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专题7:卡根法应用专题7:卡根法应用专题阐述:卡根法常应用于导数研究函数性质(不等式整数解)的过程中,其本质是虚设零点,利用零点满足的关系式化简最值,从而得到最值的范围或符号.[规律方法]利用导数求函数的最值时,如果导数的零点不易求得,则可以虚设零点,利用零点满足的关系式化简最值,从而得到最值的范围或符号.例1.已知函数,曲线在处的切线方程为.(1)求实数a,b的值;(2)如果不等式恒成立,求整数k的最大值.答案:(1),;(2)3.【解析】(1)∵,∴,由题意可得,,解可得,,,(2)由(1)可得,,由恒成立可得,,令,则,令,则,∴单调递增,而,,所以有唯一的实数根,且,∴,∴,,故k的最大值3.例2.设函数.(1)求函数的单调增区间;(2)当时,记,是否存在整数,使得关于x的不等式有解?若存在,请求出的最小值;若不存在,请说明理由.(参考数据:)【解析】(1)因为,所以,①当时,由,解得;②当时,由,解得;③当时,由,解得;④当时,由,解得;⑤当时,由,解得,综上所述,当时,的增区间为;当时,的增区间为;时,的增区间为.(2)当时,,所以,而,因为均为上的增函数,故为上的增函数,而,,故在上有且只有一个零点,且且时,;当时,,故在上为减函数,在上为增函数,故,因为,所以,所以,而整数,使得关于x的不等式有解,故,故存在整数满足题意,且的最小值为0.例3.已知函数,.(1)若,讨论函数在定义域内的极值点个数;(2)若,函数在上恒成立,求整数的最大值.【解析】(1)的定义域为;且,因为方程的,①当,即时,恒成立,此时对于恒成立,所以在上单调递增,故极值点个数为;②当,即时,设方程的两根分别为和,则,,所以,,设,则,,由即可得:或,由即可得:所以在和上单调递增,在上单调递减,故极值点个数为2;综上所述,当时,极值点个数为,当时,极值点个数为2.(2)时,,则,令,则,所以在上单调递增,而,,所以存在,使,即,故,当时,,;当时,,;即在上单调递减,在上单调递增,所以的最小值为,所以,因为,即的最大值为3.【点睛】由不等式恒成立(或能成立)求参数时,(1)可对不等式变形,分离参数,根据分离参数后的结果,构造函数,由导数的方法求出函数的最值,进而可求出结果;(2)可根据不等式,直接构成函数,利用的单调性以零点存在定理可判断的单调性,进而可得的最小值,只需,再结合是整数即可求解.【针对训练】1.已知函数,.(1)求函数的单调区间;(2)若关于的不等式恒成立,求整数的最小值.2.已知函数,.(1)求函数的单调区间;(2)令,若在恒成立,求整数a的最大值.参考数据:,3.已知函数,.(Ⅰ)函数的图象与的图象无公共点,求实数的取值范围;(Ⅱ)是否存在实数,使得对任意的,都有函数的图象在的图象的下方?若存在,请求出整数的最大值;若不存在,请说理由.(参考数据:,,).【强化训练】4.已知函数,(,为自然对数的底数),且在点处的切线方程为.(1)求实数,的值;(2)求证:.5.已知函数,.(1)函数的图象与的图象无公共点,求实数a的取值范围;(2)是否存在实数m,使得对任意的,都有函数的图象在的图象的下方?若存在,求出整数m的最大值;若不存在,请说明理由.专题7:卡根法应用专题7:卡根法应用专题阐述:卡根法常应用于导数研究函数性质(不等式整数解)的过程中,其本质是虚设零点,利用零点满足的关系式化简最值,从而得到最值的范围或符号.[规律方法]利用导数求函数的最值时,如果导数的零点不易求得,则可以虚设零点,利用零点满足的关系式化简最值,从而得到最值的范围或符号.例1.已知函数,曲线在处的切线方程为.(1)求实数a,b的值;(2)如果不等式恒成立,求整数k的最大值.答案:(1),;(2)3.【解析】(1)∵,∴,由题意可得,,解可得,,,(2)由(1)可得,,由恒成立可得,,令,则,令,则,∴单调递增,而,,所以有唯一的实数根,且,∴,∴,,故k的最大值3.例2.设函数.(1)求函数的单调增区间;(2)当时,记,是否存在整数,使得关于x的不等式有解?若存在,请求出的最小值;若不存在,请说明理由.(参考数据:)【解析】(1)因为,所以,①当时,由,解得;②当时,由,解得;③当时,由,解得;④当时,由,解得;⑤当时,由,解得,综上所述,当时,的增区间为;当时,的增区间为;时,的增区间为.(2)当时,,所以,而,因为均为上的增函数,故为上的增函数,而,,故在上有且只有一个零点,且且时,;当时,,故在上为减函数,在上为增函数,故,因为,所以,所以,而整数,使得关于x的不等式有解,故,故存在整数满足题意,且的最小值为0.例3.已知函数,.(1)若,讨论函数在定义域内的极值点个数;(2)若,函数在上恒成立,求整数的最大值.【解析】(1)的定义域为;且,因为方程的,①当,即时,恒成立,此时对于恒成立,所以在上单调递增,故极值点个数为;②当,即时,设方程的两根分别为和,则,,所以,,设,则,,由即可得:或,由即可得:所以在和上单调递增,在上单调递减,故极值点个数为2;综上所述,当时,极值点个数为,当时,极值点个数为2.