高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题06含参数不等式问题的处理策略(原卷版+解析)

微专题06含参数不等式问题的处理策略【方法技巧与总结】解含参不等式，常常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参不等式问题的一个难点。解决此类问题利用函数与方程思想、数形结合思想及分类与整合思想。【题型归纳目录】题型一：含参数一元二次不等式（因式分解型）题型二：含参数一元二次不等式（不能因式分解型）题型三：分式、根式含参数不等式问题题型四：绝对值含参不等式问题【典型例题】题型一：含参数一元二次不等式（因式分解型）例1．(2023·全国·高一专题练习）解下列不等式：(1)；(2)．例2．(2023·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）已知关于的不等式.(1)若的解集为，求实数的值；(2)求关于的不等式的解集.例3．(2023·全国·高一专题练习）设，则关于的不等式的解集是_________.例4．(2023·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．(1)当a＝2时，解关于x的不等式；(2)当a＞0时，解关于x的不等式．题型二：含参数一元二次不等式（不能因式分解型）例5．(2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式．例6．解关于的不等式：（1）；（2）；（3）；（4）例7．解关于的不等式：（1）；（2）．题型三：分式、根式含参数不等式问题例8．不等式的解集是A． B．或 C． D．或例9．(2023秋•清河区校级期中）已知，解不等式．例10．(2023·全国·高一专题练习）解关于的不等式（其中）例11．(2023·上海交大附中高一阶段练习）已知关于的不等式的解集为S，若且，则实数的取值范围为_____;例12．(2023·湖南·株洲二中高一开学考试）解下列关于的不等式：（为实数）(1)(2).例13．(2023·全国·高一课时练习）解不等式：．题型四：绝对值含参不等式问题例14．(2023春•安平县校级期中）对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B．， C．， D．，例15．(2023·全国·高一课时练习）已知集合，，若，则实数a的取值范围是______．例16．(2023·全国·高一专题练习）设集合A＝{x||x﹣a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，若A是B的真子集，则a的取值范围为___．由A是B的真子集，得，∴2＜a＜4．又当a＝2时，A＝{x|1＜x＜3}，a＝4时，A＝{x|3＜x＜5}，均满足A是B的真子集，∴2≤a≤4．故答案为：2≤a≤4例17．(2023·全国·高一单元测试）若不等式的解集中的整数有且仅有2、3，则的取值范围是______．例18．(2023·上海·高一课时练习）解关于x的不等式：.例19．(2023·上海嘉定·高一期末）已知集合，集合．若．求实数的取值范围．【过关测试】一、单选题1．(2023·全国·高一课时练习）若使不等式成立的任意一个x都满足不等式，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．2．(2023·四川德阳·高一期末）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（

）A． B．(0，1) C． D．(-1，0)3．(2023·全国·高一课时练习）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题4．(2023·湖南·株洲二中高一开学考试）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（

）A． B． C． D．55．(2023·全国·高一课时练习）已知，关于x的不等式的解集可能是（

）A． B．C． D．三、填空题6．(2023·全国·高一课时练习）已知集合，，设全集为R，若，则实数m的取值范围为______．7．(2023·上海市控江中学高一期中）已知为正实数，关于的不等式的解集为，则当的值变化时，集合中的元素个数的最小值为______;8．(2023·湖南·雅礼中学高一开学考试）不等式的解集是全体实数，求实数a的取值范围________．四、解答题9．(2023·全国·高一课时练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题（3）中，若问题中的实数存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．已知一元二次不等式的解集或，关于的不等式的解集为（其中）．(1)求、的值；(2)求集合；(3)是否存在实数，使得______？10．(2023·上海市杨浦高级中学高一期中）设集合，若，求实数的取值范围.11．(2023·全国·高一课时练习）已知集合若求实数的取值范围．12．(2023·陕西·榆林市第一中学高一期末（理））解关于的不等式.13．(2023·全国·高一专题练习）当a≤0时，解关于x的不等式．14．(2023·全国·高一专题练习）解关于的不等式．15．(2023·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）已知关于x不等式的解集为或．(1)求实数、的值.(2)解关于x不等式+(ac+b)xbc>0.16．(2023·安徽宣城·高一期中）（1）已知不等式的解集为，求m，n的值；（2）求关于x的不等式（其中）的解集.微专题06含参数不等式问题的处理策略【方法技巧与总结】解含参不等式，常常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参不等式问题的一个难点。解决此类问题利用函数与方程思想、数形结合思想及分类与整合思想。【题型归纳目录】题型一：含参数一元二次不等式（因式分解型）题型二：含参数一元二次不等式（不能因式分解型）题型三：分式、根式含参数不等式问题题型四：绝对值含参不等式问题【典型例题】题型一：含参数一元二次不等式（因式分解型）例1．(2023·全国·高一专题练习）解下列不等式：(1)；(2)．【解析】（1）依题意，，解得，所以不等式的解集为.（2）依题意，，解得，所以不等式的解集为.例2．(2023·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）已知关于的不等式.(1)若的解集为，求实数的值；(2)求关于的不等式的解集.【解析】（1）因为的解集为，所以方程的两个根为，由根与系数关系得:，解得；（2），当a=0，不等式为，不等式的解集为；当时，不等式化为，不等式的解集为当时，方程的两个根分别为：.当时，两根相等，故不等式的解集为；当时，，不等式的解集为或；当时，，不等式的解集为或，.综上：当时，不等式的解集为当a=0，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或.当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；例3．(2023·全国·高一专题练习）设，则关于的不等式的解集是_________.答案：【解析】时，，且，则关于的不等式可化为，解得或，

