2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)拓展六：利用导数研究双变量问题(精讲)(原卷版+解析)

拓展六：利用导数研究双变量问题（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析重点题型一：分离双参，构造函数重点题型二：糅合双参（比值糅合）重点题型三：糅合双参（差值糅合）重点题型四：变更主元法第三部分：高考（模拟）题体验第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆1、导数中求解双变量问题的一般步骤：（1）先根据已知条件确定出变量满足的条件；（2）将待求的问题转化为关于的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及的式子转化为关于的式子，将问题转化为关于自变量（亦可）的函数问题；②通过的乘积关系，用表示（用表示亦可），将双变量问题替换为（或）的单变量问题；（3）构造关于或的新函数，同时根据已知条件确定出或的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.2、破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果第二部分：第二部分：典型例题剖析重点题型一：分离双参，构造函数1．(2023·重庆市第七中学校高二阶段练习）已知函数的定义域为，且对恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．(2023·广东·新会陈经纶中学高三阶段练习）已知若对于任意两个不等的正实数、，都有恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高二）设函数，.若对任何，，恒成立，求的取值范围______.4．(2023·辽宁·沈阳市第三十一中学高三阶段练习），均有成立，则的取值范围为___________.5．(2023·安徽·六安一中高三阶段练习）设函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．6．(2023·山东·高三阶段练习）设函数，.（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的极小值；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.7．(2023·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知是定义在上的奇函数，时，，是定义在的函数，且．（1）求函数的解析式；（2）若对于，，使得成立，求实数a的取值范围．重点题型二：糅合双参（比值糅合）1．(2023·福建省福州高级中学高三阶段练习）已知函数.且函数有两个零点，(1)求实数a的取值范围；(2)设的两个零点，且，求证：.2．(2023·全国·高三专题练习）设，函数，若有两个相异零点，求证：.3．(2023·重庆·万州纯阳中学校高二期中）设函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若有两个零点，①求a的取值范围；②证明：.4．(2023·宁夏·银川二中一模（理））已知函数，.(1)若，求函数的单调区间；(2)若，且，证明：.5．(2023·广西玉林·高二期末（理））已知函数．(1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；(2)若函数f（x）有三个极值点，，，且．证明：．6．(2023·全国·高三专题练习）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个相异零点，求证：.7．(2023·全国·高三专题练习）已知函数（）.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数恰有两个极值点，（），且，求的最大值.8．(2023·全国·高三专题练习）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证.重点题型三：糅合双参（差值糅合）1．(2023·河南河南·模拟预测（理））设函数.(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点和，设，证明：（为的导函数）.2．(2023·广东·珠海市第一中学高二阶段练习）函数.(1)若恒成立，求a的值；(2)若有两个不相等的实数解，，证明.3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，．其中为自然对数的底数．（1）若，讨论的单调性；（2）已知，函数恰有两个不同的极值点，，证明：．重点题型四：变更主元法1．(2023·四川·树德中学高一阶段练习）已知函数.(1)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对任意的，恒成立，求x的取值范围.2．(2023·福建省德化第一中学高二期末）设函数.(1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围；(2)若对于，恒成立，求实数的取值范围.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.（1）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；（3）若对于任意成立，求实数的取值范围.4．(2023·全国·高一专题练习）若不等式对满足的所有m都成立，求x的取值范围．拓展六：利用导数研究双变量问题（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析重点题型一：分离双参，构造函数重点题型二：糅合双参（比值糅合）重点题型三：糅合双参（差值糅合）重点题型四：变更主元法第三部分：高考（模拟）题体验第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆1、导数中求解双变量问题的一般步骤：（1）先根据已知条件确定出变量满足的条件；（2）将待求的问题转化为关于的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及的式子转化为关于的式子，将问题转化为关于自变量（亦可）的函数问题；②通过的乘积关系，用表示（用表示亦可），将双变量问题替换为（或）的单变量问题；（3）构造关于或的新函数，同时根据已知条件确定出或的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.2、破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果第二部分：第二部分：典型例题剖析重点题型一：分离双参，构造函数1．