高考数学微专题集专题7：卡根法应用(原卷版+解析)

专题7：卡根法应用专题7：卡根法应用专题阐述：卡根法常应用于导数研究函数性质（不等式整数解）的过程中，其本质是虚设零点，利用零点满足的关系式化简最值，从而得到最值的范围或符号.[规律方法]利用导数求函数的最值时，如果导数的零点不易求得，则可以虚设零点，利用零点满足的关系式化简最值，从而得到最值的范围或符号.例1．已知函数，曲线在处的切线方程为．（1）求实数a，b的值；（2）如果不等式恒成立，求整数k的最大值．答案：（1），；（2）3．【解析】（1）∵，∴，由题意可得，，解可得，，，（2）由（1）可得，，由恒成立可得，，令，则，令，则，∴单调递增，而，，所以有唯一的实数根，且，∴，∴，，故k的最大值3．例2．设函数.（1）求函数的单调增区间；（2）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）【解析】（1）因为，所以，①当时，由，解得；②当时，由，解得；③当时，由，解得；④当时，由，解得；⑤当时，由，解得，综上所述，当时，的增区间为；当时，的增区间为；时，的增区间为.（2）当时，，所以，而，因为均为上的增函数，故为上的增函数，而，，故在上有且只有一个零点，且且时，；当时，，故在上为减函数，在上为增函数，故，因为，所以，所以，而整数，使得关于x的不等式有解，故，故存在整数满足题意，且的最小值为0.例3．已知函数，.（1）若，讨论函数在定义域内的极值点个数；（2）若，函数在上恒成立，求整数的最大值.【解析】（1）的定义域为；且，因为方程的，①当，即时，恒成立，此时对于恒成立，所以在上单调递增，故极值点个数为；②当，即时，设方程的两根分别为和，则，，所以，，设，则，，由即可得：或，由即可得：所以在和上单调递增，在上单调递减，故极值点个数为2；综上所述，当时，极值点个数为，当时，极值点个数为2.（2）时，，则，令，则，所以在上单调递增，而，，所以存在，使，即，故，当时，，；当时，，；即在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以，因为，即的最大值为3.【点睛】由不等式恒成立（或能成立）求参数时，（1）可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；（2）可根据不等式，直接构成函数，利用的单调性以零点存在定理可判断的单调性，进而可得的最小值，只需，再结合是整数即可求解.【针对训练】1．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．2．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）令，若在恒成立，求整数a的最大值．参考数据：，3．已知函数，.（Ⅰ）函数的图象与的图象无公共点，求实数的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出整数的最大值；若不存在，请说理由.（参考数据：，,）.【强化训练】4．已知函数，（，为自然对数的底数），且在点处的切线方程为.(1)求实数，的值；(2)求证：.5．已知函数，．(1)函数的图象与的图象无公共点，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数m，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，求出整数m的最大值；若不存在，请说明理由．专题7：卡根法应用专题7：卡根法应用专题阐述：卡根法常应用于导数研究函数性质（不等式整数解）的过程中，其本质是虚设零点，利用零点满足的关系式化简最值，从而得到最值的范围或符号.[规律方法]利用导数求函数的最值时，如果导数的零点不易求得，则可以虚设零点，利用零点满足的关系式化简最值，从而得到最值的范围或符号.例1．已知函数，曲线在处的切线方程为．（1）求实数a，b的值；（2）如果不等式恒成立，求整数k的最大值．答案：（1），；（2）3．【解析】（1）∵，∴，由题意可得，，解可得，，，（2）由（1）可得，，由恒成立可得，，令，则，令，则，∴单调递增，而，，所以有唯一的实数根，且，∴，∴，，故k的最大值3．例2．设函数.（1）求函数的单调增区间；（2）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）【解析】（1）因为，所以，①当时，由，解得；②当时，由，解得；③当时，由，解得；④当时，由，解得；⑤当时，由，解得，综上所述，当时，的增区间为；当时，的增区间为；时，的增区间为.（2）当时，，所以，而，因为均为上的增函数，故为上的增函数，而，，故在上有且只有一个零点，且且时，；当时，，故在上为减函数，在上为增函数，故，因为，所以，所以，而整数，使得关于x的不等式有解，故，故存在整数满足题意，且的最小值为0.例3．已知函数，.（1）若，讨论函数在定义域内的极值点个数；（2）若，函数在上恒成立，求整数的最大值.【解析】（1）的定义域为；且，因为方程的，①当，即时，恒成立，此时对于恒成立，所以在上单调递增，故极值点个数为；②当，即时，设方程的两根分别为和，则，，所以，，设，则，，由即可得：或，由即可得：所以在和上单调递增，在上单调递减，故极值点个数为2；综上所述，当时，极值点个数为，当时，极值点个数为2.