(人教A版2019选择性必修第一册)重难点题型精讲专题3.12抛物线的标准方程和性质(原卷版+解析)

专题3.12抛物线的标准方程和性质-重难点题型检测【人教A版2019选择性必修第一册】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）(2023·全国·高二课时练习）已知实数x，y满足x2+y−p22=A．射线 B．直线 C．抛物线 D．椭圆2．（3分）(2023·云南·高二期末）已知抛物线x2=mym>0上的点x0，1到该抛物线焦点A．1B．2C．4D．63．（3分）(2023·全国·高二课时练习）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M−1,2的抛物线方程为（

A．y2=4x C．x2=14．（3分）(2023·四川遂宁·高二期末（理））已知圆C:(x−1)2+y2=4与抛物线yA．18 B．14 C．45．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知A(4,−2)，F为抛物线y2=8x的焦点，点M在抛物线上移动，当|MA|+|MF|取最小值时，点M的坐标为（A．(0,0) B．(1,−22) C．(2,−2) 6．（3分）(2023·天津和平·二模）已知抛物线y2=2px(p<0)交双曲线x2a2−yA．(2,0) B．(−2,0) C．(4,0) D．(−4,0)7．（3分）(2023·全国·高二课时练习）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线顶端O到连桥ABA．180m B．200m C．220m8．（3分）(2023·江西·三模（文））已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上两动点，P2,2①抛物线准线方程为x=−1；②若AF+BF=8，则线段AB中点到x③以A为圆心，线段AF的长为半径的圆与准线相切；④△APF的周长的最小值为5+3A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2023·全国·高二课时练习）(多选)顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是（

）A．x2=3y B．x2=−3y C．10．（4分）(2023·高三阶段练习）已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，O为坐标原点，点Mx0,yA．F的坐标为1,0 B．yC．x0=4 11．（4分）(2023·全国·高二课时练习）已知点Px0,−y0是抛物线CA．C的焦点坐标为2,0 B．C的准线方程为x+1=0C．x0+1=x0−112．（4分）(2023·福建泉州·高二期中）在平面直角坐标系xOy中，M(3,−2)，F为抛物线C:x2=−2py(p>0)的焦点，点P在C上，PA⊥x轴于AA．当p=2时，|PF|+|PM|的最小值为3B．当p=4时，|PF|+|PM|的最小值为4C．当p=4时，|PA|−|PM|的最大值为1D．当PF∥x轴时，cos∠OPF三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）(2023·全国·高三专题练习）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M−1,2的抛物线方程为14．（4分）(2023·全国·高二课时练习）抛物线y2=2px上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是15．（4分）(2023·全国·高二课时练习）若M是抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角∠xFM=60°，则MF16．（4分）(2023·全国·高二专题练习）设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，记点P到点A－1,1的距离与点P到直线x=－1的距离之和的最小值为M，若B3,2，四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）(2023·全国·高二课时练习）已知动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，求点P的轨迹方程.18．（6分）（2023·江苏·高二课时练习）根据下列条件求抛物线的标准方程.（1）抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点；（2）过点P(2，-4)；（3）抛物线的焦点在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5.19．