高考数学大题精做专题02构造等差或者等比数列求解数列的通项公式(第二篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第二篇数列与不等式专题02构造等差或者等比数列求解数列的通项公式类型对应典例构造等差数列求解通项公式典例1构造等比数列求解通项公式典例2利用构造证明数列为等比等差数列典例3利用两个数列的递推关系构造数列求通项公式典例4利用构造证明数列为等比数列典例5利用构造证明数列为等比数列典例6【典例1】【四川省攀枝花市2019-2020学年高三上学期第一次统考】数列中，，,数列满足．（I）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（II）设，求数列的前n项．【思路点拨】（I）将配凑成.由此证得数列是等差数列.求得的表达式，进而求得数列的通项公式.（II）先求得的表达式，然后利用裂项求和法求得.【典例2】【2020届湖南省长沙市第一中学高三月考】已知数列的前项和为，且.(1)设，证明数列为等比数列，并求出通项公式；(2)求.【思路点拨】（1）由题可得,与条件作差可得,则,即可证明数列为等比数列,利用等比数列的通项公式求得数列的通项公式,进而求得数列的通项公式；（2）由（1）可得,进而利用等比数列的前项和公式求解即可【典例3】【2020届山东省青岛市高三上学期期末数学试题】设数列的前n项和为,已知,,.(1)证明:为等比数列,求出的通项公式;(2)若,求的前n项和,并判断是否存在正整数n使得成立?若存在求出所有n值;若不存在说明理由.【思路点拨】(1)根据等比数列的定义即可证明为等比数列，再根据和的关系，即可求出的通项公式；(2)根据，可采取错位相减法求出的前n项和，然后代入得，，构造函数()，利用其单调性和零点存在性定理即可判断是否存在．【典例4】【广东省佛山市2019-2020学年高三教学质量检测（一)】已知数列是等比数列，数列满足，，.（1）求的通项公式；（2）求的前项和.【思路点拨】（1）根据已知条件求出，即可求出等比数列的通项公式；（2）由（1）可得，即数列是公差为1的等差数列，求出的通项公式，利用错位相减法求出数列的前项和.【典例5】【2020届浙江省杭州市第二中学高三12月月考数学试题】已知正项数列满足，.（1）证明：数列是等比数列；（2）证明：.【思路点拨】（1）将题干中的等式因式分解后得出，由此得出，再利用定义证明出数列为等比数列；（2）求出，利用放缩法得出，结合等比数列的求和公式可证明出结论成立.【典例6】【天津市南开区南开中学2019届高三第五次月考】已知数列的前项和为，且.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【思路点拨】(1)由，可得，两式相减，可化为,结合等比数列的定义,即可得到结论；（2）由⑴，利用“裂项法”，即可求得数列的前项和.【针对训练】1.【2020届内蒙古赤峰市高三上学期期末】已知数列满足，．（1）求证：为等比数列，并求数列的通项公式；（2）若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的前项和．2.【2020届河北省保定市高三上学期期末】已知数列满足为等比数列，且，，.（1）试判断列是否为等比数列，并说明理由；（2）求.3.【2020届北京市清华大学附属中学高三第一学期（12月)月考】已知数列，满足且.(1)求证是单增数列；(2)求数列的前n项和.4.【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（二)】已知数列的前n项和为，.（1）证明：为等比数列；（2）设，若不等式对恒成立，求t的最小值.5.【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】已知数列满足：，，.（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前n项和.6.【2020届陕西省咸阳市高三上学期期末考试】已知数列的前项和为，且满足.（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和.7.【2020届四川省达州市普通高中高三第一次诊断性测】已知数列满足，且时，，，成等差数列．（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的前项和．8.【2020届山西省太原市第五中学高三11月阶段性考试】已知数列满足，且.（1）求证：数列是等比数列.（2）设为数列的前项的和，记为数列的前项和，若，，求的最小值.9.在数列中，，，(1)设，证明：数列是等差数列；(2)求数列的前项和.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第二篇数列与不等式专题02构造等差或者等比数列求解数列的通项公式类型对应典例构造等差数列求解通项公式典例1构造等比数列求解通项公式典例2利用构造证明数列为等比等差数列典例3利用两个数列的递推关系构造数列求通项公式典例4利用构造证明数列为等比数列典例5利用构造证明数列为等比数列典例6【典例1】【四川省攀枝花市2019-2020学年高三上学期第一次统考】数列中，，,数列满足．（I）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（II）设，求数列的前n项．【思路点拨】（I）将配凑成.由此证得数列是等差数列.求得的表达式，进而求得数列的通项公式.（II）先求得的表达式，然后利用裂项求和法求得.解：（I）由，即．而，∴，即．又，∴数列是首项和公差均为1的等差数列．于是，∴．（II）∵，∴．∴．【典例2】【2020届湖南省长沙市第一中学高三月考】已知数列的前项和为，且.(1)设，证明数列为等比数列，并求出通项公式；(2)求.【思路点拨】（1）由题可得,与条件作差可得,则,即可证明数列为等比数列,利用等比数列的通项公式求得数列的通项公式,进而求得数列的通项公式；（2）由（1）可得,进而利用等比数列的前项和公式求解即可解：(1)由,得,两式相减,得,所以,即,当时,,所以,则,所以数列是以6为首项,2为公比的等比数列,所以,所以(2)由(1)知,则【典例3】【2020届山东省青岛市高三上学期期末数学试题】设数列的前n项和为,已知,,.