高一数学新教材同步配套教学讲义(人教A版必修第二册)6.2平面向量的运算(原卷版+解析)

6.2平面向量的运算【知识点梳理】知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则1.向量加法的概念及三角形法则已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．2．向量加法的平行四边形法则已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量，我们规定．知识点诠释：两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律1.向量求和的多边形法则的概念已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有2．向量加法的运算律（1）交换律：；（2）结合律：知识点三：向量的三角形不等式由向量的三角形法则，可以得到(1)当不共线时，；(2)当同向且共线时，同向，则；(3)当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．知识点四：向量的减法1．向量的减法（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．知识点诠释：（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．（3）两个向量的差仍是一个向量．2．向量减法的作图方法（1）已知向量，，作，则=,即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．知识点五：数乘向量1.向量数乘的定义实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：(1)；(2)①当时，的方向与的方向相同；②当时.的方向与的方向相反；③当时，.2．向量数乘的几何意义由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．3.向量数乘的运算律设为实数结合律：；分配律：，知识点六：向量共线的条件1．向量共线的条件（1）当向量时，与任一向量共线．（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．2．向量共线的判定定理是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．3．向量共线的性质定理若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．知识点诠释：（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；（3）有且只有一个实数，使．（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.知识点七：平面向量的数量积1.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有.并规定与任何向量的数量积为0.2.如图（1），设是两个非零向量，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.如图（2），在平面内任取一点O，作.过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.知识点诠释：1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.(3)在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出.因为其中有可能为0.2.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为.3.投影向量是一个向量，当对于任意的，都有.知识点八：平面向量数量积的几何意义数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义。图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即。事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以。知识点九：向量数量积的性质设与为两个非零向量，是与同向的单位向量.1.2.3.当与同向时，；当与反向时，.特别的或4.5.知识点十：向量数量积的运算律1.交换律：2.数乘结合律：3.分配律：知识点诠释：1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bca=c.但是；2.在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.【典型例题】类型一：向量的加法运算例1．已知、是不平行的向量，若，，，则下列关系中正确的是（）A． B．C． D．例2．设，是任一非零向量，则在下列结论中:①；②；③；④；⑤.正确结论的序号是（）A．①⑤ B．②④⑤ C．③⑤ D．①③⑤例3．已知下列各式：①；②；③；④.其中结果为的是____.(填序号)变式1．如图，在平行四边形中，O是和的交点.

（1）____________；（2）________；（3）_______；（4）_________.变式2．在中，若，．（1）若P、Q是线段BC的三等分点，求证：；（2）若P、Q、S是线段BC的四等分点，求证：；（3）如果、、、…、是线段BC的等分点，你能得到什么结论？不必证明．（已知）变式3．如图，已知D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，求证：类型二：向量的减法运算例4．在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（）A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形例5．如图，已知向量，，求作向量．例6．在中，设，.设点分别是边的两个三等分点（其中点离点近，点离点近），试用表示和；变式4．如图，点O是的两条对角线的交点，，，，求证：．变式5．已知P为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式．试根据题意作图，观察四边形ABCD的形状．你发现四边形ABCD有什么特殊的性质？并说明你的依据．类型三：与向量的模有关的问题例7．（1）已知、、的模分别为1、2、3，求|++|的最大值；（2）如图所示，已知矩形ABCD中，，设，，，试求|++|的大小．例8.已知平面上不共线的四点，若，则等于（）A． B． C．3 D．2变式6.已知非零向量，满足，，且|－|=4，求|+|的值．