所以不等式的解集为，，．故答案为：例4．(2023·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．(1)当a＝2时，解关于x的不等式；(2)当a＞0时，解关于x的不等式．【解析】（1）当a＝2时，不等式2x2﹣x﹣1＜0可化为：（2x+1）（x﹣1）＜0，∴不等式的解集为；（2）不等式ax2﹣x+1﹣a＜0可化为：（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0，当a＞0时，，的根为：，①当时，，∴不等式解集为，②当时，，不等式解集为∅，③当时，1，∴不等式解集为{x|x＜1}，综上，当时，不等式解集为，当a时，不等式解集为，当时，不等式解集为{x|x＜1}．．题型二：含参数一元二次不等式（不能因式分解型）例5．(2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式．【解析】（1）当时，原不等式，解得，不等式解集为；（2）当时，，开口向上，由图象得：若时，，的两个零点为，，不等式的解集为；若时，，不等式解集为；（3）当时，，的两个零点为，开口向下，由图象得不等式解集为；综上可知，当时不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为．例6．解关于的不等式：（1）；（2）；（3）；（4）【解析】解：（1）等价于，当时，不等式的解集为，当时，等价于，即当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为空集，当时，不等式的解集为，，当时，不等式等价于，即不等式的解集为，，（2）等价于当时，不等式的解集为，当时，不等式等价于，不等式的解集为当时，不等式等价于，当时，不等式的解集为，，，当时，不等式的解集为，，，当时，不等式的解集为，，，（3）；当时，不等式的解集为，，当时，且△时，即时，不等式的解集为，，当是，且△时，即时，不等式的解集为空集，当时，且△时，即时，不等式的解集为，，，（4），当△时，即时，的根为（舍去）或，若当时，即时，不等式的解集为，，若当时，即时，不等式的解集为空集若当时，即时，不等式的解集为空集当△时，即时，不等式的解集为空集，当△时，即时，不等式的解集为空集，综上所述当时，不等式的解集为，，当时，不等式的解集为空集．例7．解关于的不等式：（1）；（2）．【解析】解：（1）△时，解得或．当或时，不等式化为，此时不等式的解集为．由△解得或，此时不等式化为，解得，此时不等式的解集为：；△时，即时，不等式的解集为．综上可得：时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为．（2）当时，不等式化为，解得，此时不等式的解集为．当时，由△，解得或．当或且时，不等式化为．当或时，不等式的解集为或．当时，不等式的解集为．综上可得：当时，不等式的解集为．当或时，不等式的解集为或．当时，不等式的解集为．题型三：分式、根式含参数不等式问题例8．不等式的解集是A． B．或 C． D．或答案：A【解析】解：不等式可化为：，即，解得：或，又由，且得：．综上可得：．故不等式的解集是，故选：．例9．(2023秋•清河区校级期中）已知，解不等式．【解析】解：原不等式化为①（1）当时，原不等式为．在①中，分子中的系数含有字母，分类讨论就从这里引起．（2）当时，原不等式化为．②对于不等式②，分子中的系数不能随意约去，因为根据不等式的性质，若给不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向要改变．当时，原不等式等价于．由于，可解得．也可先确定两根，，然后直接写出解集．当时，等价于．由可解得或．综上，当时原不等式的解集为．当时，解集为当时，解集为．例10．(2023·全国·高一专题练习）解关于的不等式（其中）【解析】，又由知当时，则集合；当时，原不等式解集为空集；当时，则集合；综上：当时，；当时，为空集；当时，.例11．(2023·上海交大附中高一阶段练习）已知关于的不等式的解集为S，若且，则实数的取值范围为_____;答案：；【解析】由题意，故且，可得由可得，或；由可得，因此：故答案为：例12．(2023·湖南·株洲二中高一开学考试）解下列关于的不等式：（为实数）(1)(2).【解析】（1）原不等式对应的一元二次方程为：，，当时，，原不等式无解；当时，对应一元二次方程的两个解为：，所以的解为：，综上所述，时，原不等式无解，当时，原不等式的解集为；（2）原不等式等价于，当时，解集为；当时，原不等式可化为，因为，所以解集为；当时，，解集为；当时，原不等式等价于，所以，解集为；当时，，解集为；综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.例13．(2023·全国·高一课时练习）解不等式：．【解析】且．当时，且且，此时原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，且且或，此时原不等式的解集为或．综上可知，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或．题型四：绝对值含参不等式问题例14．(2023春•安平县校级期中）对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B．， C．， D．，【解析】解：不等式恒成立，的图象不能在的图象的下方，如图所示：；故选：．例15．(2023·全国·高一课时练习）已知集合，，若，则实数a的取值范围是______．答案：【解析】由，得，∴．由，得.显然，∴，解得．故答案为：.例16．(2023·全国·高一专题练习）设集合A＝{x||x﹣a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，若A是B的真子集，则a的取值范围为___．答案：2≤a≤4【解析】由|x﹣a|＜1，得﹣1＜x﹣a＜1，∴a﹣1＜x＜a+1，由A是B的真子集，得，∴2＜a＜4．又当a＝2时，A＝{x|1＜x＜3}，a＝4时，A＝{x|3＜x＜5}，均满足A是B的真子集，∴2≤a≤4．故答案为：2≤a≤4例17．(2023·全国·高一单元测试）若不等式的解集中的整数有且仅有2、3，则的取值范围是______．答案：【解析】由可得，也就是，因为解集中的整数只有2,3，所以，所以，故．填．例18．(2023·上海·高一课时练习）解关于x的不等式：.【解析】两边平方，得，即.当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.例19．(2023·上海嘉定·高一期末）已知集合，集合．若．求实数的取值范围．【解析】由得，解得，即．又由解得，即．因为，所以，解得．因此所求实数的取值范围是．【过关测试】一、单选题1．(2023·全国·高一课时练习）若使不等式成立的任意一个x都满足不等式，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因为不等式的解集为，由题意得不等式的解集是的子集，不等式，即，①当时，不等式的解集为，满足；②当时，不等式的解集为，若，则，所以；③当时，不等式的解集为，满足；综上所述，实数a的取值范围为．故选：B．2．(2023·四川德阳·高一期末）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（

