河南省许昌市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

2023-2024学年第二学期期末教学质量检测八年级数学一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列式子中，是二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键．根据二次根式的定义解答即可．解：，不符合二次根式的形式，不是二次根式；中被开方数是负数，此式无意义，不是二次根式；是二次根式．故选：A．2.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则判断即可．解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意；B、，此选项错误，不符合题意；C、，此选项正确，符合题意；D、，此选项错误，不符合题意；故选：C．3.关于矩形性质，以下说法不正确的是（）A.四个角都相等 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.是轴对称图形【答案】C【解析】【分析】根据矩形的性质逐一进行判断即可．解：矩形是轴对称图形，四个角都是直角，对角线相等，故A，B，D都对，不符合题意，矩形不一定具有对角线互相垂直这个性质，故C错误，符合题意，故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．4.一次函数向上平移2个单位长度得到（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了一次函数的平移．根据一次函数的平移的规律，即可求解．解：一次函数向上平移2个单位长度得到．故选：B5.如图，是的中位线；若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角形的中位线定理，先推导可知，从而得解．掌握三角形的中位线定理是解题的关键．∵是的中位线，∴，∴，又∵，∴，故选：B．6.体育课上，甲、乙两名同学分别进行了6次立定跳远测试，经计算他们的平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（）A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差【答案】D【解析】【分析】此题考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与其平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则各数据与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生立定跳远成绩的方差．故选D．7.如图，风筝牵引绳的长度所在范围是（）A.至 B.至 C.至 D.至【答案】D【解析】【分析】利用勾股定理求出的长度即可．解：由图可知：，，，，在中，，，故选：D．【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形判定及性质，解题的关键是利用勾股定理求出．8.用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得，对角线长为8，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，则正方形的边长为（）A.4 B. C.8 D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先根据菱形的性质和等边三角形的判定可得是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得．解：∵四边形是菱形，∴，∵，∴是等边三角形，∴，则正方形的边长为8，故选：C．9.河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（）A.当没有粮食放置时，的阻值为B.粮食水分含量为时，的阻值为C.的阻值随着粮食水分含量的增大而减小D.该装置能检测的粮食水分含量的最大值是【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据图象对每一个选项逐一判断即可．解：A、当没有粮食放置时，即水分含量为0，由图象可知的阻值为，故本选项不符合题意；B、由函数图象可知，当粮食水分含量为时，的阻值小于，故本选项符合题意；C、由图象可知，的阻值随着粮食水分含量的增大而减小，故本选项不符合题意；D、由图象可知，该装置能检测的粮食水分含量的最大值是，故本选项不符合题意．故选：B．10.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A.1，4，5 B.2，3，5 C.3，4，5 D.2，2，4【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理，，则小的两个正方形的面积等于大正方形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形．解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c，由勾股定理，得，A、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：；B、∵2+3=5，则两直角边分别为：和，则面积为：；C、∵3+4≠5，则不符合题意；D、∵2+2=4，则两直角边分别为：和，则面积为：；∵，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，以及正方形的性质进行解题．二、填空题（每小题3分，共15分）11.