变式7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，＝16，，则||等于________．类型四：向量的数乘运算例9．计算下列各式：（1）4(+)3()；（2）3(2+)(2+3)；（3）．变式8.已知，求.例10.如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示变式9．如图，在△中，D，E为边的两个三等分点，，求．变式10．如图，四边形ABCD中，已知.（1）用，表示；（2）若，，用，表示.类型五：共线向量与三点共线问题例11.设两非零向量和不共线，(1)如果求证三点共线.(2)试确定实数，使和共线.例12.已知向量，，其中，不共线，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与共线？例13．如图所示：，在中，向量，AD与BC交于点M，设，在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.变式11.已知向量是不共线的两个向量，．（1）若，当时，求的值．（2）若三点共线，求实数t的值；变式12．如图所示，在中，，，与相交于点，设，.（1）试用向量，表示；（2）过点作直线，分别交线段，于点，.记，，求的值.变式13．在的边，上分别取点，，使得，，设线段与交于点，记，，用，表示向量．类型六：平面向量数量积的运算例14．1．已知平面单位向量，，且，则在方向上的投影向量为_________；（）的最小值是_________．例15．已知，且，则向量在向量上的投影向量的模等于________．例16．已知，，（1）求；（2）求向量在向量方向上的投影变式14．已知平面向量，满足，，.（1）求；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.变式15．已知，且向量与向量的夹角．（1）求；（2）求向量在向量上的投影向量．类型七：平面向量模的问题例17．如图所示，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，BE＝EC，AF＝2FC，则||＝（）

A． B． C． D．例18．已知向量与满足，，与的夹角大小为60°，则______．变式16．如图，在平面四边形中，，.（1）求的值；（2）若是线段上一点（含端点），求的取值范围.变式17．已知，求（1）；（2）变式18．已知向量，满足：，，.（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，求实数的值.类型八：向量垂直（或夹角）问题例19．（多选题）下列命题中假命题的是（）A．向量与向量共线，则存在实数使B．，为单位向量，其夹角为θ，若，则C．若，则D．已知与是互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是.例20．已知，且向量在向量方向上的投影数量为.（1）求与的夹角；（2）求；（3）当为何值时，向量与向量互相垂直？例21．已知，，，求：（1）与的夹角；（2）与的夹角的余弦值．变式19．如图，在平面四边形中，，设.（1）若，求x，y的值；（2）若且与夹角的余弦值为，求与夹角的余弦值.变式20．已知向量，的夹角为，且，，（其中）．当取最小值时，求与的夹角的大小．变式21．如图，在菱形中，是的中点，交于点，设，.（1）若，求，的值；（2）若，，求.变式22．如图，在正方形中，点是边上中点，点在边上上.（1）若点是上靠近的三等分点，设，求的值.（2）若，当时，求的值.同步练习:一、单选题1．（2023·全国·高一课前预习）若，，均为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（）A． B．C． D．2．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（）A． B．C． D．3．（2023·浙江·宁波咸祥中学高一期中）下列各式中不能化简为的是（）A． B．C． D．4．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，不共线，，，如果，那么（）A．且与同向 B．且与反向C．且与同向 D．且与反向5．（2023·全国·高一课时练习）我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则=（）A． B．C． D．6．（2023·全国·高一课时练习）已知非零向量与方向相反，则下列等式中成立的是（）A． B．C． D．7．（2023·重庆第二外国语学校高一月考）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°8．（2023·全国·高一课时练习）设，，是三个非零向量，且相互不共线，有下列命题：①；②；③不与垂直；④．其中，是真命题的有（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④9．（2023·福建·泉州科技中学高一月考）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点点N与点C不重合，设，，则的最小值为（）A．2 B．C． D．10．（2023·浙江慈溪·高一期中）若点是所在平面内一点，且满足：.则与的面积之比为（）A． B． C． D．二、多选题11．（2023·全国·高一课时练习）等边三角形中，，AD与BE交于F，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．12．（2023·山东邹城·高一期中）已知外接圆的圆心为，半径为2，且，，则有（）A．B．C．点是的垂心D．在方向上的投影向量的长度为13．（2023·全国·高一课时练习）在中，，P为线段上任意一点，则的可能值有（）A． B． C．2 D．314．（2023·重庆第二外国语学校高一月考）下列说法不正确的是（）A．已知均为非零向量，则存在唯一的实数，使得B．若向量共线，则点必在同一直线上C．若且，则D．若点为的重心，则15．（2023·广东高州·高一期末）已知向量，，满足，且，，向量与，与，与的夹角都是，则的值可能为（）A． B． C． D．116．（2023·广东·仲元中学高一期中）已知､是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（）A．､的夹角是 B．､的夹角是C． D．三、填空题17．（2023·全国·高一单元测试）已知，则___________.18．（2023·河北·张家口市第一中学高一月考）已知，，，且是与方向相反的单位向量，则在上的投影向量为______.19．（2023·天津市军粮城中学高一期中）已知，，，且与垂直，则______.20．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，，则______．21．