(2023·重庆市第七中学校高二阶段练习）已知函数的定义域为，且对恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：A【详解】解：设，因为对，当时都有恒成立，等价于，即，令，则，所以在上为减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，则，所以函数在上单调递减，在单调递增，又，，且，所以，所以，解得，故选：A.2．(2023·广东·新会陈经纶中学高三阶段练习）已知若对于任意两个不等的正实数、，都有恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【详解】不妨设，可得，可得，令，则，所以，函数在上为增函数，对任意的恒成立，所以，，当时，，当且仅当时，等号成立，所以，.故选：B.3．(2023·全国·高二）设函数，.若对任何，，恒成立，求的取值范围______.答案：14,+∞##k|k≥14【详解】因为对任何，，所以对任何，，所以在上为减函数.，，所以恒成立，即对恒成立，所以，所以.即的取值范围是.故答案为：.4．(2023·辽宁·沈阳市第三十一中学高三阶段练习），均有成立，则的取值范围为___________.答案：【详解】不妨设，则，由可得，所以，即，所以，令，则，因为，所以在上单调递减，所以对于恒成立，所以对于恒成立，可得对于恒成立，所以，因为在上单调递减，所以，所以，故答案为：5．(2023·安徽·六安一中高三阶段练习）设函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．答案：(1)当时，，此时在上单调递减，在上单调递增；当时，，此时在上单调递增，在上单调递减；(2)【详解】(1))令，所以，当时，，此时在上单调递减，在上单调递增；当时，，此时在上单调递增，在上单调递减；（2）当时，，在上单调递减，在单调递增.所以对任意，有，又已知存在，使，所以即存在，使即又因为当，所以，即实数的取值范围.6．(2023·山东·高三阶段练习）设函数，.（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的极小值；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）极小值为；（2）.【详解】（1）因为，则.曲线在点处的切线与直线平行，此切线的斜率为，即，解得，则，，由，得，由，得，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值，故的极小值为；（2）对任意，恒成立等价于：对任意，恒成立，设，则对任意，，即，所以，函数在上单调递减，在上恒成立，在上恒成立，，故实数的取值范围是.7．(2023·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知是定义在上的奇函数，时，，是定义在的函数，且．（1）求函数的解析式；（2）若对于，，使得成立，求实数a的取值范围．答案：（1）；（2）．【详解】（1）设，则，所以，又是奇函数，所以，所以，又，所以（2）由题意得．当时，，所以在上单调递增，所以；当时，，所以在上单调递增，所以，所以．对于，因为，，所以，当且仅当即时等式成立．所以，所以，整理得，所以实数a的取值范围是．重点题型二：糅合双参（比值糅合）1．(2023·福建省福州高级中学高三阶段练习）已知函数.且函数有两个零点，(1)求实数a的取值范围；(2)设的两个零点，且，求证：.答案：(1)；(2)证明见解析.（1）函数的定义域为，对函数求导得，当时，，函数在上单调递增，至多有一个零点，不成立；当时，，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，；当时，故若函数有两个零点，则极大值，解得：.故实数a的取值范围是.（2）由(1)可知，因是函数的两个零点，则，即，，要证，两边同时取自然对数，只需证明，只需证明，即证，只需证，即证，令，而，则，只需证明，令函数，，求导得：令函数，，求导得，则函数在上单调递增，于是有，因此，函数在上单调递减，则，即成立，所以原不等式得证.2．(2023·全国·高三专题练习）设，函数，若有两个相异零点，求证：.答案：证明见解析【详解】由已知得，，所以，所以要证，即证，即证，设，令，，则，所以在上单调递增，所以，即，即，即所以原题得证.3．(2023·重庆·万州纯阳中学校高二期中）设函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若有两个零点，①求a的取值范围；②证明：.答案：(1)当时，在为增函数，当时，在上是减函数，在上为增函数；(2)；详见证明过程．(1)的定义域为，且，当时，成立，所以在为增函数，当时，①当时，，所以在上为增函数，②当时，，所以在上为减函数；综上：当时，在为增函数，当时，在上是减函数，在上为增函数，(2)结合（1），当时，取得极小值，又∵函数有两个零点，∴，可得，综上所述，；下面证明结论成立：不妨设，设，，可得，，∴在上单调递增，∴，即，，，∴当时，，又∵，，∴，又∵当时，单调递增，∴，即，设，，则，两式相比得，即，∴，又∵，令，则，令，则，则在内单调递减，即，即，故，故在上单调递减，∴，∴，即；综上所述，．4．(2023·宁夏·银川二中一模（理））已知函数，.(1)若，求函数的单调区间；(2)若，且，证明：.答案：(1)单调递增区间为，无单调递减区间(2)证明见解析(1)解：依题意，.令，则，当时，，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，故函数的单调递增区间为，无单调递减区间.(2)证明：要证，即证.依题意，、是方程的两个不等实数根，不妨令，因为，故，两式相加可得，两式相减可得，消去，整理得，故，令，故只需证明，即证明，设，故，故在上单调递增，从而，因此.故原不等式得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.5．(2023·广西玉林·高二期末（理））已知函数．(1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；(2)若函数f（x）有三个极值点，，，且．证明：．答案：(1)；(2)证明见解析.(1)当时，，则，，所以，则曲线在点处的切线方程为：，即；(2)由，得函数的定义域为R，，由题意知，方程有3个根，则，方程有2个根，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，作出函数的大致图象，如图，由图可知，当时，函数图象有2个交点，横坐标分别为，且，要证明，即证，即证，因为，得，有，即.下面证明，即证，设，令，则，，令，，所以函数在上单调递减，故，所以；接下来证明，即证，设，令，则，，令，，所以函数在上单调递增，故，所以，综上，得，即，所以，故，所以.6．(2023·全国·高三专题练习）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个相异零点，求证：.答案：（1）时，在单调递增；时，在单调递减，在单调递增；（2）证明见解析.【详解】解：由题意得，

