高考数学大题精做专题06函数建模问题(第六篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第六篇函数与导数专题06函数建模问题类型对应典例分段函数模型典例1二次函数模型典例2指对数模型典例3函数与其他知识综合模型典例4【典例1】【江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2020届月考】十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划．2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本万元，且．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．（1）求出2018年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润．【典例2】【2020届上海市闸北区高三模拟】有一块铁皮零件，其形状是由边长为的正方形截去一个三角形所得的五边形，其中，如图所示.现在需要用这块材料截取矩形铁皮，使得矩形相邻两边分别落在上，另一顶点落在边或边上.设，矩形的面积为.（1）试求出矩形铁皮的面积关于的函数解析式，并写出定义域；（2）试问如何截取（即取何值时），可使得到的矩形的面积最大？【典例3】【上海市上海外国语大学附属上外高中2020届月考】某林场现有木材存量为，每年以25%的增长率逐年递增，但每年年底要砍伐的木材量为，经过年后林场木材存有量为（1）求的解析式（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不应少于，如果，那么该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（取）【典例4】【四川省树德中学2020届入学考试】如图，、是一矩形边界上不同的两点，且，，，设．（1）写出的面积关于的函数关系式；（2）写出函数的取值范围．【针对训练】1.【江苏省苏州市苏州中学、新草桥中学2020届模拟】我校高一年级某研究小组经过调查发现：提高北环隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况，在一般情况下，隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米，车流密度指每千米道路上车辆的数量）的函数.当隧道内的车流密度达到210辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数.（1）求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.2.【河南省焦作市2020届模拟】某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约为百万元.（Ⅰ）若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此增加的收益最大？（Ⅱ）现该公司准备共投入5百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费百万元，可增加的销售额约为百万元，请设计一个资金分配方案，使该公司由此增加的收益最大.（注：收益=销售额-投入，这里除了广告费和技术改造费，不考虑其他的投入）3.【2020届贵州省黔东南州模拟】某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量（单位：微克）与时间（单位：小时）之间近似满足如图所示的曲线.（1）写出第一次服药后与之间的函数关系式；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗有效．问：服药多少小时开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到,参考数据：）4.【湖南省怀化市2019届模拟】如图，是南北方向的一条公路，是北偏东方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线．为方便游客光，拟过曲线上的某点分别修建与公路，垂直的两条道路，，且，的造价分别为5万元百米，40万元百米，建立如图所示的直角坐标系，则曲线符合函数模型，设，修建两条道路，的总造价为万元，题中所涉及的长度单位均为百米．（1）求解析式；（2）当为多少时，总造价最低？并求出最低造价．备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第六篇函数与导数专题06函数建模问题类型对应典例分段函数模型典例1二次函数模型典例2指对数模型典例3函数与其他知识综合模型典例4【典例1】【江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2020届月考】十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划．2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本万元，且．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．（1）求出2018年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润．【思路引导】（1）根据利润的定义，结合投入成本是分段函数，分类讨论求得利润函数.（2）根据第一问利润函数，分和两种情况进行分类讨论，当时，用二次函数法求最值，当时，用基本不等式法求最值，然后这两段中取最大的为函数的最大值即最大利润，此时x的取值为最大利润时的产量.【详解】（1）当时，；当时，；∴．（2）当时，，∴当时，；当时，，当且仅当，即时，；∴当时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元．【典例2】【2020届上海市闸北区高三模拟】有一块铁皮零件，其形状是由边长为的正方形截去一个三角形所得的五边形，其中，如图所示.