（2023·全国·高一课时练习）已知，且，则实数___________.22．（2023·河北武强中学高一月考）已知M是边长为1的正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则的取值范围是________.23．（2023·云南·昆明八中高一月考）已知菱形的边长为2，，点､分别在直线､上，，若，则实数的值为___________.四、解答题24．（2023·全国·高一课时练习）计算：（1）；（2）．25．（2023·上海·高一课时练习）已知，.（1）当k为何值时，与共线？（2）若，且A，B，C三点共线，求m的值．26．（2023·全国·高一课时练习）设m为实数，若，，，，是不共线的两个向量，且A，B，C三点共线，求m的值．27．（2023·湖南·嘉禾县第一中学高一月考）已知，与的夹角为，设．（1）求的值；（2）若与的夹角是锐角，求实数t的取值范围．28．（2023·全国·高一课时练习）如图，在直角三角形ABC中，，，．求：（1）；（2）．29．（2023·上海·高一课时练习）如图，中，AD为三角形BC边上的中线且AE=2EC，BE交AD于G，求及的值．30．（2023·上海·高一课时练习）如图，在边长为1的正△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若＝m，＝n，m，n∈(0，1)．设EF的中点为M，BC的中点为N．（1）若A，M，N三点共线，求证：m＝n；（2）若m+n=1，求的最小值．6.2平面向量的运算【知识点梳理】知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则1.向量加法的概念及三角形法则已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．2．向量加法的平行四边形法则已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量，我们规定．知识点诠释：两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律1.向量求和的多边形法则的概念已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有2．向量加法的运算律（1）交换律：；（2）结合律：知识点三：向量的三角形不等式由向量的三角形法则，可以得到(1)当不共线时，；(2)当同向且共线时，同向，则；(3)当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．知识点四：向量的减法1．向量的减法（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．知识点诠释：（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．（3）两个向量的差仍是一个向量．2．向量减法的作图方法（1）已知向量，，作，则=,即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．知识点五：数乘向量1.向量数乘的定义实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：(1)；(2)①当时，的方向与的方向相同；②当时.的方向与的方向相反；③当时，.2．向量数乘的几何意义由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．3.向量数乘的运算律设为实数结合律：；分配律：，知识点六：向量共线的条件1．向量共线的条件（1）当向量时，与任一向量共线．（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．2．向量共线的判定定理是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．3．向量共线的性质定理若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．知识点诠释：（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；（3）有且只有一个实数，使．（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.知识点七：平面向量的数量积1.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有.并规定与任何向量的数量积为0.2.如图（1），设是两个非零向量，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.如图（2），在平面内任取一点O，作.过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.知识点诠释：1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.(3)在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出.因为其中有可能为0.2.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为.3.投影向量是一个向量，当对于任意的，都有.知识点八：平面向量数量积的几何意义数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义。图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即。事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以。知识点九：向量数量积的性质设与为两个非零向量，是与同向的单位向量.1.2.3.当与同向时，；当与反向时，.特别的或4.5.知识点十：向量数量积的运算律1.交换律：2.数乘结合律：3.分配律：知识点诠释：1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bca=c.但是；2.在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.【典型例题】类型一：向量的加法运算例1．已知、是不平行的向量，若，，，则下列关系中正确的是（）A． B．C． D．答案：C【解析】＝＋＋＝＝＝2．故选：C例2．设，是任一非零向量，则在下列结论中:①；②；③；④；⑤.正确结论的序号是（）A．①⑤ B．②④⑤ C．③⑤ D．①③⑤答案：D【解析】，又是任一非零向量，，，，①③⑤正确.故选：D.例3．已知下列各式：①；②；③；④.其中结果为的是____.(填序号)答案：①④【解析】①;②;③;④.故答案为：①④.变式1．如图，在平行四边形中，O是和的交点.

