高中数学选择性必修2课件模块检测卷(A卷)(人教A版)

模块检测卷(A卷)(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)A1.曲线y＝xlnx在点(e，e)处的切线方程为(

) A.y＝2x－e B.y＝－2x－e C.y＝2x＋e D.y＝－x－1

解析

y′＝lnx＋1，则曲线在点(e，e)处的切线斜率lne＋1＝2，所以切线方程为y－e＝2(x－e)，即y＝2x－e，故选A.2.在等差数列{an}中，4(a3＋a4＋a5)＋3(a6＋a8＋a14＋a16)＝36，那么该数列的前14项和为(

) A.20 B.21 C.42 D.84BCA5.中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》.这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得(

) A.78石 B.76石 C.75石 D.74石A6.已知数列{an}是等差数列，{bn}是正项等比数列，且b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6，则a2021＋b9＝(

) A.2025 B.2529 C.2026 D.2277D解析

设数列{bn}的公比为q(q>0)，∵b1＝1，b3＝b2＋2，∴q>1且b1q2＝b1q＋2，即q2＝q＋2，解得q＝－1(舍)或q＝2，∴bn＝2n－1.∵数列{an}是等差数列，公差设为d，b4＝a3＋a5＝23，b5＝a4＋2a6＝24，∴2a4＝23，a4＋2a6＝24，∴a4＝4，a6＝6.∴由a6＝a4＋2d，得d＝1，由a6＝a1＋5d，得a1＝1，∴an＝n.∴a2021＋b9＝2021＋28＝2277，故选D.CAA二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)ABD9.如图是导数y＝f′(x)的图象，下列说法正确的是(

)A.(－1，3)为函数y＝f(x)的单调递增区间B.(3，5)为函数y＝f(x)的单调递减区间C.函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D.函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值解析

由题图，可知当x<－1或3<x<5时，f′(x)<0；当x>5或－1<x<3时，f′(x)>0，所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，5)，单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，所以函数y＝f(x)在x＝－1，x＝5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C说法错误，ABD正确.10.等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，前n项和为Sn，下列选项正确的是(

) A.d>0 B.a1<0 C.当n＝5时Sn最小 D.Sn>0时n的最小值为8ABD解析

由题意，设等差数列{an}的公差为d，因为a7＝3a5，可得a1＋6d＝3(a1＋4d)，解得a1＝－3d，又由等差数列{an}是递增数列，可知d>0，则a1<0，故A，B正确；由n∈N*可知，当n＝3或4时Sn最小，故C错误，11.若函数f(x)＝ex－1与g(x)＝ax的图象恰有一个公共点，则实数a可能取值为(

) A.2 B.0 C.1 D.－1BCD解析

由f(x)＝ex－1与g(x)＝ax恒过(0，0)，如图，当a≤0时，两函数图象恰有一个公共点，当a>0时，函数f(x)＝ex－1与g(x)＝ax的图象恰有一个公共点，则g(x)＝ax为f(x)＝ex－1的切线，且切点为(0，0)，由f′(x)＝ex，所以a＝f′(0)＝e0＝1，综上所述，a＝0，－1或1.12.已知函数f(x)＝ex·x3，则以下结论正确的是(

)BCD解析

f(x)＝ex·x3，则f′(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝x2ex(x＋3)，故函数在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，A错误；画出函数图象，如图所示：综上所述：存在实数k，使得方程f(x)＝kx有4个实数解，D正确；故选BCD.画出函数图象，如图所示：综上所述：存在实数k，使得方程f(x)＝kx有4个实数解，D正确；故选BCD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13.函数f(x)＝alnx＋bx2在点(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则a＝________，b＝________.(本题第一空2分，第二空3分)2114.已知数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，若1≤a2≤5，2≤a3≤7，则S6的取值范围是________.[3，60]即S6的取值范围是[3，60].15.在数列{an}中，已知a1＝2，anan－1＝2an－1－1(n≥2，n∈N*)，记数列{an}的前n项之积为Tn，若Tn＝2022，则n的值为________.2021∴当Tn＝2022时，n的值为2021.16.若函数f(x)＝x3－3x在区间(a，6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是________.[－2，1)解析

