高中数学选择性必修三课件：7 3 1 第1课时 离散型随机变量的均值(人教A版)

第1课时离散型随机变量的均值第七章7.3.1离散型随机变量的均值1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型

随机变量的均值.2.掌握两点分布的均值.3.会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题.学习目标在射击运动中，射击选手的每次射击成绩是一个非常典型的随机事件.(1)如何刻画每个选手射击的技术水平与特点？(2)如何比较两个选手的射击情况？(3)如何选择优秀运动员代表国家参加奥运会才能使得获胜的概率较大？这些问题的解决需要离散型随机变量的知识.导语随堂演练课时对点练内容索引一、离散型随机变量的均值二、两点分布的均值三、均值的简单应用一、离散型随机变量的均值问题某人射击10次，所得环数分别是7,7,7,7,8,8,8,9,9,10，则所得的平均环数是多少？则称E(X)＝

＝

为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称

.注意点：分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平.知识梳理均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示.期望Xx1x2…xnPp1p2…pnx1p1＋x2p2＋…＋xnpn例1从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同.若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及均值.解由题意知X的可能取值为2,3,4,5.当X＝2时，表示前2次取的都是红球，当X＝3时，表示前2次中取得1个红球，1个白球或黑球，第3次取红球，当X＝4时，表示前3次中取得1个红球，2个不是红球，第4次取得红球，解由题意知X的可能取值为2,3,4,5.当X＝2时，表示前2次取的都是红球，当X＝3时，表示前2次中取得1个红球，1个白球或黑球，第3次取红球，当X＝4时，表示前3次中取得1个红球，2个不是红球，第4次取得红球，当X＝5时，表示前4次中取得1个红球，3个不是红球，第5次取得红球，∴X的分布列为反思感悟求随机变量X的均值的方法和步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值.(2)求出X取每个值的概率P(X＝k).(3)写出X的分布列.(4)利用均值的定义求E(X).跟踪训练1袋中有4个红球，3个白球，从袋中随机取出4个球.设取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，试求得分X的均值.解X的所有可能取值为5,6,7,8.当X＝5时，表示取出1个红球，3个白球，当X＝6时，表示取出2个红球，2个白球，当X＝7时，表示取出3个红球，1个白球，当X＝8时，表示取出4个红球，则X的分布列为当X＝8时，表示取出4个红球，则X的分布列为二、两点分布的均值知识梳理两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝____________________.0×(1－p)＋1×p＝p例2一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球.所以X的分布列为(2)从中任意摸出两个球，用X＝0表示“两个球全是白球”，用X＝1表示“两个球不全是白球”，求X的分布列及均值.所以X的分布列为反思感悟两点分布的特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的.(2)由对立事件的概率求法可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝1.则随机变量X的分布列为三、均值的简单应用知识梳理例3随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.(1)求X的分布列；解X的所有可能取值有6,2,1，－2，故X的分布列为X621－2P0.630.250.10.02(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；解E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元).(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？解设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，依题意，知E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.反思感悟解答应用类问题时，首先把问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应概率.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；解记E＝“甲组研发新产品成功”，F＝“乙组研发新产品成功”.(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和均值.解设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.故所求的分布列如表所示：1.知识清单：(1)离散型随机变量的均值.(2)两点分布的均值.(3)均值的简单应用.2.方法归纳：函数与方程、转化化归.3.常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析.课堂小结随堂演练1234√1.已知离散型随机变量X的分布列为则X的均值E(X)等于12342.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为√A.0.2 B.0.1

C.－0.2 D.－0.4X0123P0.1ab0.11234√3.设随机变量X的分布列如表，且E(X)＝1.6，则a－b等于1234解析易知a，b∈[0,0.8]，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8. ①又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，

②由①②，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.12344.袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1,2,3).现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则E(X)等于√解析由题意，可知X的所有可能取值为0,1,2,3.课时对点练A.4B.5C.6D.7Xa79Pb0.10.4基础巩固12345678910111213141516√1.已知某一随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝6.3，则a的值为解析根据分布列的性质，可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.又E(X)＝a·0.5＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝4.A.1B.0.6C.2＋3mD.2.42.已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示，则其均值E(ξ)等于12345678910111213141516√ξ135P0.5m0.2解析由分布列的性质，得0.5＋m＋0.2＝1，∴m＝0.3，∴E(ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.12345678910111213141516√3.若随机变量ξ的分布列如表所示，则E(ξ)的值为ξ012345

P2x3x7x2x3xx123456789101112131415164.若离散型随机变量X的分布列为√则X的均值E(X)等于12345678910111213141516√12345678910111213141516列出分布列，利用均值公式计算.记ξ的所有可能取值为0,1,2，123456789101112131415166.“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为√12345678910111213141516解析记抽到自己准备的书的学生数为X，则X可能取值为0,1,2,4，123456789101112131415167.离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，则a＝______，b＝_____.解析易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3. ①又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，

②0123456789101112131415168.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为X1234P0.50.20.20.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为100元；分2期或3期付款，其利润为150元；分4期付款，其利润为200元.若Y表示经销一件该商品的利润，则E(Y)＝______元.13012345678910111213141516解析由题意可知，Y可以取100,150,200，则Y的分布列为Y100150200P0.50.40.1∴E(Y)＝100×0.5＋150×0.4＋200×0.1＝130(元).123456789101112131415169.端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率；解令A表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式得12345678910111213141516(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与均值.解X的可能取值为0,1,2，则则X的分布列为1234567891011121314151610.在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的.在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？12345678910111213141516解设一张彩票的中奖额为随机变量X，显然X的所有可能取值为0,5,25,100.依题意，可得X的分布列为所以一张彩票的合理价格是0.2元.综合运用1234567891011121314151611.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且此人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.则E(ξ)等于A.1.48 B.0.76

C.0.24 D.1√12345678910111213141516解析随机变量ξ的取值有1,3两种情况，ξ＝3表示三个景点都游览了或都没有游览，所以P(ξ＝3)＝0.4×0.5×0.6＋0.6×0.5×0.4＝0.24，P(ξ＝1)＝1－0.24＝0.76，所以随机变量ξ的分布列为ξ13P0.760.24E(ξ)＝1×0.76＋3×0.24＝1.48.1234567891011121314151612.(多选)已知随机变量ξ的分布列是√√√12345678910111213141516解析对于A，由随机变量的分布列的性质，对于B，sinα＋2cosα＝2，得5cos2

α－8cosα＋3＝0，123456789101112131415161234567891011121314151613.(多选)设p为非负实数，随机变量X的分布列为则下列说法正确的是√√123456789101112131415161234567891011121314151614.已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放在甲盒中，放入i个球后，甲盒中含有红球的个数为ξi(i＝1,2)，则E(ξ1)＋E(ξ2)的值为________.12345678910111213141516解析甲盒中含有红球的个数ξ1的取值为1,2，甲盒中含有红球的个数ξ2的值为1,2,3，拓广探究1234567891011121314151615.(多选)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值E(X)>1.75，则p的取值可以为√√12345678910111213141516解析根据题意，X的所有的可能取值为1,2,3，且P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，依题意有E(X)>1.75，则p2－3p＋3>1.75，结合选项可知AB正确.1234567891011121314151616.某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.12345678910111213141516(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；解所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8(种).12345678910111213141516(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与均值.X1234Y5148454212345678910111213141516解先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列.因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可.记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1,2,3,4)，则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.12345678910111213141516故所求Y的分布列为因此所求年收获量Y的均值为备用工具&资料12345678910111213141516解先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列.因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，