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．【答案】##【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．由题意知，，计算求解即可．解：由题意知，，解得，，故答案为：．12.请写出一个经过第一、三、四象限的一次函数的解析式______．【答案】（答案不唯一，，）【解析】分析】本题考查了一次函数解析式．熟练掌握当时一次函数经过第一、三、四象限．根据当时一次函数经过第一、三、四象限求解作答即可．解：∵一次函数经过第一、三、四象限，∴，∴，故答案为：．13.如图，将平行四边形的一边延长至点E，若，则______．【答案】##60度【解析】【分析】根据平行四边形的对角相等求出的度数，再根据平角等于，列式计算即可得解．解：∵平行四边形中，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．14.2024年4月23日是第29个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占、“语言表达”占、“形象风度”占、“整体效果”占进行计算．小芳这四项的得分依次为90，95，85，90，则她的最后得分是______分．【答案】91【解析】【分析】本题主要考查了加权平均数的应用，用四项的得分乘以其对应的权重并求和即可得到答案．解：分，∴她的最后得分是91分，故答案为：91．15.如图，四边形是正方形，顶点在直线：上．将正方形沿轴正方向平移个单位长度，若正方形的在轴上方的其他顶点恰好落在直线上，则的值为______．【答案】1或4【解析】【分析】过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，过点D作于点F，通过证明，，得出点C和点B的坐标，再求出直线的解析式为，设点C平移后的点为，点B平移后的点为，根据平移的性质可知，点C和点纵坐标相等，点B和点纵坐标相等，求出点和的坐标，即可解答．解：过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，过点D作于点F，∵，∴，∵四边形为正方形，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，同理可得：，∴，∴，把代入得：，解得：，∴直线的解析式为，设点C平移后的点为，点B平移后的点为，①当在l上时，，解得：，∴，∴，②当在l上时，，解得：，∴，∴；故答案为：1或4．【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数，全等三角形的判定和性质，平移的性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形，掌握正方形的性质，平移的性质，以及用待定系数法求解一次函数解析式的方法和步骤．三、解答题（本大题共7个小题，共75分）16.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．（1）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式进行计算即可；（2）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可．【小问1】解：；【小问2】解：．17.“月背探秘，嫦娥归来”，嫦娥六号探测器于2024年6月4日完成世界首次月球背面采样和起飞．为庆祝这一壮举，某校举办了“航空航天知识”竞赛，满分0分，学生得分均为整十数，成绩达到分及以上的记为“合格”，达到分及以上的记为“优秀”．决赛中七、八年级各有名学生参加；具体得分情况如下所示．【数据收集】七年级：，，，，，，，，，；八年级成绩条形统计图如下：【数据整理、分析】组别平均数中位数众数方差合格率优秀率七年级八年级根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中，，，．（2）小明对小刚说：“虽然这次比赛我俩都得了70分，但我在我们年级中的排名比你在你们年级的排名靠前．”观察上表可知，小明是年级学生（填“七”或“八”）．（3）结合以上信息，你认为哪个年级成绩较好？请你给出两条支持自己观点的理由．【答案】（1），，（2）七（3）八年级成绩较好，理由见解析【解析】【分析】本题考查频数分布直方图，中位数、平均数、众数的定义；（1）根据中位数的定义求出，根据八年级成绩条形统计图得出，根据七年级成绩达到分及以上的人数与总人数，求得，即可求解．（2）根据七年级、八年级的中位数，再结合小明同学的成绩即可得出答案；（3）从中位数和众数两个方面解答即可．，即可得出答案．【小问1】解：∵共有10名同学，中位数是第5、6个数的平均数，

∴中位数根据八年级成绩条形统计图可得，众数，七年级的优秀率故答案为：，，．【小问2】∵七年级的中位数是，八年级的中位数是，∴小明是七年级的学生；故答案为：七；【小问3】八年级成绩较好，理由如下，两个年级的平均分相等，八年级成绩的中位数、众数大于七年级成绩的中位数、众数，∴八年级成绩较好．18.观察下列等式：①；②；③（1）类比上述等式，写出第④个等式：（2）观察这类等式的规律，写出你猜想的第个等式：（用含的等式表示，为正整数），并给出证明．【答案】（1）（2），证明见解析【解析】【分析】本题考查了二次根式的规律探究，完全平方公式等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键．（1）由题意知，第④个等式为；（2）由题意知，第个等式为，证明左式右式即可．【小问1】解：由题意知，第④个等式为，故答案为：；小问2】解：由题意知，第个等式为，证明：左式，右式，左式右式，等式成立．19.已知：如图，在矩形中，．（1）用直尺和圆规，在上取一点，使得；作的平分线，交的延长线于点，连接（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）．