）A． B．(0，1) C． D．(-1，0)答案：C【解析】不等式等价于，设，显然a=0不符合题意，若，，是开口向上，零点分别为1和的抛物线，对于，解集为或，不符合题意；若，则是开口向下，零点分别为1和的抛物线，对于，依题意解集为，，即，故选：C.3．(2023·全国·高一课时练习）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】不等式，即，当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；当时，不等式解集为，此时不符合题意；当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；故实数m的取值范围为．故选：C二、多选题4．(2023·湖南·株洲二中高一开学考试）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（

）A． B． C． D．5答案：ABD【解析】解不等式，得或解方程，得（1）当，即时，不等式的解为：此时不等式组的解集为，依题意，则，即；（2）当，即时，不等式的解为：，要使不等式组的解集中只有一个整数，则需满足：，即；所以k的取值范围为.故选：ABD.5．(2023·全国·高一课时练习）已知，关于x的不等式的解集可能是（

）A． B．C． D．答案：BCD【解析】当时，不等式等价于，解得；当时，不等式的解集是；当时，不等式等价于，解得或；当时，不等式的解集为；当时，不等式等价于，解得或．故选:BCD．三、填空题6．(2023·全国·高一课时练习）已知集合，，设全集为R，若，则实数m的取值范围为______．答案：【解析】解不等式，得，所以或，，因为，当时，，满足题意；当时，，满足题意．当时，，由，得，所以．综上，m的取值范围为．故答案为：7．(2023·上海市控江中学高一期中）已知为正实数，关于的不等式的解集为，则当的值变化时，集合中的元素个数的最小值为______;答案：【解析】由方程，可解得，当且仅当时，等号成立，则，即，由，则集合中的元素最少有个，故答案为：.8．(2023·湖南·雅礼中学高一开学考试）不等式的解集是全体实数，求实数a的取值范围________．答案：【解析】根据题意，当时，可得，解得，当时，不等式显然成立.综上可得，，故答案为：.四、解答题9．(2023·全国·高一课时练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题（3）中，若问题中的实数存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．已知一元二次不等式的解集或，关于的不等式的解集为（其中）．(1)求、的值；(2)求集合；(3)是否存在实数，使得______？【解析】（1）因为一元二次不等式的解集或，则关于的一元二次方程的两根分别为、，所以，，解得.（2）由（1）可得.当时，；当时，；当时，.（3）若选①，或，由，则，当时，；当时，，不合乎题意；当时，，合乎题意.综上所述，；选②，当时，，此时，不合乎题意；当时，，若，则，此时；当时，，此时.综上所述，或；选③，.当时，；当时，，则；当时，，不合乎题意.综上所述，.10．(2023·上海市杨浦高级中学高一期中）设集合，若，求实数的取值范围.【解析】当时，，当时，，当时，，由，而，若，有（等号不同时成立），则；若，显然成立；若，有（等号不同时成立），则；综上，.11．(2023·全国·高一课时练习）已知集合若求实数的取值范围．【解析】集合，，若，一定非空，若，得，，成立，若，即或者，设，(1)，即，对称轴所以，(2)，即，对称轴，不成立，综上，．12．(2023·陕西·榆林市第一中学高一期末（理））解关于