，nα，m，n共面，那么mn答案：C【解析】对于A，如图①，此时n与α相交，故选项A不正确;对于B，如图②，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故选项B不正确;对于C，如果m⊂α，nα，则mn或者m，n异面，又m，n共面，那么mn，故选项C正确对于D，如图③，m与n相交，故选项D不正确.故选：C题型四直线与平面平行的判定例11．(2023·陕西汉中·高一期末）如图，在直三棱柱中，点为的中点，，，.证明：平面.【解析】证明：连接，交于，连接，因为是直三棱柱，所以为中点，而点为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面．解题技巧：(判定定理应用的注意事项)(1)欲证线面平行可转化为线线平行解决.(2)判断定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求.常常利用平行四边形、三角形中位线、等比例线段、相似三角形.例12．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点.求证：平面BDE.【解析】设与交于点，连接，因为四边形为正方形，所以，因为四边形ACEF是矩形，所以∥，，因为M是线段EF的中点，所以，所以，∥，所以四边形为平行四边形，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，例13．（2023·全国·高一课时练习）如图，在正方体中，M，N分别为和的中点.求证：平面ABCD.【解析】在正方体中，取AB中点E，连接CE，ME，如图，因M是的中点，则ME//AA1//CC1，且，又N是的中点，于是得ME//CN，且，则有四边形CEMN是平行四边形，从而有MN//CE，平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD.题型五：补全直线与平面平行的条件例14．（2023·全国·高一课时练习）在三棱柱中，D，E分别是线段的中点，在线段上是否存在一点M，使直线平面？请证明你的结论．【解析】存在．证明：如图，取线段的中点M，连接，设O为的交点，则O为的中点．连接，则分别为，的中位线，所以，因此，连接，从而四边形为平行四边形，则．因为直线平面，平面，所以直线平面．即线段上存在一点M（线段的中点），使直线平面．解题技巧：(判断或证明线面平行的常用方法)（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；（4）利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．例15．（2023·广东顺德·高一阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点，，分别为线段，，的中点．（1）证明：平面；（2）在线段上找一点，使得平面，并说明理由．【解析】（1）证明：∵、分别是，中点，∴，且∵平面，平面，∴平面；（2）如图，设，与分别交于，两点，易知，分别是，中点，∴，且∵平面，平面，∴平面，即点为所找的点．且H为BD的三等分点例16．（2023·河南·高一阶段练习）如图所示，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点，分别是棱，上的点，点是线段上的动点，．（1）当点在何位置时，平面？（2）若平面，判断与的位置关系，说明理由；并求与所成的角的余弦值．【解析】（1）如图所示：取的中点，连接，过点作于点．因为，，平面，所以．又因为，，所以且，所以四边形为矩形，所以．又平面，平面，故平面，此时点为的中点．（2）由（1）知，所以与异面，就是异面直线与所成的角或其补角．因为，底面边长为2，所以，，，所以，所以与所成的角的余弦值为．题型六：直线与平面平行的性质例17．（2023·全国·高一课时练习）有一块木料如图所示，已知棱BC平行于平面A′B′C′D′，要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线和平面ABCD有什么关系？【解析】解：因为平面，平面，平面平面，所以如图，在平面过点作线段，所以又平面，平面.连接和，则就是所要画的线．因为，平面，平面，所以平面，而显然和平面相交.解题技巧(性质定理应用的注意事项)(1)欲证线线平行可转化为线面平行解决，常与判定定理结合使用.(2)性质定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求.常利用中位线性质.例18．（2023·全国·高一课时练习）如图，在四棱锥的底面ABCD中，．回答下面的问题：(1)在侧面内能否作一条线段，使其与DC平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由；(2)在侧面PBC中能否作出一条线段，使其与AD平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由．【解析】(1)能；过作一平面，交于，交于，则即为所求.证明：面，面，面，面面，；(2)①若，则能；过作一平面，交于，交于，则即为所求.