若f′(x)＝3x2－3＝0，则x＝±1，且x＝1为函数的极小值点，x＝－1为函数的极大值点.函数f(x)在区间(a，6－a2)上有最小值，则函数f(x)的极小值点必在区间(a，6－a2)内，且左端点的函数值不小于f(1)，即实数a满足a<1<6－a2且f(a)＝a3－3a≥f(1)＝－2.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－1. (1)求数列{an}的通项公式；解

数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－1①.当n＝1时，解得a1＝1.当n≥2时，2Sn－1＝3an－1－1②，①－②得，an＝3an－1，又a1≠0，所以an＝3n－1.(2)若数列{bn－an}是等差数列，且b1＝2，b3＝14，求数列{bn}的前n项和Tn.解

数列{bn－an}是等差数列，且b1＝2，b3＝14，设cn＝bn－an，则c1＝b1－a1＝1，c3＝b3－a3＝5，则bn＝an＋cn＝3n－1＋2n－1.解

由已知，得f′(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋a，∴∀x≠0，g(－x)＋g(x)＝0，即－2a－1＝0，(2)若函数f(x)在x＝2处取得极小值，求实数a的值.解

f′(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝(x－a)[x－(a＋1)].当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，a)a(a，a＋1)a＋1(a＋1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

极大值

极小值

∴a＋1＝2，∴a＝1.19.(本小题满分12分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)证明数列{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；解

由an＋1＝2an＋1可得an＋1＋1＝2(an＋1).∵a1＋1＝2≠0，∴{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.∴an＋1＝2×2n－1＝2n，∴an＝2n－1.(2)令bn＝3n·(an＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.解

由(1)知bn＝3n·2n，∴Tn＝3×21＋6×22＋9×23＋…＋3(n－1)·2n－1＋3n·2n，∴2Tn＝3×22＋6×23＋9×24＋…＋3(n－1)·2n＋3n·2n＋1，∴－Tn＝3×(21＋22＋23＋…＋2n)－3n·2n＋1＝(3－3n)2n＋1－6.∴Tn＝(3n－3)·2n＋1＋6.由于数列{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，又a1＝2＝2×1适合上式.综上，数列{an}的通项公式an＝2n(n∈N*).21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xlnx(x>0). (1)求f(x)的单调区间和极值；解由f(x)＝xlnx(x>0)，得f′(x)＝1＋lnx，由g′(x)>0⇒x>1，由g′(x)<0⇒0<x<1.所以g(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)min＝g(1)＝4，因此m≤4，所以m的最大值是4.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax. (1)讨论函数f(x)的单调性；解

因为f(x)＝x3＋ax，所以f′(x)＝3x2＋a.①当a≥0时，f′(x)＝3x2＋a≥0，所以f(x)在R上单调递增；②当a<0时，令f′(x)>0，解

因为g(x)＝f(x)－xlnx，所以g(x)＝x3＋ax－xlnx.因为x3＋ax－xlnx＝0，所以a＝－x2＋lnx.h(2)＝－22＋ln2＝－4＋ln2，则h(x)min＝h(2)＝－4＋ln2，备用工具&资料解

因为g(x)＝f(x)－xlnx，所以g(x)＝x3＋ax－xlnx.因为x3＋ax－xlnx＝0，所以a＝－x2＋lnx.由g′(x)>0⇒x>1，由g′(x)<0⇒0<x<1.所以g(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)min＝g(1)＝4，因此m≤4，所以m的最大值是4.14.已知数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，若1≤a2≤5，2≤a3≤7，则S6的取值范围是________.[3，60]即S6的取值范围是[3，60].11.若函数f(x)＝ex－1与g(x)＝ax的图象恰有一个公共点，则实数a可能取值为(

) A.2 B.0 C.1 D.－1BCD解析

由f(x)＝ex－1与g(x)＝ax恒过(0，0)，如图，当a≤0时，两函数图象恰有一个公共点，当a>0时，函数f(x)＝ex－1与g(x)＝ax的图象恰有一个公共点，则g(x)＝ax为f(x)＝ex－1的切线，且切点为(0，0)，由f′(x)＝ex，所以a＝f′(0)