(1)证明:为等比数列,求出的通项公式;(2)若,求的前n项和,并判断是否存在正整数n使得成立?若存在求出所有n值;若不存在说明理由.【思路点拨】(1)根据等比数列的定义即可证明为等比数列，再根据和的关系，即可求出的通项公式；(2)根据，可采取错位相减法求出的前n项和，然后代入得，，构造函数()，利用其单调性和零点存在性定理即可判断是否存在．解：(1)∵∴，因为，所以可推出．故，即为等比数列．∵，公比为2∴，即，∵，当时，，也满足此式，∴；(2)因为，∴，两式相减得:即，代入，得．令()，在成立，∴，为增函数，而，所以不存在正整数n使得成立．【典例4】【广东省佛山市2019-2020学年高三教学质量检测（一)】已知数列是等比数列，数列满足，，.（1）求的通项公式；（2）求的前项和.【思路点拨】（1）根据已知条件求出，即可求出等比数列的通项公式；（2）由（1）可得，即数列是公差为1的等差数列，求出的通项公式，利用错位相减法求出数列的前项和.解：（1）由，取，得，解得.取，得，解得.∵是等比数列，则，.∴的通项公式为.（2）∵，∴数列是公差为1的等差数列.，则.设的前项和为，则，.则.∴.【典例5】【2020届浙江省杭州市第二中学高三12月月考数学试题】已知正项数列满足，.（1）证明：数列是等比数列；（2）证明：.【思路点拨】（1）将题干中的等式因式分解后得出，由此得出，再利用定义证明出数列为等比数列；（2）求出，利用放缩法得出，结合等比数列的求和公式可证明出结论成立.解：（1），.，，，即，则有且，数列是以为首项，以为公比的等比数列；（2）由（1）得，即，得，.【典例6】【天津市南开区南开中学2019届高三第五次月考】已知数列的前项和为，且.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【思路点拨】(1)由，可得，两式相减，可化为,结合等比数列的定义,即可得到结论；（2）由⑴，利用“裂项法”，即可求得数列的前项和.解：（1）令，得，由此得,由于，则，两式相减得，即，所以，即，故数列是等比数列，其首项为，，故数列的通项公式是.（2），，.【针对训练】1.【2020届内蒙古赤峰市高三上学期期末】已知数列满足，．（1）求证：为等比数列，并求数列的通项公式；（2）若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的前项和．【思路点拨】（1）由已知构造等比数列，可得，化简即为的通项.（2）由已知得，代入，可得，所以数列的前项和分别利用等差数列和等比数列求和公式即可求得.解：（1）由，得，即，又，∴是以为首项，公比为的等比数列．∴，∴．（2）由已知得，∵，∴．所以数列的前项和为：．2.【2020届河北省保定市高三上学期期末】已知数列满足为等比数列，且，，.（1）试判断列是否为等比数列，并说明理由；（2）求.【思路点拨】（1）根据所给通项公式及,,,可求得,即可利用等比中项定义判断是否为等比数列.（2）根据为等比数列,即可由（1）中所得首项与公比求得.根据结合递推公式与累加法,即可求得.解：（1）数列不是等比数列.理由如下：由,且得：所以,,又因为数列为等比数列,所以可知其首项为4,公比为2.所以,,显然故数列不是等比数列.（2）结合（1）知,等比数列的首项为4,公比为2,故,所以,因为,令累加得,,又满足上式,3.【2020届北京市清华大学附属中学高三第一学期（12月)月考】已知数列，满足且.(1)求证是单增数列；(2)求数列的前n项和.【思路点拨】（1）先求出数列的通项公式，再得,直接作差可得单调性；（2）用裂项相消法求数列的和．解：（1）∵，∴数列是等差数列，公差为2，又，∴，∴．时，，所以，所以数列是递增数列．（2），∴．4.【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（二)】已知数列的前n项和为，.（1）证明：为等比数列；（2）设，若不等式对恒成立，求t的最小值.【思路点拨】(1)利用得到的递推公式再构造数列证明即可.(2)根据(1)可求得,进而求得,再用裂项求和求解进而求得t的最小值解：（1）,故为等比数列.（2）令,则有,所以,所以,令,令,所以.所以.故t的最小值为.5.【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】已知数列满足：，，.（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前n项和.【思路点拨】（1），则代入已知式可证得结论；（2）由（1）求得，从而得，用错位相减法求数列的前n项和.解：（1）设，由题，即，又，为等比数列，即为等比数列；（2）由（1）知，即，，，，，两式相减得，.6.【2020届陕西省咸阳市高三上学期期末考试】已知数列的前项和为，且满足.（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和.【思路点拨】（I）令，利用可求得；当时，利用整理可得，从而证得结论；（II）由（I）可得的通项公式，从而求得，利用错位相减法求得结果.解：（I）令，，解得：当且时，，，即是以为首项，为公比的等比数列（II）由（I）知：设数列的前项和为则两式作差得：7.【2020届四川省达州市普通高中高三第一次诊断性测】已知数列满足，且时，，，成等差数列．（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的前项和．【思路点拨】（1）利用等差中项的知识列出算式，然后整理算式，对算式进行变形可发现数列为等比数列；（2）先根据（1）的结论得出数列的通项公式，然后根据通项公式的特点分组求和即可得到前项和．解：（1）证明：由题意，当时，，，成等差数列，则，即，，又，数列是以1为首项，2为公比的等比数列．（2）解：由（1），知，即，．．8.【2020届山西省太原市第五中学高三11月阶段性考试】已知数列满足，且.（1）求证：数列是等比数列.（2）设为数列的前项的和，记为数列的前项和，若，，求的最小值.【思路点拨】（1）首先令，解得，将化简为，得到数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）可知，利用分组求和可算出，从而得到，再计算即可找到的最小值.解：（1）当时，，因为，所以.由，