高中数学选择性必修二课件：5 3 2 第2课时 函数的最大(小)值 (1)(人教A版)

第五章

5.3.2函数的极值与最大(小)值第2课时函数的最大(小)值学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一函数最值的定义1.一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条

的曲线，那么它必有最大值和最小值.2.对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)

f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)

f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值.连续不断≥≤思考如图所示，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值.若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？答案函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x3).若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值.知识点二求函数的最大值与最小值的步骤函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的

；(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值

比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.极值f(a)，f(b)1.函数的最大值不一定是函数的极大值.(

)2.函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.(

)3.有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.(

)4.函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√××√2题型探究PARTTWO2题型探究PARTTWO一、不含参函数的最值问题例1

求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；解因为f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示.所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.反思感悟求函数最值的步骤(1)求函数的定义域.(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表.(4)求极值、端点处的函数值，确定最值.注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较.反思感悟求函数最值的步骤(1)求函数的定义域.(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表.(4)求极值、端点处的函数值，确定最值.注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较.跟踪训练1

求下列函数的最值：当f′(x)＝0时，x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示.∴f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，(2)f(x)＝x2－x－lnx，x∈[1,3].∵x∈[1,3]，∴f′(x)≥0在[1,3]上恒成立.∴f(x)在[1,3]上单调递增，∴当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝0，当x＝3时，f(x)max＝f(3)＝6－ln3.二、含参函数的最值问题例2

已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值.解f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，①当a>0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增.所以f(x)min＝f(a)＝－a3.②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0.综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为－a3；当a＝0时，f(x)的最小值为0；延伸探究当a>0时，求函数f(x)＝x3－ax2－a2x在[－a,2a]上的最值.解f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)，所以f(x)max＝f(2a)＝2a3.f(x)min＝f(－a)＝f(a)＝－a3.反思感悟含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题.(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.解f′(x)＝x2－2ax.令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a.令g(a)＝f(x)max，①当2a

≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，②当2a≥2，即a≥1时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而g(a)＝f(x)max＝f(0)＝0.③当0<2a<2，即0<a<1时，f(x)在[0,2a]上单调递减，在[2a,2]上单调递增，三、由函数的最值求参数问题例3

已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.解由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾.求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).①当a>0，且当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)

＋0－

f(x)－7a＋b↗b↘－16a＋b由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.反思感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.跟踪训练3

已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围.解∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)h′(x)＋0－0＋h(x)↗28↘－4↗∴当x＝－3时，h(x)取极大值28；当x＝1时，h(x)取极小值－4.而h(2)＝3<h(－3)＝28，∴如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则k≤－3.所以k的取值范围为(－∞，－3].四、导数在解决实际问题中的应用例4

请你设计一个包装盒，如图所示，四边形ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形的斜边的两个端点.设AE＝FB＝x(cm).某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.∵当0<x<20时，V′(x)>0；当20<x<30时，V′(x)<0.∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值.反思感悟解决最优问题应从以下几个方面入手(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域.(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点.跟踪训练4

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；解由题设可知，隔热层厚度为xcm，再由C(0)＝8，而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10时，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为即当隔热层修建5cm厚时，总费用f(x)达到最小，且最小值为70万元.3随堂演练PARTTHREE1.下列结论正确的是A.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值B.若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值C.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得D.若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值√12345解析函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值.12345所以y的最大值为ymax＝π－sinπ＝π.√3.函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)A.有最值，但无极值

B.有最值，也有极值C.既无最值，也无极值

D.无最值，但有极值12345√解析f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,1)上单调递减，无最大值和最小值，也无极值.4.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高应为12345√解析设圆锥的高为hcm,0<h<20，123455.已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，则a的值为___，

f(x)在[－2,2]上的最大值为_____.312345312345解析f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－2(－2,0)0(0,2)2f′(x)

