中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题十九同角三角函数的基本关系式(原卷版+解析)

第十九章同角三角函数的基本关系式思维导图知识要点知识要点1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos(2)商数关系：2．同角三角函数式求值与化简的常用公式(sinαcosα与sinα±cosα之间的关系)sinα典例解析典例解析【例1】已知sinα＝－，α∈，求cosα，tanα的值．【变式训练1】已知cosα＝，α∈，求sinα，tanα的值．【例2】已知tanα＝3，求的值．【变式训练2】已知tanα＝－2，求3sin2α－cos【例3】已知sinθ·cosθ＝，且，求cosθ－sinθ的值．【变式训练3】已知sinα－cosα＝，α∈，求sinα＋cosα的值．【例4】已知tanα＝3，角α是第三象限角，求sinα，cosα的值．【变式训练4】已知tanα＝－2，求sinα，cosα的值．【例5】化简：【变式训练5】已知α∈，化简：高考链接高考链接1．(四川省2015年对口升学考试试题)已知α∈，cosα＝－，则tanα＝()A．2 B．－ C. D．－22．若cosα＝，且α是第四象限角，则sinα的值等于()A．－ B. C. D．－3．已知tanα＝－3，则sin2α＝________.同步精练同步精练选择题1.·cos2x等于()A．tanx B．sinxC．cosx D.2．已知cosα>0，tanα<0，则＝()A．sinα B．－sinα C．±sinα D．以上都不对3．已知tanα＝2，则＝()A．－1 B．1 C．－2 D．24．已知sinθ＋cosθ＝，则sinθ－cosθ的值为()A. B．－C. D．－5．已知三角形ABC中，sinA＝，则cosA＝()A. B．－ C．± D.6．若10sin2α－3sinα－1＝0，且α∈，则tanα＝()A. B．－ C. D．－填空题7．已知tanα＝－，α是第二象限角，则sinα＝________.8．已知tanβ＝2，则＝________.9．已知sinα－cosα＝，则tanα＋＝________.10．已知cosα＝，α是第四象限角，则tanα＝________.解答题11．已知角α为第二象限角，化简：12．已知sinα＋cosα＝，0<α<π，求tanα的值．13．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝.(1)求sinAcosA；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tanA的值．14．已知sinx＋cosx＝m，|m|≤，且|m|≠1.求：(1)sin3x＋cos3x的值； (2)sin4第十九章同角三角函数的基本关系式思维导图知识要点知识要点1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos(2)商数关系：2．同角三角函数式求值与化简的常用公式(sinαcosα与sinα±cosα之间的关系)sinα典例解析典例解析【例1】已知sinα＝－，α∈，求cosα，tanα的值．【思路点拨】平方关系和商数关系中的角是同一个角，注意商数关系中的角的取值范围．利用平方关系式时，注意开方运算时符号的取舍要根据角的范围来确定．答案：解：由sinα＝－，α∈，cos2α＋sin2α＝1，得cosα＝－，则tanα＝【变式训练1】已知cosα＝，α∈，求sinα，tanα的值．解：由cosα＝，sin2α＋cos2得sinα＝±，∵α∈，∴sinα＝－，∴tanα＝【例2】已知tanα＝3，求的值．【思路点拨】关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．答案：解：【变式训练2】已知tanα＝－2，求3sin2α－cos2α的值．解：把分母看作“1”，然后分子、分母同时除以“cos2α”，原式＝【例3】已知sinθ·cosθ＝，且，求cosθ－sinθ的值．【思路点拨】应用公式时注意方程思想的应用，对于sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ这三个式子，利用sinα答案：解：当时，sinθ>cosθ，∴cosθ－sinθ<0，又cosα−sina2【变式训练3】已知sinα－cosα＝，α∈，求sinα＋cosα的值．解：sinα－cosα＝⇒2sinα·cosα＝∴sinα+cos又α∈，sinα>0，cosα>0，∴sinα＋cosα＝【例4】已知tanα＝3，角α是第三象限角，求sinα，cosα的值．【思路点拨】利用商数关系和平方关系，建立方程组求解，注意角α的取值范围．答案：解：tanα＝＝3⇒sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，角α是第三象限角，联立解得：sinα＝－cosα＝－【变式训练4】已知tanα＝－2，求sinα，cosα的值．解：tanα＝＝－2，∴sinα＝－2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，联立解得sinα＝或sinα＝－，相应的cosα＝－或cosα＝.【例5】化简：【思路点拨】化简的基本要求：(1)能求值的求值；(2)切化弦；(3)异名化同名；(4)异角化同角；(5)利用公式降次．答案：解：原式＝＝sinx－cosx.【变式训练5】已知α∈，化简：解：原式＝＝1.高考链接高考链接1．(四川省2015年对口升学考试试题)已知α∈，cosα＝－，则tanα＝(B)A．2 B．－ C. D．－2【提示】由cosα＝－，α∈⇒sinα＝，∴tanα＝－2．若cosα＝，且α是第四象限角，则sinα的值等于(A)A．－ B. C. D．－【提示】sinα＝－3．已知tanα＝－3，则sin2α＝________.【提示】由得sin2α＝同步精练同步精练选择题1.·cos2x等于(D)A．tanx B．sinxC．cosx D.【提示】2．已知cosα>0，tanα<0，则＝(B)A．sinα B．－sinα C．±sinα D．以上都不对【提示】∵cosα>0，tanα<0，∴sinα<0，∴＝|sinα|＝－sinα.3．已知tanα＝2，则＝(A)A．－1 B．1 C．－2 D．2【提示】＝－1.4．已知sinθ＋cosθ＝，则sinθ－cosθ的值为(B)A. B．－ C. D．－【提示】∵0＜θ＜，∴cosθ＞sinθ，又sinθ+cosθ∴2sinθcosθ＝，∴sinθ−cosθ25．已知三角形ABC中，sinA＝，则cosA＝(C)A. B．－ C．± D.【提示】当∠A为锐角时，cosA＝当∠A为钝角时，cosA＝6．若10sin2α－3sinα－1＝0，且α∈，则tanα＝(B)A. B．－ C. D．－【提示】解方程得sinα＝或sinα＝－(舍)，∴cosα＝－，tanα＝－填空题7．已知tanα＝－，α是第二象限角，则sinα＝________.【提示】由有sinα＝±，∵α是第二象限的角，∴sinα＝8．已知tanβ＝2，则＝________.【提示】分子分母同时除以“cosβ”．9．已知sinα－cosα＝，则tanα＋＝________.【提示】原式＝又sinα－cosα＝，得sinα·cosα＝，综上得原式＝10．已知cosα＝，α是第四象限角，则tanα＝________.解答题11．已知角α为第二象限角，化简：解：原式＝，又α是第二象限角，∴原式＝＝－2tanα.12．已知sinα＋cosα＝，0<α<π，求tanα的值．解：联立方程由①得cosα＝－sinα，将其代入②，整理得25sin2又0＜α＜π，∴∴tanα＝－13．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝.(1)求sinAcosA；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tanA的值．解：(1)∵sinA＋cosA＝∴两边平方得1＋2sinAcosA＝∴sinAcosA＝－(2)由(1)知sinAcosA＝－<0，且0<∠A<π，可知cosA<0，∴∠A为钝角，△ABC是钝角三角形．(3)∵sinA−cossinA>0，cosA<0，∴sinA－cosA＝∴sinA＝，cosA＝－∴tanA＝