证明：面，面，面.面面，；②若不平行于，则与必相交于一点，设为，面，在侧面中不能作的平行线.例19．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，已知是所在平面外一点，分别是的中点，平面平面．求证：（1）；（2）平面．【解析】（1）因为平面平面，所以平面．又因为平面平面平面，所以．（2）如图，取的中点，连接，则，且，又因为，且，所以，且．所以四边形是平行四边形．所以．又因为平面平面，所以平面．题型七：由线面平行的性质判断比例关系或点的位置关系例20．（2023·全国·高一课时练习）如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，点在棱上，平面．求证：为的中点；【解析】证明：连接，交于点，连接．∵面，面面，面，面，∴．∵四边形是正方形，，即是的中点．∴△中是中位线，故为的中点．例21．（2023·山东师范大学附中高一期中）如图，四棱锥中，平面，，，，，在线段上，，．（1）求三棱锥的体积；（2）线段上是否存在一点，使平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．（3）若为的中点，在（2）的条件下，过的平面交平面于直线，求证：【解析】（1）直角梯形中，由，，，，知，∴，∴，（2）存在点为线段的中点．取的中点，连，，由三角形的中位线的性质，，，又，，所以∥，，所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，（3）设过的平面为，由（2）知点为线段的中点，又为的中点∴，又面，平面∴平面又面面，平面∴例22．（2023·全国·高一课时练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点，点在侧棱上，且，若平面，试确定实数的值.【解析】如图，连接交于点，交于点，连接，易知为的中点.∵分别为正三角形的边上的中线，∴为正三角形的中心.设菱形的边长为，则，.∵平面，平面，平面平面，∴，∴即，∴实数的值为.题型八：由线面平行的性质求长度问题例23．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点在上移动，点在上移动，，连接.（1）证明：对任意，总有平面；（2）当为何值时，的长度最小？【解析】（1）证明：如图，作，交于点，作，交于点，连接.因为是正方形，所以有，因此有，因为，所以，同理可证明，因此，则四边形为平行四边形，.又平面，平面，平面.（2）由（1）知四边形为平行四边形，.，，即，故当时，的长度有最小值，最小值为.例24．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，在三棱柱中，分别是线段的中点.（1）在线段上是否存在一点，使直线平面？（2）在问题（1）中，若存在点，则点在什么位置？如何证明你的结论？【解析】（1）存在，为线段的中点；（2）为线段的中点，如图，取线段的中点，连接，设为与的交点，则为的中点.连接，则分别为的中位线，所以，且且，因此.连接，从而四边形为平行四边形，则.因为直线平面平面，所以直线平面.所以线段上存在一点（线段的中点），使直线平面.题型八、平面与平面平行的判定定理的理解例25．（2023·全国·高一课时练习）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，则答案：D【解析】选项A：有可能出现的情况；选项B：和有可能异面；选项C：和有可能相交；选项D：由，，得直线和平面没有公共点，所以，故选：D例26．（2023·全国·高一课时练习）设a，b是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则答案：AD【解析】在选项A中，，由线面平行判定定理得，，故A项正确；在选项B中，，则a与b平行或异面，故B项错误；在选项C中，，则与相交或平行，故C项错误；在选项D中，由面面平行的性质定理得D项正确．故选：AD﹒题型九、平面与平面平行的判定例27．（2023·陕西·西安中学高一阶段练习）如图所示，已知点P是平行四边形所在平面外一点，M，N，Q分别，，的中点，平面平面．(1)证明平面平面；(2)求证：．【解析】(1)证明：因为M，N，Q分别，，的中点，所以，又平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，平面ABCD，因为，平面MNQ，所以平面平面，(2)证明：因为，平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以.例28．（2023·全国·高一课时练习）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱BB1的中点．(1)求证：B1D∥平面ACE．(2)若F是棱CC1的中点，求证：平面B1DF∥平面ACE．【解析】(1)连BD，使BD∩AC＝G，连EG．∵ABCD是正方形，BD∩AC＝G，∴DG＝BG．又∵E是BB1中点，∴B1E＝BE，∴DB1∥GE，又平面ACE，平面ACE，∴B1D∥平面ACE．(2)∵E是棱BB1的中点，F是棱CC1的中点．