（8分）(2023·全国·高二单元测试）已知抛物线y2=4axa>0的焦点为A，以Ba+4,0为圆心，AB长为半径画圆，在x轴上方交抛物线于M、N不同的两点，点(1)a的取值范围；(2)AM+20．（8分）(2023·全国·高二课时练习）如图，是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12m，镜深2m．(1)建立适当的坐标系，求抛物线的焦点位置；(2)若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求容器的每根铁筋的长度．21．（8分）(2023·重庆·高三阶段练习）如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，城镇P位于点O的北偏东30°处，OP=10km，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路(1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；(2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．22．（8分）(2023·全国·高二课时练习）设P是抛物线y2=4x上的一个动点，点(1)求点P到点A−1,1的距离与点P到直线x=−1(2)若B3,2，求PB专题3.12抛物线的标准方程和性质-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）(2023·全国·高二课时练习）已知实数x，y满足x2+y−p22=A．射线 B．直线 C．抛物线 D．椭圆【解题思路】利用两点的距离公式、绝对值的几何意义以及抛物线的定义进行判断.【解答过程】因为x2+y−p22=y+p2表示动点Px,y到定点F0,p故选：C.2．（3分）(2023·云南·高二期末）已知抛物线x2=mym>0上的点x0，1到该抛物线焦点A．1B．2C．4D．6【解题思路】根据抛物线的标准方程，得到准线方程与焦点坐标，根据抛物线的定义，可列方程，得到答案.【解答过程】由x2=mym>0，可得其焦点F因为点x0，1到该抛物线焦点F的距离为2，所以点x则1+m4=2故选：C.3．（3分）(2023·全国·高二课时练习）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M−1,2的抛物线方程为（

A．y2=4x C．x2=1【解题思路】设出抛物线方程，利用待定系数法求解作答.【解答过程】依题意，设抛物线方程为y2=mx,m≠0，于是得22所以所求抛物线方程是y2故选：B.4．（3分）(2023·四川遂宁·高二期末（理））已知圆C:(x−1)2+y2=4与抛物线yA．18 B．14 C．4【解题思路】求出抛物线的准线方程，利用圆与准线相切即得．【解答过程】因为圆C:(x−1)2+y2=4抛物线y2=ax所以1+a∴a=4，故选：C.5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知A(4,−2)，F为抛物线y2=8x的焦点，点M在抛物线上移动，当|MA|+|MF|取最小值时，点M的坐标为（A．(0,0) B．(1,−22) C．(2,−2) 【解题思路】过M点作准线l的垂线，垂足为E，由抛物线定义，知|MF|=|ME|，当M在抛物线上移动时，当A,M,E三点共线时，|ME|+|MA|最小，由此即可求出结果.【解答过程】如图所示，过M点作准线l的垂线，垂足为E，由抛物线定义，知|MF|=|ME|.当M在抛物线上移动时，|ME|+|MA|的值在变化，显然M移动到M'时，A,M,E三点共线，|ME|+|MA|最小，此时AM'//Ox，把y=−2代入所以当|MA|+|MF|取最小值时，点M的坐标为(1故选：D.6．（3分）(2023·天津和平·二模）已知抛物线y2=2px(p<0)交双曲线x2a2−yA．(2,0) B．(−2,0) C．(4,0) D．(−4,0)【解题思路】根据双曲线的离心率可得渐近线的斜率，结合渐近线的方程及△AOB的面积可求A,B的坐标，从而可求抛物线的方程，故可得其焦点坐标.【解答过程】因为双曲线的离心率为2，故ca=2故a2+b2a由抛物线、双曲线的对称性可设A(m,−m),B(m,m)(m<0)，故S△OAB=12|2m|×|m|=所以82=−16p，故p=−4，即抛物线的方程为：故焦点坐标为：(−2,0).故选：B.7．（3分）(2023·全国·高二课时练习）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线顶端O到连桥ABA．180m B．200m C．220m【解题思路】建立适当坐标系，设点D与B的坐标，设抛物线方程为：x2【解答过程】建系如图，设抛物线方程为：x2由题意设D15,ℎ，B则152解得：ℎ=−50，p=2.25.所以此拋物线顶端O到连桥AB的距离为：50+150=200m故选：B.8．