2024年新高考数学一轮复习达标检测第04讲基本不等式教师版

《基本不等式》达标检测[A组]—应知应会1．若，则的最小值为A． B． C．1 D．【分析】由，然后利用基本不等式即可求解．【解答】解：因为，则，当且仅当即时取等号，故选：．2．已知，，且，则的最小值为A．100 B．81 C．36 D．9【分析】由已知结合基本不等式即可干脆求解的最小值．【解答】解：，，且，由基本不等式可得，当且仅当即，时取等号，解可得，即的最小值36．故选：．3．如图，矩形花园的边靠在墙上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形花园的面积为4平方米，墙足够长，则围成该花园所须要篱笆的A．最大长度为8米 B．最大长度为米 C．最小长度为8米 D．最小长度为米【分析】依据已知条件建立关于篱笆长度的关系式，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：设米，米，则，所以围成矩形花园所须要的篱笆长度为，当且仅当，即时取等号．故选：．4．坐标满足，且，，则的最小值为A．9 B．6 C．8 D．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得，，则，当且仅当且即，时取等号，此时取得最小值9故选：．5．已知实数，满足，且，则的最小值为A．21 B．24 C．25 D．27【分析】依据题意，将变形可得，据此可得，设，则有，，结合基本不等式性质分析可得答案．【解答】解：依据题意，实数，满足，变形可得，则有，则，设，则有，，又由，则有，即的最小值为27，此时，即；故选：．6．已知实数、，，则的最大值为A． B． C． D．6【分析】干脆利用关系式的恒等变换的应用和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：由于，所以，故：，（当且仅当时，等号成立）．故选：．7．在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为A．1 B．8 C．2 D．4【分析】由向量共线定理可得，然后利用1的代换，结合基本不等式即可求解．【解答】解：由于点在线段上，由向量共线定理可得，则，故选：．8．已知，，，若不等式对已知的，及随意实数恒成立，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【分析】先结合基本不等式求出的范围；再依据不等式恒成立结合二次函数即可求解【解答】解：，当且仅当时等号成立，，即，．故选：．9．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3．设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理正确的是①由图1和图2面积相等可得；②由可得；③由可得；④由可得．A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③【分析】依据题意求出，，，然后可推断②③④对，依据面积相等，可推断①对．【解答】解：由图1和图2面积相等，可得，①对；由题意知图3面积为，，，图3设正方形边长为，由三角形相像，，解之得，则；可以化简推断②③④对，故选：．10．（多选）若正实数，满足，则下列说法正确的是A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值2 D．有最大值【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可推断．【解答】解：因为正实数，满足，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，故正确；因为，当且仅当时取等号，所以的最大值为，故正确；，即有最小值4，故错误；，结合可知有最小值，当且仅当时取等号，故错误；故选：．11．（多选）设正实数、满足，则下列说法正确的是A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为2【分析】，，，利用“乘1法”可得：，再利用基本不等式的性质可得其最小值．利用基本不等式的性质进而推断出的正误．【解答】解：，，，则，当且仅当时成立．，解得．，，．，当且仅当时取等号．综上可得：正确．故选：．12．已知，则的最小值为．【分析】由，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为，则，当且仅当即时取等号，故答案为：513．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：随时间（单位：的变更关系为，则经过后池水中药品的浓度达到最大．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：，当且仅当时取等号．因此经过后池水中药品的浓度达到最大．故答案为：2．14．已知正实数，满足，则的最小值为．【分析】干脆利用关系式的变换和不等式的性质的应用求出结果．【解答】解：已知正实数，满足，整理得：，所以，所以（当且仅当等号成立）故的最小值为2．故答案为：215．已知，则的最小值为．【分析】依据题意，由基本不等式的性质分析可得，进而可得，据此由基本不等式的性质分析可得的最小值，即可得答案．【解答】解：依据题意，，则有，当且仅当时等号成立，则原式，又由，则，则有，当且仅当，即时等号成立，综合可得：的最小值为4，当且仅当时等号成立故答案为：4．16．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是．【分析】先利用乘1法，配凑基本不等式的应用条件求的最小值，然后由恒成立，可得，解不等式可求．【解答】解：正实数，满足，则．当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值16，因为不等式恒成立，则，解可得．故答案为：17．已知．（1）求的最大值；（2）求的最小值．【分析】（1）由，可知，即可求解；（2），结合二次函数的性质可求．【解答】解：（1），所以，当且仅当即，时取等号，则的最大值为；（2），结合二次函数的性质可知，当时，函数取得最小值．18．有一批材料，可以建成长为240米的围墙如图，假如用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地，中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形，怎样围法才可取得最大的面积？并求此面积．【分析】结合已知条件，利用基本不等式即可求解面积的最大值及取得的条件．【解答】解：设每个小矩形的长为，宽为，依题意可知，，当且仅当取等号，所以时，当面积相等的小矩形的长为30时，矩形面积最大，19．若，，且．（1）求的最小值；（2）是否存在、，使得？并说明理由．【分析】依据基本不等式求解的值域，然后求解（1）（2）．【解答】解：（1）由，得，当且仅当时成立，所以，当且仅当时成立，所以的最小值为4．（2）由（1）知，当且仅当，时成立，因为，不同时成立，所以，不存在，使成立．20．已知，均为正实数，且．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对随意的，恒成立，求实数的取值范围．【分析】由已知结合基本不等式即可求解最小值；结合中最小值的求解及含确定值不等式的求法即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为，且，得，所以（当且仅当，时取等号）．所以，所以成立．故的最小值为1（Ⅱ）由（Ⅰ）知对随意的，恒成立，或或，，或，或．故实数的取值范围为，．21．已知正实数，满足．（1）求的最小值．（2）证明：．【分析】（1）由已知可得，，绽开后利用基本不等式可求；（2）由，绽开后结合基本不等式可求范围，然后由即可证明．【解答】解：（1）正实数，满足，，当且仅当且即，时取得最小值；（2）证明：，，，（当且仅当时取等号）[B组]—强基必备1．已知正数，满足，且，则的最大值为A． B． C．2 D．4【分析】依据题意，分析可得，由基本不等式的性质求出的最小值，即可得的最小值，据此分析可得答案．【解答】解：依据题