∴B1E∥CF且B1E＝CF，∴四边形B1ECF是平行四边形，∴B1F∥CE，又∴平面ACE，平面ACE，∴B1F∥平面ACE，由（1）B1D∥平面ACE，又∵DB1∩B1F＝B1，∴平面B1DF∥平面ACE．例29．（2023·全国·高一课时练习）如图，在正方体中，P，Q，R分别为棱，BC，上异于顶点的点，M，N，K分别为线段AP，PQ，QR的中点．求证：平面平面ABCD．【解析】连接，在中，因为M，N，分别为线段AP，FQ的中点．所以，又平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，同理，因为平面，平面，所以平面，因为平面ABCD平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面ABCD．题型十、补全平面与平面平行的条件例30．（2023·全国·高一课时练习）已知正方体中，P､Q分别为对角线BD､上的点，且.(1)作出平面PQC和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面；(2)若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明.【解析】(1)连结CP并延长与DA的延长线交于M点，则平面PQC和平面的线为，因为四边形ABCD为正方形，所以，故，所以，又因为，所以，所以.又平面，PQ不在平面内，故平面.(2)当的值为时，能使平面平面.证明：因为，即，故，所以.又平面，PR不在平面内，所以平面，又，平面.所以平面平面.例31．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面平面？【解析】当为的中点时，平面平面．连接，因为为的中点，为的中点，所以．又，所以且，所以四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．连接，则，又为的中点，为的中点，所以．平面，平面，所以平面．又，所以平面平面．例32．（2023·重庆市第三十七中学校高一期中）如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）；（1）求证：平面.（2）在上确定一点，使平面平面.【解析】（1）在线段上取一点，使得，因为是上靠近的三等分点，所以，所以，且，又因为是上靠近的三等分点，所以，又因为底面为平行四边形，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）存在点，点满足，证明：因为是上靠近的三等分点，所以，且，所以，又因为平面，平面，所以平面，由（1）知平面，且平面，平面，所以平面平面.题型十一、平面与平面平行的性质例33．（2023·全国·高一课时练习）如图，在三棱锥中，，，分别是，，的中点．是上一点，连接，是与的交点，连接，求证：．【解析】因，分别是，的中点，则，又平面，平面，于是得平面，同理平面，且，平面，则有平面平面，又平面平面，平面平面，所以．解题技巧（性质定理应用的注意事项）面面平行的性质定理是由面面平行得到线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个平面:即两个平行平面，一个经过两直线的平面，有时需要添加辅助面.例34．（2023·全国·高一课时练习）在三棱柱中，（1）若分别是的中点，求证：平面平面.（2）若点分别是上的点，且平面平面，试求的值．【解析】（1）∵分别是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面，又∵，平面，∴平面平面；（2）连接交于O，连接，由平面平面，且平面平面，平面平面，∴，则，又由题设，∴，即.题型十二、由面面平行证线面平行例35．（2023·全国·高一课时练习）如图①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P-ABCD，如图②.求证:在四棱锥P-ABCD中，AP平面EFG.【解析】在四棱锥P-ABCD中，E，F分别为PC，PD的中点，∴EFCD.∵ABCD，∴EFAB.∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF平面PAB.同理EG平面PAB.又EF∩EG=E，∴平面EFG平面PAB.∵AP⊂平面PAB，∴AP平面EFG.例36．（2023·广东·珠海市艺术高级中学高一期中）如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M､N分别是AB､PC的中点（1）求证：MN平面PAD；（2）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ平面PAD.【解析】（1）证明：取中点，连接，分别是的中点，.，又面，面，∴面.同理可证：面.又面，面，，平面平面，平面，平面（2）解：假设第一问的即为所求在的中点，分别是的中点，为的中点且则平面平面且所以平面平面.所以第一问的点即为所求，当在的中点时，平面平面.题型十三、空间平行的转化例37．（2023·全国·高一课时练习）在长方体中，经过与能否作长方体的截面？为什么？