（1）____________；（2）________；（3）_______；（4）_________.答案：【解析】（1）由平行四边形法则，；（2）由向量加法的三角形法则，；（3）由向量加法法则得，；（4）由向量加法法则得，．故答案为：；；；．变式2．在中，若，．（1）若P、Q是线段BC的三等分点，求证：；（2）若P、Q、S是线段BC的四等分点，求证：；（3）如果、、、…、是线段BC的等分点，你能得到什么结论？不必证明．（已知）【解析】（1）解：当P、Q是线段BC的三等分点时，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，连接AD，交BC于O点，连接PD、QD，如图所示，则，因为，，所以且，所以四边形APDQ是平行四边形，所以.（2）解：当P、Q、S是线段BC的四等分点时，如图所示，则Q是BC的中点，所以.（3）结论：．变式3．如图，已知D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，求证：【解析】如图，连接DE，EF，FD,因为D，E，F分别是△ABC三边的中点，所以四边形ADEF为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得①,同理②，③，将①②③式相加，.类型二：向量的减法运算例4．在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（）A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形答案：B【解析】∵，∴，∴，∴四边形一定是梯形．故选：B.例5．如图，已知向量，，求作向量．【解析】解：(1)如图，将向量的起点平移到向量的起点，以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量；(2)如图，将向量的起点平移到向量的起点，以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量；例6．在中，设，.设点分别是边的两个三等分点（其中点离点近，点离点近），试用表示和；【解析】解：如图，，变式4．如图，点O是的两条对角线的交点，，，，求证：．【解析】证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以．因为，，所以，即．变式5．已知P为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式．试根据题意作图，观察四边形ABCD的形状．你发现四边形ABCD有什么特殊的性质？并说明你的依据．【解析】由题设，可得如下示意图，表示同一向量，四边形ABCD为平行四边形，由已知条件，可得：，即，易知：且.∴四边形ABCD为平行四边形.类型三：与向量的模有关的问题例7．（1）已知、、的模分别为1、2、3，求|++|的最大值；（2）如图所示，已知矩形ABCD中，，设，，，试求|++|的大小．【解析】（1）∵|++|≤||+||+||=1+2+3=6，∴|++|的最大值为6．（2）过点D作AC的平行线，交BC的延长线于E，如图所示．∵DE∥AC，AD∥BE，∴四边形ADEC为平行四边形，∴，，于是，∴．例8.已知平面上不共线的四点，若，则等于（）A． B． C．3 D．2答案：C【解析】解：由，得，即，所以，即，故选：C.变式6.已知非零向量，满足，，且|－|=4，求|+|的值．【解析】如图，，，则．以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则．由于．故，所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以OACB是矩形．根据矩形的对角线相等有，即|+|=4．变式7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，＝16，，则||等于________．答案：2【解析】由，得，，而故答案为：2．类型四：向量的数乘运算例9．计算下列各式：（1）4(+)3()；（2）3(2+)(2+3)；（3）．【解析】（1）原式=43+4+3=+7．（2）原式=36+32+3=7+6．（3）原式．变式8.已知，求.【解析】因为，所以，所以.例10.如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示【解析】在中变式9．如图，在△中，D，E为边的两个三等分点，，求．【解析】∵，∴．又D，E为边的两个三等分点，∴，∴，．变式10．如图，四边形ABCD中，已知.（1）用，表示；（2）若，，用，表示.【解析】（1）因为，所以；（2）因为，所以.类型五：共线向量与三点共线问题例11.设两非零向量和不共线，(1)如果求证三点共线.(2)试确定实数，使和共线.【解析】(1)证明