（3分）(2023·江西·三模（文））已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上两动点，P2,2①抛物线准线方程为x=−1；②若AF+BF=8，则线段AB中点到x③以A为圆心，线段AF的长为半径的圆与准线相切；④△APF的周长的最小值为5+3A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④【解题思路】根据抛物线的方程直接写出抛物线的准线方程，可判断①的正误；设点Ax1,y1、Bx2,y2，利用抛物线的定义可判断②的正误；利用抛物线的定义可判断③的正误；过点A作抛物线准线l:y=−1的垂线，垂足为点E，利用抛物线的定义以及【解答过程】对于①，易知点F0,1，抛物线的准线方程为y=−1，①对于②，设点Ax1,y1、B所以，线段AB中点到x轴距离为y1+y对于③，由抛物线的定义可得AF=y1+1，所以，线段对于④，过点A作抛物线准线l:y=−1的垂线，垂足为点E，由抛物线的定义可得AF=AE，所以，当且仅当P、A、E三点共线时，即当PE⊥l时，AP+AF取得最小值又因为PF=22+2−12=故选：D.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2023·全国·高二课时练习）(多选)顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是（

）A．x2=3y B．x2=−3y C．【解题思路】设抛物线的标准方程为：x2=±2py，根据已知条件求出【解答过程】因为抛物线的对称轴是y轴，可设抛物线的标准方程为：x2因为顶点与焦点的距离等于3，所以p2=3，可得所以抛物线的方程为x2故选：CD.10．（4分）(2023·高三阶段练习）已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，O为坐标原点，点Mx0,yA．F的坐标为1,0 B．yC．x0=4 【解题思路】由抛物线的方程求出焦点F的坐标，可判断A选项；利用抛物线的定义可求得y0、x【解答过程】对于抛物线C，2p=4，可得p2=1，则点由抛物线的定义可得MF=y0+1=5，可得y0OM=故选：BD.11．（4分）(2023·全国·高二课时练习）已知点Px0,−y0是抛物线CA．C的焦点坐标为2,0 B．C的准线方程为x+1=0C．x0+1=x0−1【解题思路】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程可判断A，B；利用抛物线的定义可判断C；根据抛物线方程消元，得x0【解答过程】由抛物线的方程知，焦点坐标为1,0，准线方程为x=−1．故A错误，B正确．根据抛物线的定义可得点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，即x0因为y02（当且仅当y02+14=1y故选：BCD.12．（4分）(2023·福建泉州·高二期中）在平面直角坐标系xOy中，M(3,−2)，F为抛物线C:x2=−2py(p>0)的焦点，点P在C上，PA⊥x轴于AA．当p=2时，|PF|+|PM|的最小值为3B．当p=4时，|PF|+|PM|的最小值为4C．当p=4时，|PA|−|PM|的最大值为1D．当PF∥x轴时，cos∠OPF【解题思路】根据抛物线的定义结合图象一一计算可得；【解答过程】解：对于A：p=2时抛物线C:x2=−4y，焦点F所以|PF|+|PM|≥FM=32+−2+12=10，当且仅当M对于B、C：当p=4时抛物线C:x2=−8y，焦点F0,−2，准线方程为设PA与准线交于点N，则|PF|=|PN|，所以|PF|+|PM|=|PN|+|PM|≥MN当且仅当M、P、N三点共线且P在MN之间时取等号（如下图所示），故B正确；|PA|−|PM|=|PN|−2−|PM|=|PF|−|PM|−2≤|FM|−2=1，当且仅当M、P、F三点共线且F在MP之间时取等号（如下图所示），故C正确；对于D：抛物线C:x2=−2py，焦点F当PF//x，此时yP=−p即P−p,−p2或Pp,−p2，如图取所以cos∠OPF=故选：BCD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）(2023·全国·高三专题练习）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M−1,2的抛物线方程为y2【解题思路】设抛物线方程为y2=mx,m≠0，代入点M−1,2【解答过程】依题意，设抛物线方程为y2=mx,m≠0，于是得22所以所求抛物线方程是y2故答案为:y214．（4分）(2023·全国·高二课时练习）抛物线y2=2px上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是【解题思路】根据焦半径公式求p.【解答过程】由条件可知，p>0，所以6+p2=10，解得：p=8故答案为：8.15．