【解析】如下图所示：假设直线与共面，这两条直线确定平面，因为平面平面，平面平面，平面平面，则，因为，则，矛盾.故与异面，所以，经过与不能作长方体的截面.例38．（2023·全国·高一课时练习）如图，在正方体中，M为棱的中点．（1）试作出平面与平面的交线l，并说明理由；（2）用平面去截正方体，所得两部分几何体的体积分别为，，求的值．【解析】解：（1）作法：如图，连接，在平面内过M作，交于N，则直线即平面与平面的交线l．理由：因为平面平面，又平面平面，平面平面，所以．因此，在平面内过M作，而，即，则直线即所求作的交线l．（2）由（1）知在三角形中，，M为棱的中点，所以N为棱的中点．在正方形中，延长交的延长线于点P（图略），所以B为棱的中点．由于N为棱的中点，所以延长交的延长线于点P，所以几何体是三棱台．设正方体的棱长为a，则的面积的面积，所以三棱台的体积，另一个几何体的体积，因为用平面去截正方体，所得两部分几何体的体积分别为，，所以，所以．题型十四、线面、面面平行的判定与性质的综合应用例39．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，矩形和矩形中，，点M，N分别位于上，且，矩形可沿任意翻折．（1）求证：当F，A，D不共线时，线段总平行于平面．（2）“不管怎样翻折矩形，线段总和线段平行，”这个结论对吗？如果对，请证明；如果不对，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立．【解析】（1）证明：在平面图形中，连接，交于点G，连接．∵四边形和四边形都是矩形，且，∴且，∴四边形是平行四边形，∴．又，则四边形是平行四边形∴．翻折之后，如图1所示．∴，又面，面，面，面面，面，又∴平面平面．又平面，∴平面．∴当F，A，D不共线时，线段总平行于平面．（2）这个结论不对．要使上述结论成立，M，N应分别为和的中点．翻折后的图形如图2所示，连接．∵M为的中点，∴M也为的中点，与交于B，即与交于B．∵，∴确定一个平面，即F，M，D，N四点共面．又平面平面，平面平面，平面平面，∴．解题技巧(空间平行关系的注意事项)直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示.例40．（2023·全国·高一课时练习）如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．求证：（1）EG平面BB1D1D；（2）平面BDF平面B1D1H.【解析】（1）如图，取B1D1的中点O，连接GO，OB，因为OG=B1C1，BE=B1C1，所以BE=OG，且所以四边形BEGO为平行四边形，故OBEG，因为OB⊂平面BB1D1D，EG⊄平面BB1D1D，所以EG平面BB1D1D.（2）由于所以四边形为平行四边形所以BDB1D1.连接HB，D1F，取为中点，连结因此因此四边形为平行四边形，故有又因此四边形为平行四边形，故有故HD1BF.又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，所以平面BDF平面B1D1H.例41．（2023·浙江·台州市路桥区东方理想学校高一阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，．求证：（1）平面；（2）平面平面．【解析】（1）为中点，又为中点，∴，平面，平面，∴平面；（2）∵，分别为，的中点，∴，平面，平面∴平面，同理可证：平面又，∴平面平面【同步练习】一、单选题1．（2023·全国·高一课时练习）在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（）A．2 B．3 C．4 D．5答案：D【解析】分析：作出几何体的直观图观察即可.【详解】解：连接CF，C1F1，与棱AB平行的有，共有5条，故选：D.2．（2023·全国·高一课时练习）如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是边AC，CD，BD，AB的中点，且AD=BC，那么四边形EFGH是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形答案：C【解析】分析：先证明是平行四边形，再证明是菱形.【详解】因为分别是的中点，所以，且，同理，且，，且，，且，又，可得四边形为菱形.故选：C.3．（2023·湖北·高一期末）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有（）个①．②．③．④．A． B． C． D．答案：C【解析】分析：利用线面平行的判定方法逐个分析判断即可【详解】对于①，如图取底面中心，连接，由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得∥，因为与平面相交，所以与平面相交，对于②，如图连接，因为分别为的中点，所以∥，因为∥，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，对于③，如图，连接，则∥，因为分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得∥，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，对于④，如图，连接，则∥，因为分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得∥，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，所以直线与平面平行的有3个，故选：C4．