①时，恒成立，所以，所以在单调递增.

②时，在上，在上，所以在单调递减，在单调递增.

综上，时，在单调递增.时，在单调递减，在单调递增.

（2）因为有两个相异零点，，由（1）可知，，不妨设，因为，，所以，，所以，

要证，即证，等价于证明，而，所以等价于证明，也就是.

（*）令，则，于是欲证（*）成立，等价于证明成立，设函数，求导得，所以函数是上的增函数，所以，即成立，所以成立.7．(2023·全国·高三专题练习）已知函数（）.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数恰有两个极值点，（），且，求的最大值.答案：（1）答案见解析；（2）.【详解】（1）函数的定义域为，，当时，恒成立，在上单调递增；当时，令，则，设，则，易知，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴，∴，在上单调递增；综上，当时，在上单调递增；（2）依题意，，则两式相除得，，设，则，，，∴，，∴，设（），则，设，则，所以在单调递增，则，∴，则在单调递增，又，且∴，∴，即的最大值为.8．(2023·全国·高三专题练习）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证.答案：（1）答案见解析；（2）证明见解析.【详解】（1）解：的定义域为令，方程的判别式，（i）当，即时，恒成立，即对任意，所以在上单调递增.（ii）当，即或①当时，恒成立，即对任意，所以在上单调递增.②当时，由，解得所以当时，当时，当时，，所以在上，在上，所以函数在和上单调递增；在上单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.（2）证明：由，可得得，因此，因为，令，则，所以，所以，要证明，只需证即证由（1）可知，时，在上是增函数，所以当时，，而，因此成立所以重点题型三：糅合双参（差值糅合）1．(2023·河南河南·模拟预测（理））设函数.(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点和，设，证明：（为的导函数）.答案：(1)答案见解析(2)证明见解析（1）解：因为，则，若，对任意的，则，函数的单调递减区间为；若，令，得，当时，，当时，.所以的增区间为，减区间为.综上所述，当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的增区间为，减区间为.（2）证明：不妨令，由题设可得，两式相减整理可得.所以，要证，即证，即证，令，即证，其中，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递增，所以，当时，，即，故原不等式得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.2．(2023·广东·珠海市第一中学高二阶段练习）函数.(1)若恒成立，求a的值；(2)若有两个不相等的实数解，，证明.答案：(1)(2)证明见解析(1)解：函数，则，要使恒成立，需使得为函数的最小值点，由①当时，，此时在R上单调递减，不符合题意；②当时，令得，令得∴在单调递减，在单调递增，∴时取最小即∴(2)解：若有两个不相等的实数解，，则，，两式相减得：，即，故要证，只需证：，即证：，即证：，不妨设，令，，则需证：，设，，则，，设，，则，当时取等号，即，单调递减，故，即是，单调递减函数，故，即成立，故原不等式成立.3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，．其中为自然对数的底数．（1）若，讨论的单调性；（2）已知，函数恰有两个不同的极值点，，证明：．答案：（1）当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在单调递增；（2）证明见解析．【详解】解：（1），，（i）当时，，函数在上递减；（ii）当时，令，解得；令，解得，函数在递减，在递增；综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在单调递增；（2）证明：，依题意，不妨设，则，两式相减得，，因为，要证，即证，即证，两边同除以，即证.令，即证，令，则，令，则，当时，，所以在上递减，，在上递减，，即，故