共线，又有公共点，∴三点共线.(2)解

∵和共线，∴存在，使，则由于和不共线，只能有则.例12.已知向量，，其中，不共线，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与共线？【解析】因为向量，，所以要使与共线，则应有实数，使，即，即得.故存在这样的实数λ，μ，只要，就能使与共线.例13．如图所示：，在中，向量，AD与BC交于点M，设，在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.【解析】因为A，M，D三点共线，所以，因为B，M，C三点共线，所以，解得，所以，因为＝p，＝q，所以.因为共线，所以，即，所以＋＝1.变式11.已知向量是不共线的两个向量，．（1）若，当时，求的值．（2）若三点共线，求实数t的值；【解析】（1）当时，，由于，所以，所以，解得.（2），，由于三点共线，所以.变式12．如图所示，在中，，，与相交于点，设，.（1）试用向量，表示；（2）过点作直线，分别交线段，于点，.记，，求的值.【解析】（1）由，，三点共线，可设，由，，三点共线，可设，∴，解得，，∴.（2）∵，，三点共线，设，由（1）知，，∴，，∴.变式13．在的边，上分别取点，，使得，，设线段与交于点，记，，用，表示向量．【解析】设，又，，，，所以，，因为，三点共线，三点共线，所以，解得，所以．类型六：平面向量数量积的运算例14．1．已知平面单位向量，，且，则在方向上的投影向量为_________；（）的最小值是_________．答案：【解析】由，两边平方得，而在方向上的投影向量为，，（当时取得最小值）所以其最小值为.故答案为：，例15．已知，且，则向量在向量上的投影向量的模等于________．答案：4【解析】由于，且，∴向量在向量上的投影向量的模，故向量在向量上的投影向量的模等于4．故答案为：4．例16．已知，，（1）求；（2）求向量在向量方向上的投影【解析】（1）∵，∴，∵，，∴，∴，（2）∵，∴向量a在向量a＋b方向上的投影为＝＝．变式14．已知平面向量，满足，，.（1）求；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【解析】（1）依题意，，得，，所以；（2）由向量与的夹角为锐角，可得，即有，解得，而当向量与同向时，可知，综上所述的取值范围为.变式15．已知，且向量与向量的夹角．（1）求；（2）求向量在向量上的投影向量．【解析】解：；（2）设与向量方向相同的单位向量为，则．向量在向量上的投影为：，所以向量在向量上的投影向量为．类型七：平面向量模的问题例17．如图所示，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，BE＝EC，AF＝2FC，则||＝（）

A． B． C． D．答案：C【解析】∵，∴.故选：C．例18．已知向量与满足，，与的夹角大小为60°，则______．答案：【解析】解：由题可知，，，与的夹角大小为60°，则，即，则，解得：.故答案为：.变式16．如图，在平面四边形中，，.（1）求的值；（2）若是线段上一点（含端点），求的取值范围.【解析】（1）解：因为，所以是边长为2等边三角形，因为，所以是直角边长为2等腰直角三角形，且，，，所以；（2）解：由是线段上一点（含端点），设，，，有，故，当时，取最小值为；当时，取最小值为.变式17．已知，求（1）；（2）【解析】（1）∴（2）.变式18．已知向量，满足：，，.（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，求实数的值.【解析】（1）由题意得，即，∴，∵，∴.（2）.（3）∵，∴，即.∴.类型八：向量垂直（或夹角）问题例19．（多选题）下列命题中假命题的是（）A．向量与向量共线，则存在实数使B．，为单位向量，其夹角为θ，若，则C．若，则D．已知与是互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是.