（2023·全国·高一课时练习）在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且，H，G分别为BC，CD的中点，则（）A．平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B．平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D．平面ADC，且四边形EFGH是梯形答案：B【解析】分析：根据线面平行的判定定理分析判断即可【详解】因为E，F分别为AB，AD上的点，且，所以∥，，因为，H，G分别为BC，CD的中点，所以∥，，所以∥，，所以四边形为梯形，因为∥，平面，平面，所以∥平面，若平面ADC，则由线面平行的性质可得∥，而与不平行，所以与平面ADC不平行，故选：B5．（2023·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，∥平面，则的值为（）A．1 B． C．3 D．2答案：C【解析】分析：根据，得到，利用平面，得到，结合比例式的性质，得到，即可求解.【详解】解：设与交于点，连接，如图所示，因为为的中点，则，由四边形是菱形，可得，则，所以，所以，又因为平面，平面，平面平面，所以，所以.故选：C.6．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，正方体，E在上，F在上，且，过E作交BD于H，则平面EFH与平面的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．垂直 D．以上都有可能答案：A【解析】分析：根据面面平行的判定定理：由线线平行推出面面平行.【详解】在平面中，因为，所以，由正方体，，所以，又因为，平面，平面，平面，平面，，，所以平面EFH//平面故选:A.7．（2023·全国·高一课时练习）正方体的棱长为2，E，F，G，H分别为，AD，，的中点，则过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面的面积为（）A． B．2 C． D．4答案：C【解析】分析：取中点为M，连接ME、MF，取CD、CB中点分别为P、Q，连接QH、PQ、QG，证明平面MEF平面PQGH，进而有EF平面PQGH，所以过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面为矩形PQGH，从而即可求解.【详解】解：取中点为M，连接ME、MF，取CD、CB中点分别为P、Q，连接QH、PQ、QG，在正方体中，由题意四边形PQGH为矩形，且MEGH，MFQG，因为ME平面PQGH，MF平面PQGH，GH平面PQGH，QG平面PQGH，所以ME平面PQGH，MF平面PQGH，又MEMF=M，所以平面MEF平面PQGH，因为EF平面MEF，所以EF平面PQGH，所以过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面为矩形PQGH，因为正方体的棱长为2，所以，所以矩形PQGH的面积为，所以过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面的面积为，故选：C.8．（2023·全国·高一课时练习）在三棱台中，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（）A．三角形边界的一部分 B．一个点C．线段的一部分 D．圆的一部分答案：C【解析】分析：过作交于，连接，证明平面平面，得，即得结论．【详解】如图，过作交于，连接，，平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，所以，（不与重合，否则没有平面），故选：C．二、多选题9．（2023·全国·高一课时练习）(多选题)下列命题中，错误的结论有（）A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行答案：AC【解析】分析：由等角定理可判断A、B的真假；举反例可判断C的真假；由平行公理可判断D的真假.【详解】对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误；对于选项B：由等角定理可知B正确；对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，与满足，，但是，，二者不相等也不互补.故选项C错误；对于选项D：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确.故选：AC.10．（2023·全国·高一课时练习）已知表示两条直线，表示三个不重合的平面，给出下列命题，正确的是（）A．