现在需要用这块材料截取矩形铁皮，使得矩形相邻两边分别落在上，另一顶点落在边或边上.设，矩形的面积为.（1）试求出矩形铁皮的面积关于的函数解析式，并写出定义域；（2）试问如何截取（即取何值时），可使得到的矩形的面积最大？【思路引导】（1）分类讨论,当点分别落在线段或线段上.根据矩形面积即可求得关于的函数解析式及其定义域.（2）根据（1）由分段函数,结合二次函数的性质可求得面积的最大值.求得取最大值时的值,即可知截取矩形的方式.【详解】（1）依据题意并结合图形,可知：①当点落在线段上即时,；②当点在线段上,即时,由,得.于是.所以,定义域.（2）由（1）知,当时,；当时,当且仅当时,等号成立.因此,y的最大值为.答：先在DE上截取线段,然后过点M作DE的垂线交BA于点P,再过点P作DE的平行线交DC于点N,最后沿MP与PN截铁皮,所得矩形面积最大,最大面积为.【典例3】【上海市上海外国语大学附属上外高中2020届月考】某林场现有木材存量为，每年以25%的增长率逐年递增，但每年年底要砍伐的木材量为，经过年后林场木材存有量为（1）求的解析式（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不应少于，如果，那么该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（取）【思路引导】（1）根据前三年木材存量，归纳出解析式，再用数学归纳法进行证明即可；（2）根据（1）中所求函数关系式，结合参考数据，解不等式即可.【详解】（1）1年后，木材存量，2年后，木材存量3年后，木材存量根据以上数据归纳推理得：用数学归纳法证明如下：①当时，，显然成立；②假设当时，成立，则当时，即证，当时，（2）当时，若该地区今后发生水土流失，则木材存量必须小于则，解得两边取对数得即故：经过8年后，该地区就会发生水土流失.【典例4】【四川省树德中学2020届入学考试】如图，、是一矩形边界上不同的两点，且，，，设．（1）写出的面积关于的函数关系式；（2）写出函数的取值范围．【思路引导】（1）分为：当B在EF上运动，即和当B在GF上运动，即两段进行分别讨论即可；（2）在不同段的函数表达式根据三角函数有界性即可较易求解。【详解】解：（1），．．当时，的两顶点、在、上，且，．当时，点在上，点在上，且，．综上（2）由（1）得：当时，．且当时，；时，；当时，，．且当时，；当时，．所以．【针对训练】1.【江苏省苏州市苏州中学、新草桥中学2020届模拟】我校高一年级某研究小组经过调查发现：提高北环隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况，在一般情况下，隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米，车流密度指每千米道路上车辆的数量）的函数.当隧道内的车流密度达到210辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数.（1）求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.【思路引导】(1)根据题意可知,为分段函数,且当时,再根据当与时的值,设代入求解即可.(2)根据(1)中的分段函数解析式,求出的解析式,再分段求解函数的最大值分析即可.【详解】(1)由题意可知,当时,当时,,又当时,车流速度是车流密度的一次函数,故设,所以,解得,故当时,.故.(2)由题,,故当时,最大值为.当时,开口向下且对称轴为,故此时最大值为.综上,当车流密度为105辆/小时车流量达到最大值36752.【河南省焦作市2020届模拟】某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约为百万元.（Ⅰ）若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此增加的收益最大？（Ⅱ）现该公司准备共投入5百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费百万元，可增加的销售额约为百万元，请设计一个资金分配方案，使该公司由此增加的收益最大.（注：收益=销售额-投入，这里除了广告费和技术改造费，不考虑其他的投入）【思路引导】（Ⅰ）先写出收益f(t)的解析式，再利用二次函数的图像和性质求最大值和此时t的值.（Ⅱ）设由此增加的收益是g(x)百万元,再写出g(x)的解析式，再利用导数求函数的最值，即得资金分配方案.详解：（Ⅰ）设投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元，则由，∴当t=3时，f(t)取得最大值9，即投入3百万元的广告费时，该公司由此增加的收益最大.（Ⅱ）用于技术改造的资金为x百万元，则用于广告促销的资金为(5-x)百万元，设由此增加的收益是g(x)百万元.则..则当时，；当时，.∴当x=4时，g(x)取得最大值.即4百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此增加的收益最大.3.【2020届贵州省黔东南州模拟】某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量（单位：微克）与时间（单位：小时）之间近似满足如图所示的曲线.（1）写出第一次服药后与之间的函数关系式；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗有效．问：服药多少小时开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到,参考数据：）【思路引导】（Ⅰ）根据图象知：当时，；当时，，由时，得所以，即因此（Ⅱ）根据题意知：当时，；当时，所以所以，因此服药小时（即分钟）开始有治疗效果，治疗效果能持续小时.4.【湖南省怀化市2019届模拟】如图，是南北方向的一条公路，是北偏东方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线．为方便游客光，拟过曲线上的某点分别修建与公路，垂直的两条道路，，且，的造价分别为5万元百米，40万元百米，建立如图所示的直角坐标系，则曲线符合函数模型，设，修建两条道路，的总造价为万元，题中所涉及的长度单位均为百米．（1）