答案：ACD【解析】A.根据共线向量定理可知，此时，故错误；B.因为，所以，所以，所以，又因为，所以，故正确；C.当中有零向量时，此时，因为零向量方向是任意的，所以不一定满足，故错误；D.因为向量与的夹角为锐角，所以，所以，即，且与不同向，当向量与共线时，设，所以，所以，显然时，与同向，综上可知，的取值范围是，故错误；故选：ACD.例20．已知，且向量在向量方向上的投影数量为.（1）求与的夹角；（2）求；（3）当为何值时，向量与向量互相垂直？【解析】（1）因为，所以.又在方向上的投影数量为，所以，所以，所以.（2）.（3）因为与互相垂直，所以，所以，所以.例21．已知，，，求：（1）与的夹角；（2）与的夹角的余弦值．【解析】（1），，，设与的夹角为，则．又，；（2），，．，又．，设与的夹角为，则．即与的夹角的余弦值为．变式19．如图，在平面四边形中，，设.（1）若，求x，y的值；（2）若且与夹角的余弦值为，求与夹角的余弦值.【解析】（1）因为，所以，又，解得，所以，.（2）令，则，（），所以，由（1），则，即，解得，又，则，所以，故.变式20．已知向量，的夹角为，且，，（其中）．当取最小值时，求与的夹角的大小．【解析】由题意，向量，的夹角为，且，，，可得，当时，可得，此时，又由，所以，即与的夹角为.变式21．如图，在菱形中，是的中点，交于点，设，.（1）若，求，的值；（2）若，，求.【解析】（1）在菱形中，，所以，则，可得，，所以，.（2）因为，，所以.又为菱形，，，，，，，由，解得.变式22．如图，在正方形中，点是边上中点，点在边上上.（1）若点是上靠近的三等分点，设，求的值.（2）若，当时，求的值.【解析】解：（1）因为点是上靠近的三等分点，点是边上中点，所以，所以，，所以（2）因为在正方形中，，设，所以，，，所以，解得.所以，所以，所以.同步练习：一、单选题1．（2023·全国·高一课前预习）若，，均为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（）A． B．C． D．答案：D分析：根据向量加法、数量积、数乘运算的运算法则判断．【解析】选项A是向量加法的结合律，正确；选项B是向量数量积运算对加法的分配律，正确；选项C是数乘运算对向量加法的分配律，正确；选项D．根据数量积和数乘定义，等式左边是与共线的向量，右边是与共线的向量，两者一般不可能相等，也即向量的数量积运算没有结合律存在．D错．故选：D．2．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（）A． B．C． D．答案：A分析：利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解.【解析】，，，，故选：A.3．（2023·浙江·宁波咸祥中学高一期中）下列各式中不能化简为的是（）A． B．C． D．答案：D分析：根据向量加减法的法则，分别判断每个选项，得到正确答案.【解析】；；；.故选：D.【点睛】本题考查向量的加减运算，关键是准确灵活使用向量的加法和减法运算法则，注意使用相反向量进行转化.4．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，不共线，，，如果，那么（）A．且与同向 B．且与反向C．且与同向 D．且与反向答案：D分析：由题意可得：，为实数），即，由对应系数相等可得，的值，进而可得向量反向．【解析】由题意可得：，为实数），即，向量、不共线，，解得，故，即反向故选：．5．（2023·全国·高一课时练习）我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则=（）A． B．C． D．答案：B分析：由题意结合平面向量基本定理可得，从而可求得结果【解析】因为此图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且，，，所以，解得，即，故选：B6．（2023·全国·高一课时练习）已知非零向量与方向相反，则下列等式中成立的是（）A． B．C． D．答案：C分析：根据方向相反的两个向量的和或差的运算逐一判断.【解析】A.可能等于零，大于零，小于零，，A不成立B.，，B不成立C.，C成立D.，D不成立.故选：C.7．（2023·重庆第二外国语学校高一月考）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°答案：C分析：首先分别求出与的数量积以及各自的模，利用向量的夹角公式即得解【解析】由已知，，所以，，设向量与的夹角为，则故选：C8．