(2)时,,则,令,则,所以在上单调递增,而,,所以存在,使,即,故,当时,,;当时,,;即在上单调递减,在上单调递增,所以的最小值为,所以,因为,即的最大值为3.【点睛】由不等式恒成立(或能成立)求参数时,(1)可对不等式变形,分离参数,根据分离参数后的结果,构造函数,由导数的方法求出函数的最值,进而可求出结果;(2)可根据不等式,直接构成函数,利用的单调性以零点存在定理可判断的单调性,进而可得的最小值,只需,再结合是整数即可求解.【针对训练】1.已知函数,.(1)求函数的单调区间;(2)若关于的不等式恒成立,求整数的最小值.2.已知函数,.(1)求函数的单调区间;(2)令,若在恒成立,求整数a的最大值.参考数据:,3.已知函数,.(Ⅰ)函数的图象与的图象无公共点,求实数的取值范围;(Ⅱ)是否存在实数,使得对任意的,都有函数的图象在的图象的下方?若存在,请求出整数的最大值;若不存在,请说理由.(参考数据:,,).【强化训练】4.已知函数,(,为自然对数的底数),且在点处的切线方程为.(1)求实数,的值;(2)求证:.5.已知函数,.(1)函数的图象与的图象无公共点,求实数a的取值范围;(2)是否存在实数m,使得对任意的,都有函数的图象在的图象的下方?若存在,求出整数m的最大值;若不存在,请说明理由.参考答案:1.(1)具体见解析;(2).分析:(1)先确定函数的定义域,求导后得,根据正负进行讨论,可得函数的单调区间;(2)中可通过分离参数将问题转化成在区间内恒成立求解,令,结合函数零点存在定理可求得的最值.【详解】(1)函数的定义域为.由题意得,当时,,则在区间内单调递增;当时,由,得或(舍去),当时,,单调递增,当时,,单调递减.所以当时,的单调递增区间为,无单调递减区间;当时,的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)由,得,因为,所以原命题等价于在区间内恒成立.令,则,令,则在区间内单调递增,又,所以存在唯一的,使得,且当时,,单调递增,当时,,,所以当时,有极大值,也为最大值,且,所以,又,所以,所以,因为,故整数的最小值为2.【点睛】本题属于导数的综合应用题.第一问中要合理确定对进行分类的标准;第二问利用分离参数的方法解题,但在求函数的最值时遇到了导函数零点存在但不可求的问题,此时的解法一般要用到整体代换,即由可得,在解题时将进行代换以使问题得以求解.2.(1)答案见解析;(2)3.分析:求得,结合二次函数性质对a进行讨论求解单调性;由题设可得,将问题转化为恒成立,构造并应用导数研究最小值,由即可求整数a的最大值.【详解】的定义域为且,①当时,由得:,∴时,的增区间为,减区间为,②当时,令得:或,∴的增区间为和减区间为③当时,恒成立,此时的增区间为,无递减区间:④当时,令得:或,∴的递增区间为和,减区间为.,则恒成立.令,则,令,,知在上递增且,,∴,使,即在递减,在递增,∴,∴由知:整数a的最大值为3.【点睛】关键点点睛:第二问,将题设问题转化为恒成立,构造函数并应用导数研究最值,求参数.3.(Ⅰ),(Ⅱ)1【详解】试题分析:(Ⅰ)函数图象无公共点,可以转化为方程无实根,此方程可用分离参数法化为无实根,从而只要求出函数的值域即可,这可导数的知识求得;(Ⅱ)同样问题转化为“不等式对恒成立”,即对恒成立,因此问题转化为求函数的最小值.试题解析:(Ⅰ)函数与无公共点,等价于方程在无解令,则令得+0-增极大值减因为是唯一的极大值点,故故要使方程在无解,当且仅当,故实数的取值范围为(Ⅱ)假设存在实数满足题意,则不等式对恒成立.即对恒成立.令,则,令,则,∵在上单调递增,,,且的图象在上连续,∴存在,使得,即,则,∴当时,单调递减;当时,单调递增,则取到最小值,∴,即在区间内单调递增.,∴存在实数满足题意,且最大整数的值为.考点:转化与化归思想.导数的综合应用.【名师点睛】命题“对任意的,都有函数的图象在的图象的下方”等价于不等式“不等式对恒成立”,从而转化为“对恒成立”,最终转化为“求函数的最小值”.容易出错的地方是误认为函数的最大值小于或等于函数的最小值,解题时要注意.4.(1),;(2)详见解析.分析:(1)依据题设条件借助导数的几何意义建立方程组,通过解方程组使得问题获解;(2)先将不等式进行等价转化,再构造函数运用导数的单调性分析推证.(1)∵,∴,且,又在点处的切线方程为,∴切点为,∴解得:,.(2)由(1)可知,,且的定义域为,令,定义域为则,令,显然在为减函数,且,,∴,使得,即,当时,,∴,∴为增函数;当时,,∴,∴为减函数.∴,又∵,∴,,,∴,即,∴.【点睛】关键点点睛:本题以含参数的函数解析式为背景,设立了两个问题,旨在考查导数的几何意义及导数在研究函数的单调性、最值(极值)等方面的综合运用.求解第一问时,依据题设条件借助导数的几何意义建立方程组,通过解方程组使得问题获解;求解第二问时,先将不等式进行等价转化,再构造函数,然后运用导数的单调性进行分析推证恒成立.5.(1)(2)存在,1分析:(1)将函数与无公共点,等价于方程在无解,根据导数求最值即可求解.(2)将图像位置关系转化为
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