那么四边形是菱形，请给出证明．（2）连接，若，且菱形的周长为40，求矩形的面积．【答案】（1）作图见解析，证明见解析（2）矩形面积【解析】【分析】（1）根据题意结合尺规作相等线段和角平分线的方法作图即可；根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合角平分线的定义可得，则，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．（2）根据菱形周长为40，得出，即可得，作，根据等边三角形的性质得出，勾股定理得出，即可求出矩形面积．【小问1】解：作图如下；截出，作出平分线，证明：平分，，在矩形中，，，，，，，，四边形是平行四边形，又，平行四边形菱形．【小问2】菱形周长为40，，，，如图，作，则，，矩形面积．【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．20.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点．（1）求和的值．（2）若点在直线上，连接，求的面积．（3）结合图象，直接写出关于的不等式的解集．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】本题主要考查了一次函数图象的交点问题，求一次函数解析式，根据直线的交点求出不等式的解集，解题的关键是数形结合，求出两条直线的交点坐标．（1）把代入解析式，求出m的值，把点A的坐标求出k的值即可；（2）先求出点C与点B的坐标，然后根据三角形面积公式，求结果即可；（3）先求出直线与直线的交点坐标为，然后根据函数图象求出不等式的解集即可．【小问1】解：将代入，得：，，将代入，得：，解得：；【小问2】解：由（1）得，直线的解析式为：，当时，，则，当时，，则直线与轴交点为，【小问3】解：联立，解得：，∴直线与直线的交点坐标为，根据函数图象可知，当时，直线在直线的下方，直线在直线的上方，∴不等式的解集为：．21.为加强劳动教育，落实五育并举，某校准备在校内建立劳动实践基地，现计划购进甲、乙两种规格的果蔬栽培架共100个，已知甲种栽培架的单价为35元，乙种栽培架的单价为45元．（1）设购买这批栽培架所需费用为元，甲种栽培架购买个，求与之间的函数关系式．（2）若购进乙种栽培架的数量不少于甲种栽培架的，请你说明学校应如何安排购买才能使购买费用最少？最少费用为多少元？【答案】（1）（2）购买甲60个，乙40个，最少费用为3900元【解析】【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用：（1）根据所需费用等于两种栽培架的总价的和，列出函数解析式，即可求解；（2）根据题意，先求出a的取值范围，再结合一次函数的性质，即可求解．【小问1】解：根据题意得：【小问2】解：根据题意得：，解得：，由（1）得：随的增大而减小，当时，最小，最小值为（元）∴方案为：购买甲60个，乙40个，最少费用为3900元．22.【课本呈现】下图是人教版八年级下册数学课本53页部分内容：思考如图18．2-3，矩形的对角线，相交于点．我们观察，在中是斜边上的中线，与有什么关系？根据矩形的性质，我们得到结论：．（1）由此我们得到直角三角形的一个性质，请用文字语言阐述为：【结论再探】（2）数学兴趣小组的小亮在证明该结论时，有不同的证明思路．以下是他不完整的证明过程，请补充完整．已知：如图1，中，，是斜边上的中线．求证：．证明：延长到点，使，连接．又为的中点，（依据是）．，垂直平分．．．【结论应用】（3）如图2，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点，其到四边形四个顶点的距离均为，求的值．【答案】（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）；三角形的中位线定理；（3）【解析】【分析】（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）延长到点，使，连接．根据三角形中位线性质得到，根据线段垂直平分线性质得到，故得；（3）连接，，，，根据，点，其到四边形四个顶点的距离均为，知点P是的中点，设，则，由勾股定理可得，，得到，解得：，得到，故得．（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；故答案为：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）证明：延长到点，使，连接．又为的中点，（依据是三角形的中位线定理）．，垂直平分．．．故答案为：；三角形的中位线定理；；（3）连接，，，，∵，，∴，，∴，，∴，∴点A、P、C三点共线，设，则，∴由勾股定理可得：,，∴，∴，解得：，∴，∴，∴．附加题（每小题10分，共20分）23.如图1，A，B，C三地在同一条公路上，地在A，C两地之间．甲同学从地出发跑向地，同时乙同学从地出发跑向地，到达地时恰好与甲同学相遇，乙停留后，按原路原速返回地．两人匀速行进，甲比乙晚到达地．两人距地的路程与时间之间的函数关系如图2所示．请结合图象信息解答下列问题：（1）直接写出点坐标（2）求乙同学从地返回地的过程中，与之间的函数关系式．（3）经过多少秒、甲、乙两同学相距？（直接写出答案即可）【答案】（1）（2）（3）112，140，220，280【解析】【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象总获取有用的信息．（1）求出乙同学从C地到B地所用时间，即可求解；（2）求出再利用待定系数法解答，即可求解．（3）分四种情况讨论，即可求解．【小问1】解：∵甲同学比乙同学晚到达C地，∴乙同学到C地时间为，即，∵乙同学从C地出发跑向B地，到达B地时恰与甲同学相遇，乙停留，∴乙同学从C地到B地所用时间为，即M的横坐标为120，由图可知，甲同学