（2023·全国·高一课时练习）设，，是三个非零向量，且相互不共线，有下列命题：①；②；③不与垂直；④．其中，是真命题的有（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④答案：D分析：由题意，，是任意的非零向量，且相互不共线，①中研究向量的数量积与数乘运算，由运算规则判断；②中研究向量差的模与模的差的关系，由其几何意义判断；③中研究向量的垂直关系，可由数量积为0验证；④中是数量积的运算规则考查，由数量积运算规则判断．【解析】解：由题意①是一个错误命题，因为与共线，与共线，由题设条件，是任意的非零向量，且相互不共线知，不成立；②是一个正确命题，由向量的减法法则知，两向量差的模一定小两向量模的差；③是个错误命题，因为，故与垂直，所以此命题不正确；④是一个正确命题因为是正确的；综上知②④是正确命题故选：．9．（2023·福建·泉州科技中学高一月考）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点点N与点C不重合，设，，则的最小值为（）A．2 B．C． D．答案：A分析：利用重心性质及，，共线得到，的关系式，再构造重要不等式，求出最小值．【解析】为的重心，又在线段上，故选：．10．（2023·浙江慈溪·高一期中）若点是所在平面内一点，且满足：.则与的面积之比为（）A． B． C． D．答案：A分析：将已知条件转化为，由此求得两个等高三角形底的比值，从而求得面积的比值.【解析】，即，即，所以,如图，故与同高且底的比为1∶4，故选：A二、多选题11．（2023·全国·高一课时练习）等边三角形中，，AD与BE交于F，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．答案：AC分析：可画出图形，根据条件可得出为边的中点，从而得出选项A正确；由可得出，进而可得出，从而得出选择B错误；可设，进而得出，从而得出，进而得出选项C正确；由即可得出，从而得出选项D错误．【解析】如图，，为的中点，，A正确；，，，B错误；设，且，，三点共线，，解得，，C正确；，D错误.故选：AC12．（2023·山东邹城·高一期中）已知外接圆的圆心为，半径为2，且，，则有（）A．B．C．点是的垂心D．在方向上的投影向量的长度为答案：ABD分析：由条件可得，判断A，进而可得四边形是边长为2的菱形，可判断BC，然后利用向量的几何意义可判断D.【解析】因为，所以，所以，故A正确；由，可得，所以四边形为平行四边形，又为外接圆的圆心，所以，又，所以为正三角形，因为外接圆的半径为2，所以四边形是边长为2的菱形，所以，所以，即，所以，故B正确；由以上分析可得，为钝角三角形，故的外心不是垂心，故C错误；由四边形是边长为2的菱形，可得，所以在方向上的投影向量的长度为，故D正确．故选：ABD．13．（2023·全国·高一课时练习）在中，，P为线段上任意一点，则的可能值有（）A． B． C．2 D．3答案：CD分析：由于，，，所以把作为基底，而P为线段AC上任意一点，所以设，然后利用向量的加减法法则把分别用基底表示出来，再求其数量积化简可求其最值，即可求解.【解析】设，则，因为,所以因为，所以，所以的取值范围为，故选：CD14．（2023·重庆第二外国语学校高一月考）下列说法不正确的是（）A．已知均为非零向量，则存在唯一的实数，使得B．若向量共线，则点必在同一直线上C．若且，则D．若点为的重心，则答案：BC分析：根据平行向量基本定理可判断A，根据平面向量共线的含义可判断B，根据平面向量的数量积可判断C，根据平面向量的运算与三角形重心的性质可判断D．【解析】解：由平行向量的基本定理可知，选项A是正确的；向量共线的意思是向量所在的基线平行或共线，只有当向量，所在的直线线共线时，点，，，才在同一直线上，即B不正确；由平面向量的数量积可知，若，则，所以，无法得到，即C不正确；设线段的中点为，若点为的重心，则，而，所以，即D正确；故选：BC．15．（2023·广东高州·高一期末）已知向量，，满足，且，，向量与，与，与的夹角都是，则的值可能为（）A． B． C． D．1答案：AD分析：设与的夹角为，由，解得，由数量积夹角公式计算即可求得结果.【解析】设与的夹角为，则，得，解得．又与的夹角都是，而，，，所以，解得或，故选：AD．16．（2023·广东·