若，且，则B．若相交，且都在外，，则C．若，且，则D．若，则答案：BD【解析】分析：根据线线、线面、面面平行的判定与性质定理，结合平面的基本性质进行判断.【详解】A：若，且，则可能相交、平行，错误；B：若相交，且都在外，，由面面平行的判定可得，正确；C：若，且，则可能相交、平行，错误；D：若，由线面平行的性质定理得，正确.故选：BD11．（2023·全国·高一课时练习）(多选题)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下说法正确的是（）A．BM∥平面ADE B．CN∥平面BAF C．平面BDM∥平面AFN D．平面BDE∥平面NCF答案：ABCD【解析】分析：将正方体的平面展开图还原成直观图，结合线面平行和面面平行的判定定理，即可得出结论.【详解】以ABCD为下底还原正方体，如图所示，则有BM∥平面ADE，CN∥平面BAF，选项A，B正确；在正方体中，BD∥FN，平面平面，所以BD∥平面AFN，同理BM∥平面AFN，平面，所以平面BDM∥平面AFN，同理平面BDE∥平面NCF，选项C，D正确，故选：ABCD.12．（2023·浙江浙江·高一期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面内（包括边界）一动点，且平面EFG，则（）A． B．平面EFGC．三棱锥的体积为 D．P点的轨迹长度为2答案：BCD【解析】分析：取的中点为，由判断A；由平面平面结合面面平行的性质判断B；由棱锥的体积公式判断C；由平面平面得出点的轨迹为线段，从而判断D.【详解】对于A，取的中点为，连接，由正方体的性质可知，，而与相交，所以不平行，故A错误；对于B，连接，容易知道平面平面，由面面平行的性质可知平面EFG，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，由B可知平面平面，即点的轨迹为线段，长度为，故D正确；故选：BCD【点睛】关键点睛：在判断B项时，关键是由面面平行得出线面平行，从而得出平面EFG.三、填空题13．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，直线平面，点平面，并且直线a和点A位于平面两侧，点B，C，，AB，AC，AD分别交平面于点E，F，G，若，，，则EG=______.答案：【解析】分析：利用线面平行的性质可得∥，然后利用平行线分线段成比例定理和比例的性质求解【详解】因为直线平面，点B，C，，平面平面，所以∥，所以，所以，故答案为：14．（2023·全国·高一课时练习）如图所示﹐在三棱柱中，截面与平面ABC交于直线a，则直线a与直线的位置关系为______.答案：平行【解析】分析：利用线面平行的性质判断即可【详解】因为∥，平面，平面，所以∥平面，因为平面，平面与平面ABC交于直线，所以∥，故答案为：平行15．（2023·全国·高一课时练习）如图，在正方体中，，，，分别是棱、、、的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则满足________时，有平面．答案：【解析】分析：连接，，，可得平面平面，可知平面内任何一条直线都与平面平行，由面面平行的性质定理可得出结果.【详解】连接，，，因为，，分别是棱、，的中点，所以，，因为平面，平面，所以面，同理可得面，因为，，平面，所以平面平面，又因为点在四边形及其内部运动，平面，故当时，平面．故答案为：.16．（2023·山西柳林·高一阶段练习）在斜三棱柱中，点，分别为，上的点，若平面平面，则_______．答案：1【解析】分析：连接交于点O，连接，利用面面平行的性质定理可知，，可知四边形是平行四边形，根据，得到，即可得解.【详解】如图，连接交于点O，连接．由棱柱的性质，知四边形为平行四边，所以点O为的中点．因为平面平面，平面平面，平面平面，，为线段的中点，．因为平面平面，平面平面，平面平面，．又，所以四边形是平行四边形，所以，所以．故答案为：1【点睛】关键点点睛：本题考查线面平行的判定和线面平行的性质，面面平行的性质，熟练运用面面平行的性质定理是解题的关键，属于中档题.四、解答题17．（2023·全国·高一课时练习）长方体中，分别为棱的中点.（1）求证：；（2）求证：.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）先证明四边形为平行四边形，可得，再证明四边形为平行四边形，得，从而得；（2）根据等角定理证明即可.【详解】证明：（1）如图，取的中点，连接.在矩形中，易得，因为，，所以，所以四边形为平行四边形，所以.在矩形中，易得，.所以四边形为平行四边形，所以，所以.（2）因为，，又与的对应边方向相同，所以.18．（2023·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，，D为AC的中点，，.(1)求证：平面；(2)求三棱柱的表面积答案：(1)证明见解析(2)【解析】分析：（1）连接交于点，连接，可证得∥，然后利用线面平行的判定定理可证得结论，（2）由已知条件可得三个侧面是矩形，两个底面为直角三角形，然后根据已知的数据可求得答案(1)证明：连接交于点