（4分）(2023·全国·高二课时练习）若M是抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角∠xFM=60°，则MF【解题思路】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设M的坐标y24,y【解答过程】解：由抛物线的方程y2=4x，可得准线方程为x=−1，焦点坐标为设M的坐标y24,y，y>0又∠xFM=60°，∴y=3y24−1，整理得3所以由抛物线的定义可得FM=故答案为：4.16．（4分）(2023·全国·高二专题练习）设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，记点P到点A－1,1的距离与点P到直线x=－1的距离之和的最小值为M，若B3,2，【解题思路】当P、A、F三点共线时，点P到点A的距离与到直线x=－1的距离之和最小，由两点间的距离公式可得M，当P、B、F三点共线时，【解答过程】如图所示，过点P作PG垂直于直线x=－1，垂足为点由抛物线的定义可得PG=所以点P到直线x=－1的距离为所以PA当且仅当A、P、F三点共线时，PA+PG取到最小值，即如图所示，过点P作直线PH垂直于直线x=－1，垂足为点由抛物线的定义可得PH点B到直线x=－1的距离为所以PB+当且仅当B、P、H三点共线时，等号成立，即N=4，因此M+N=5故答案为：5+4四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）(2023·全国·高二课时练习）已知动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，求点P的轨迹方程.【解题思路】由题意可知P的轨迹是以F为焦点的抛物线，由此得到出p=4，即可以求出P的轨迹方程．【解答过程】解：由抛物线的定义知点P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线，其开口方向向右，且p2解得p=4，所以其方程为y218．（6分）（2023·江苏·高二课时练习）根据下列条件求抛物线的标准方程.（1）抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点；（2）过点P(2，-4)；（3）抛物线的焦点在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5.【解题思路】(1)根据条件求出双曲线左顶点即可得解；(2)根据给定条件设出抛物线方程，将给定点坐标代入即得；(3)根据给定条件设出抛物线方程并设出点A坐标，结合抛物线定义列出方程即可作答.【解答过程】（1）双曲线方程为x2由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)，则抛物线焦点为(−p2,0)，−所以所求抛物线方程为为y2=-12x；（2）由于P(2，-4)在第四象限且抛物线的对称轴为坐标轴，可设方程为y2=mx或x2=ny，将P点坐标代入方程求得m=8，n=-1，所以所求抛物线方程为y2=8x或x2=-y；（3）设所求焦点在x轴上的抛物线方程为：y2=2px(p≠0)，A(m，-3)，则抛物线准线为x=−p由抛物线定义得5=AF=|m+p2|，又(-3)2=2pm从而得2m⋅p=92m+p=10或2m⋅p=92m+p=−10，解得p=±1或所以所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.19．（8分）(2023·全国·高二单元测试）已知抛物线y2=4axa>0的焦点为A，以Ba+4,0为圆心，AB长为半径画圆，在x轴上方交抛物线于M、N不同的两点，点(1)a的取值范围；(2)AM+【解题思路】（1）由题可得圆的方程为x−a+4（2）利用韦达定理及抛物线的定义即得．【解答过程】（1）由题意知抛物线的焦点坐标为Aa,0，又B则AB=4，圆的方程为x−将y2=4ax(a>0)代入上式，得∴Δ=4解得0<a<1，即a的取值范围为0,1；（2）∵A为焦点，设Mx1,根据（1）中的x2得x1∴AM+20．（8分）(2023·全国·高二课时练习）如图，是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12m，镜深2m．(1)建立适当的坐标系，求抛物线的焦点位置；(2)若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求容器的每根铁筋的长度．【解题思路】（1）如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径，则可求得点A的坐标，设抛物线方程为y2=2pxp>0，然后将点A（2）根据抛物线的定义求解.【解答过程】（1）如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径．由已知，得A点坐标是2,6，设抛物线方程为y2=2pxp>0，则36=2p×2则抛物线的标准方程是y2=18x，焦点坐标是所以焦点在经过抛物面顶点且与镜口圆面垂直的直线上，距顶点4.5m的抛