（2）时，，则，令，则，所以在上单调递增，而，，所以存在，使，即，故，当时，，；当时，，；即在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以，因为，即的最大值为3.【点睛】由不等式恒成立（或能成立）求参数时，（1）可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；（2）可根据不等式，直接构成函数，利用的单调性以零点存在定理可判断的单调性，进而可得的最小值，只需，再结合是整数即可求解.【针对训练】1．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．2．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）令，若在恒成立，求整数a的最大值．参考数据：，3．已知函数，.（Ⅰ）函数的图象与的图象无公共点，求实数的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出整数的最大值；若不存在，请说理由.（参考数据：，,）.【强化训练】4．已知函数，（，为自然对数的底数），且在点处的切线方程为.(1)求实数，的值；(2)求证：.5．已知函数，．(1)函数的图象与的图象无公共点，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数m，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，求出整数m的最大值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（1）具体见解析；（2）.分析：（1）先确定函数的定义域，求导后得，根据正负进行讨论，可得函数的单调区间；（2）中可通过分离参数将问题转化成在区间内恒成立求解，令，结合函数零点存在定理可求得的最值．【详解】（1）函数的定义域为．由题意得，当时，，则在区间内单调递增；当时，由，得或（舍去），当时，，单调递增，当时，，单调递减．所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由，得，因为，所以原命题等价于在区间内恒成立．令，则，令，则在区间内单调递增，又，所以存在唯一的，使得，且当时，，单调递增，当时，，，所以当时，有极大值，也为最大值，且，所以，又，所以,所以，因为，故整数的最小值为2．【点睛】本题属于导数的综合应用题．第一问中要合理确定对进行分类的标准；第二问利用分离参数的方法解题，但在求函数的最值时遇到了导函数零点存在但不可求的问题，此时的解法一般要用到整体代换，即由可得，在解题时将进行代换以使问题得以求解．2．（1）答案见解析；（2）3.分析：求得，结合二次函数性质对a进行讨论求解单调性；由题设可得，将问题转化为恒成立，构造并应用导数研究最小值，由即可求整数a的最大值．【详解】的定义域为且，①当时，由得：，∴时，的增区间为，减区间为，②当时，令得：或，∴的增区间为和减区间为③当时，恒成立，此时的增区间为，无递减区间：④当时，令得：或，∴的递增区间为和，减区间为．，则恒成立．令，则，令，，知在上递增且，，∴，使，即在递减，在递增，∴，∴由知：整数a的最大值为3．【点睛】关键点点睛：第二问，将题设问题转化为恒成立，构造函数并应用导数研究最值，求参数.3．（Ⅰ），（Ⅱ）1【详解】试题分析：（Ⅰ）函数图象无公共点，可以转化为方程无实根，此方程可用分离参数法化为无实根，从而只要求出函数的值域即可，这可导数的知识求得；（Ⅱ）同样问题转化为“不等式对恒成立”，即对恒成立，因此问题转化为求函数的最小值．试题解析：（Ⅰ）函数与无公共点，等价于方程在无解令，则令得＋0－增极大值减因为是唯一的极大值点，故故要使方程在无解，当且仅当，故实数的取值范围为（Ⅱ）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立.即对恒成立.令，则，令，则，∵在上单调递增，，，且的图象在上连续，∴存在，使得，即，则，∴当时，单调递减；当时，单调递增，则取到最小值，∴，即在区间内单调递增.，∴存在实数满足题意，且最大整数的值为.考点：转化与化归思想．导数的综合应用．【名师点睛】命题“对任意的，都有函数的图象在的图象的下方”等价于不等式“不等式对恒成立”，从而转化为“对恒成立”，最终转化为“求函数的最小值”．容易出错的地方是误认为函数的最大值小于或等于函数的最小值，解题时要注意．4．(1)，；(2)详见解析.分析：（1）依据题设条件借助导数的几何意义建立方程组，通过解方程组使得问题获解；（2）先将不等式进行等价转化，再构造函数运用导数的单调性分析推证.（1）∵，∴，且，又在点处的切线方程为，∴切点为，∴解得：，．（2）由（1）可知，，且的定义域为，令，定义域为则，令，显然在为减函数，且，，∴，使得，即，当时，，∴，∴为增函数；当时，，∴，∴为减函数．∴，又∵，∴，，，∴，即，∴．【点睛】关键点点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设立了两个问题，旨在考查导数的几何意义及导数在研究函数的单调性、最值（极值）等方面的综合运用．求解第一问时，依据题设条件借助导数的几何意义建立方程组，通过解方程组使得问题获解；求解第二问时，先将不等式进行等价转化，再构造函数，然后运用导数的单调性进行分析推证恒成立．5．(1)(2)存在，1分析：（1）将函数与无公共点，等价于方程在无解，根据导数求最值即可求解.（2）将图像位置关系转化为