＋0－0f(x)－40＋a↗极大值a↘－8＋a所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.所以当x＝0时，f(x)取得最大值3.1.知识清单：(1)函数最值的定义.(2)求函数最值的步骤.(3)函数最值的应用.2.方法归纳：方程思想、分类讨论.3.常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)A.等于0 B.小于0C.等于1 D.不确定基础巩固12345678910111213141516√解析因为M＝m，所以f(x)为常数函数，故f′(x)＝0，故选A.2.已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)<g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为A.f(a)－g(a) B.f(b)－g(b)C.f(a)－g(b) D.f(b)－g(a)√12345678910111213141516解析令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)<g′(x)，∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，∴F(x)在[a，b]上单调递减，∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a).3.函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是A.1，－1 B.1，－17 C.3，－17 D.9，－1912345678910111213141516√解析f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1.又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝－1＋3＋1＝3,1∉[－3,0].所以函数f(x)的最大值为3，最小值为－17.4.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元，销量为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)A.30元 B.60元

C.28000元 D.23000元12345678910111213141516√12345678910111213141516解析设毛利润为L(P).则L(P)＝PQ－20Q＝(8300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000，所以L′(P)＝－3P2－300P＋11700.令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去).此时，L(30)＝23000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元.5.(多选)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的值可以为12345678910111213141516√解析∵f′(x)＝3x2－3a，且f′(x)＝0有解，∴a＝x2.又∵x∈(0,1)，∴0<a<1.√解析f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去).又因为x∈[0,1)时，f′(x)<0，x∈(1,3]时，f′(x)>0，所以当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝－2.又f(0)＝0，f(3)＝18，所以m＝18，n＝－2.123456789101112131415166.若函数f(x)＝x3－3x在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m＝_____，n＝_____.18

－21234567891011121314151612345678910111213141516f(x)＝x3－2x2＋1解析f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a)，令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝a，当x∈[－1,0]时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，当x∈(0,1]时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(0)＝b＝1，12345678910111213141516所以f(x)＝x3－2x2＋1.9.求下列函数的最值：12345678910111213141516解f′(x)＝cosx－sinx.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516化简为x2＋x－2＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝1.当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当1<x≤2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，又f(0)＝0，f(2)＝ln3－1>0，f(1)>f(2).123456789101112131415161234567891011121314151610.已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值.解f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a).若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0.1234567891011121314151612345678910111213141516当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0，当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.11.已知函数f(x)＝ex－x＋a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是A.(－1，＋∞) B.(－∞，－1)

C.[－1，＋∞) D.(－∞，－1]综合运用12345678910111213141516√解析f′(x)＝ex－1，令f′(x)>0，解得x>0，令f′(x)<0，解得x<0，故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(0)＝1＋a.若f(x)>0恒成立，则1＋a>0，解得a>－1，故选A.1234567891011121314151612.下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}；③f(x)没有最小值，也没有最大值.A.①③ B.①②③ C.② D.①②√解析由f(x)>0得0<x<2，故①正确.f′(x)＝(2－x2)ex，12345678910111213141516结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，故③不正确.123456789101112131415162－2令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.∴f(x)max＝2，f(x)min＝－2.1234567891011121314151614.一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为_____m时，帐篷的体积最大.212345678910111213141516解析设OO1＝xm，则1<x<4.令V′(x)＝0，解得x＝－2(不合题意，舍去)或x＝2.当1<x<2时，V′(x)>0，V(x)单调递增；当2<x<4时，V′(x)<0，V(x)单调递减.综上，当x＝2时，V(x)最大.15.设函数f(x)＝ax3－3x＋1(a>1)，若对于任意的x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为___.拓广探究123456789101112131415164解析由题意得，f′(x)＝3ax2－3，1234567891011121314151612345678910111213141516由f(－1)≥0，可得a≤4，综上可得a＝4.12345678910111213141516(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；∵a<0，∴f′(x)>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增.∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间.12345678910111213141516解当x∈[1